武汉大学高等数学W D-续 连续函数运算

二、连续函数的运算法则第七节（续）三、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束连续函数性质第一章一、连续函数的局部性质一、连续函数的局部性质定理1（局部有界性）机动目录上页下页返回结束若在连续，则在的某邻域有界．定理2（局部保号性）Remarks1.r可选特殊值2.比较极限的相应性质定理4连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续二、连续函数的运算法则定理3在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,

机动目录上页下页返回结束定理5Remark在定理5的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序。例如,

定理6

连续函数的复合函数是连续的.证:设函数于是故复合函数且即机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动目录上页下页返回结束三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续机动目录上页下页返回结束根据连续性的定义，若f(x)是初等函数，且x0是f(x)定义区间内的点，则Remark:例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为机动目录上页下页返回结束例2.求解:原式例3.求解:令则原式说明:当时,有机动恭目奴录决上页狗下迁页纱返回较结路束例4.求解:因为故原他式说明:对于悦幂指丸函数机动排目究录遭上页扬下伐页巩返回眯结笼束如果则有方法2.求解:原式机动图目有录蝴上页唐下锤页依返回洞结漠束则有Remark:若例5.设解:讨论戒复合静函数的连题续性.故此括时连蚊续;而故x=孝1为第予一类刷间断散点.在点x=岛1不连拾续,机动赔目格录粗上页发下怜页抢返回码结两束例6.求解:原式=辜1(2楼00仆0考研)机动择目便录液上页秀下义页尘返回宾结古束内容蓬小结基本土初等瞎函数在定疮义区害间内连续连续蹦函数陈的四则庄运算的结托果连羽续连续前函数标的反函织数连续连续凭函数顾的复合已函数连续初等坦函数该在定赤义区桃间内局连续说明:分段用函数锦在界柳点处古是否碧连续横需讨喇论其左、与右连由续性.机动裕目谜录雹上页览下档页姥返回除结留束思考派与练滚习续?反例

x为有理数

x为无理数处处摆间断,处处谈连续.反之带是否慨成立?作业P6逢6-箩67A类1（2，5，6）；2；4（1，3，5）B类1（1，2）；3提示:“反之壶”腥不匠成立.第十拜节宇目胖录劈燕上页揉下球页迟返回患结竟束讨论第十念节伪目误录飞上页妹下瘦页磁返回稻结龄束狄利贡克雷缠（Di鹿ri龄ch事le扒t）函胜数的衣连续篇性。提示:利用判“函煎数极郑限与跪数列蔑极限炊的关年系”耗来酒讨论配。取两居个趋雁于x0的子持列，间分别私趋于亲不同纤的极活限。机动椅目尿录从上页努下侮页异返回满结顺束备用暖题设f(x)在x=巨0连续,且对鼻x,y(阻弃,输山),有f(x+y)承=