概率论与数理统计A

第七章作业题

P192:1,2,3,4,6;P196:1,2,3,5.P209:1,3,4,6,7;P214:2,5,7,9,10.1点估计区间估计参数估计假设检验统计推断2§7.1求点估计的方法

§7.2估计量的评价标准§7.3区间估计参数估计Ch73一般常用

表示参数，参数

所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。4（假定身高服从正态分布）1.651.671.681.781.69若估计为1.68，这是点估计.这是区间估计.若估计在区间[1.57,1.84]内，假如我们要估计某校男生的平均身高.从该总体选取容量为5的样本,样本值为56这里如何构造统计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。

其一

是如何给出估计，即估计的方法问题；

其二

是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏评价标准。涉及两个问题:7(一)矩估计法(简称“矩法”)其基本思想是用样本矩估计总体矩

.理论依据:它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律8理论依据:大数定律9解:样本而矩总体张矩的矩估计.为数学街期望是一雀阶原点稠矩例1设总滴体X的概利率密延度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.解得:1011例3设总柜体X～U(狡a,井b)，a,路b未知望，X1,X2,…祥,Xn是取吴自X的样今本,求参厌数a,装b的矩糖估计沸量.12例设总驼体服毒从指栋数分鼻布，关由于EX=1并/，即=1貌/EX，故的矩墙法估臣计为另外公，由膝于Va让r(X)=1姜/2，其反流函数茅为宅因衣此，写从替史换原瞧理来连看，的矩获法估齿计也灯可取哥为s为样林本标肾准差袜。这部说明滑矩估椒计可洁能是棒不唯喘一的龙，这度是矩选法估侵计的准一个计缺点趋，此绣时通画常应勿该尽束量采插用低秆阶矩挤给出逼未知继参数首的估拥计。13二最大乌似然汗估计丘法(最大辨似然悉法)Fisher这个怖方法碗常归晒功于英国奥统计势学家费希坐尔(F漠is倒he科r).费希惭尔在19嫂22年发盏现了稠这一忠方法庆，并用首先旧研究匀了这砌种滋方法日的一掀些性颂质.14最大味似然赞法的泥基本竹思想看一谋个简遣单例碗子：一只毙野兔治从前红方窜装过.这一脆枪是埋谁放产的？某位火初学部打猎穷的同婶学与雨一位哑经验泥丰富及的猎渡人一坛起外召出打陈猎.如果府要你国估计坟，只听棵一声旁枪响法，野瞧兔应执声倒钩下.1516最大热似然犯估计时原理衰：当给货定样岂本X1,X2,…Xn时，喜定义似然积函数为：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合概率密度(连续型）或联合概率函数(离散型)为f(x1,x2,…xn;).f(x1,x2,…xn;)17似然寄函数弟：极大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.

看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值X1,X2,…Xn的一种度量.f(X1,X2,…Xn;)18反映索实验包结果椅的可娘能性剂大小(Max译im挣umLik观el私ih贱oo硬dEst匙im棒at村io型n)19求最收大似揭然估昨计的尺步骤(1素)做似圈然函输数离散聋型：连续垮型：20(2丝式)求似辰然函润数的窜最大调值点a.列似若然方握程b.先取对数，再列似园然方穗程某些意场合况若能酸断定态最大企值在Θ内部蛙，并抓且似砍然方伶程只醉有一礼解，齿则其阅解即为θ的ML舱E.？211 2 322L(p)=P(X1=x1,…,Xn=xn;p)例设X1,X2,…Xn是取愧自总惨体X~b(1冻,p)的一趁个样工本，凡求参锐数p的极痒大似辰然估倍计.解：埋似然工函数萝为:23对数殃似然棒函数抽为：对p求导北并令愚其为暂0，=0得即为p的ML求E悦.24对数匠似然殃函数拨为例：设X1,X2,…Xn是取葡自总锋体X的一是个样嫌本求的最大似然估计.其中

>0,解：设x1,x2,…国,xn为一演个样晕本值,似然浓函数Sk扭ip25求导虹并令歌其为0=0从中物解得即为的MLE.对数中似然押函数梁为26注1：若总或体分榨布中酷含有万多个占未知顶参数烟，则霜可解姻方程榴组27最大滚似然暗法基本涂思想选择胜一个千参数岸使得我实验续结果室具有挂最大难概率步厚骤做似笨然函放数(2椅)求最踢大值贡点28§7狠.2点估计已的评同价标生准在介质绍估径计量狠评选呆标准谎之前双，我卡们必骄须强竟调指慰出：评价朗一个俘估计五量的所好坏何，不友能仅会仅依演据一核次试非验的估结果兼，而稠必须遮由多界次试勤验结卡果来私衡量.这是话因为院估计唐量是欺样本匹的函眨数，旁是随香机变追量.因此蜜，由腰不同配的观床测结毁果，阻就会烧求得质不同根的参曾数估俯计值.因此旷一个踪蝶好的昼估计造，应梢在多虚次试客验中跨体现零出优反良性.29常用冬的几以条标筝准是威：1．无境偏性2．有迟效性3．相坚合性这里滔我们鸦重点轮介绍切前面指两个窄标准.30估计坦量是r.竖v，对仇于不哀同的椒样本钟值会皇得到绒不同荐的估食计值.我们剥希望壁估计梢值在孙未知恶参数道真值怠附近骆摆动钢，而即它的畅期望享值等俱于未震知参胳数的程真值.1．无偏介性则称为的无偏估计量.设是未知参数的估计量，若定义系：真值.无偏阴性是屠对估解计量届的一祖个常盟见而其重要塘的要芽求.31特别档地，3233所以煤无偏苏估计徐以方差齐小者为好,反映哗了取值月“集热中”甚于参巡寿数真碎实值衡的程租度的大劣小来咽决定罗二者泛谁更庆优.和一个次参数忍往往悉有不逃止一菌个无玻偏估狭计,若和都是急参数的无吴偏估尿计量阶，比较我们旧可以AB

的抽样分布

的抽样分布f(

)342．有效声性:对同啄一总像体参菠数的闪两个密无偏谊点估假计量味，有询更小佩方差丈的估薄计量痕更有刷效都是的无偏估计量，若对于设和定义：Var()≤Var()有则称较有效.且小于号成立，353．相合消性：随着响样本胃容量摔的增步大，贡估计匹量的膊值越涉来越取接近雾被估祸计的凯参数定义荡：则称为的相合估计量.设是的估计量，若对于注：相合隙性是对踩一个腰估计坝