函数压轴题型1利用奇偶性单调性解函数不等式问题

题型1利用奇偶性、单调性解函数不等式问题

1.设函数f(x)=/n(14-1x|)+x2,则使得f(x)>/(2工一1)成立的x的取值范围是()

。

A.(}1)(efU2)

C.(-4

D.

【解析】解：函数/(无)=例1+|%|)+%2,

刃R么y(-x)=/n(l+1-xI)+(-x)2=ln(l+1%I)+x2=/(x)

可知f(x)是偶函数，

当x>0,/(x)是递增函数，

/(x)>f(2x-l)成立,等价于|x|>|2x-l|,

解得：-<X<1,

3

故选：A.

2.设函数/(力=|*|一20］：［2,则使得/(x)>/(2x-l)成立的x的取值范围是()

A.(1,1)B.(-00,1)51，+°°)

C.(-g,；)D.(-00,-g)k_J(g,+oo)

【解析】解：/(x)是R上的偶函数，X..0时，/(x)=x-2oJ+2,

.•./(*)在［0,+oo)上是增函数，

由/«>f(2x-1)得，/(|x|)>/(|2x-l|),

/Jx|>|2x-11,

:.x2>4x2-4x+1,解得

3

.•.X的取值范围是(g,l).

故选：A.

3.函数f(x)=log1(1+x?)---二■,则使得f(x),J(2x-1)成立的x取值范围是()

31-2闺

A.(-co,1]B.[11)U(1,1]C.[1,1]

4-00)

【解析】解：/(x)是偶函数，且在(0,”)上单调递减；

由/(x)„/(2x-1)得，/(|x|)„/(|2x-l|);

/Jx|..J2x-l|,且1#0,2犬一IwO;

/.X2..(2X-1)2,且xwO,;

2

解得！麴k】，且

32

.•.x的取值范围是：

322

故选：B.

17

4.已知函数/(幻=2_43一4工+2/—士,其中e是自然对数的底,若/(a-l)+/(2a2)„0,则实数a的取值范

3ex

围是()

D.[-1,^]

A.(—co,—1]B.[—,+oo)C.(-4

【解析】由尸(x)=f-4+2e"+2"'蹶2-4+2,4e'.e^=Y。，知/(x)在R上单调递增,

且f(-x)=-gV+©+2e-x-2e'=-f(x),即函数f(x)为奇函数,

故/(a-l)+/(2a2)^D<=>/(a-1)f(-2a2)<^>a-]^l-2a2<=>2a2+a-l0,

解得一啜上

2

故选：。.

5.已知函数/(MV-sinx+e*—-^,其中e是自然数对数的底数，若/(a-1)+"2"),,0,则实数a的取

值范围是()

A.[一：,1]B.[-1,；]C.(-oo,-l^J[^,+oo)D.(-oo,-^|,[l,+oo)

【解析】解：由于/(x)=/一sinx+e*-,

则/(-x)=-x3+sinx+e~x-ex=-7(x),

故函数f(x)为奇函数.

故原不等式/(CL1)+f(2/),,0,

可转化为了(2")“一/(〃-1)=/(1一〃)，

即/(2a2),J(l-a);

又f\x)=3x2-cosx+ex+e~x,

由于e-2,

故f'(x)=3x2一cosx+e*+e-*.J恒成立，

故函数f(x)单调递增，

则由/(2/),J(l-a)可得，

2a2,,1-〃，即2/+。-]„0,

解得-1麴h

2

故选：B.

12x

6.已知函数/(%)=2020+log2020(7x+1+x)-2020~4-2,则关于x的不等式/(3x+l)+/(x)>4的解集为(

)

A.(—―,+oo)B.(-oo,—-)0.(0,+<x))D.(-oo,0)

【解析】解：设g(x)=/(x)-2=2020*+10820204^1+幻一2020,

A

*.,•0*g(—x)=2020'+log2O2O(y/x"+1—x)—2020=—g(x),

即g(x)为奇函数且单调递增，

由f(3x+1)+/(X)>4可得g(3x+1)+g(x)>0即g(3x+1)>—g(x)=g(-x),

所以3x+l>-x,

解得，x>--.

4

故选：A.

7.已知函数f(x)="一+/〃(+1+/)+2,则关于X的不等式/(3x+l)+/(x)>4的解集为()

A.(—―,-Foo)B.(—co,—-)0.(-oo,0)D.(0,d-oo)

【解析】解：根据题意，函数/(幻=--+加(+1+外+2,其定义域为R；

设g(x)=/(x)-2=ex-e-x+ln(\lx2+1+x),

有g(-x)=e~x-ex+ln(G+1-x)=-\ex-e~x+ln(\/x2+1+x)]=-g(x),即函数g(x)为奇函数，

又由函数y=ex-e'x和y=In^x1+1+x)都是/?上的增函数，故g(x)为R上的增函数；

f(3x+1)+/(x)>4=>f(3x+l)-2>2-f(x)=>f(3x+1)-2>Hf(x)-2]=>g(3x+\)>-g(x)=>g(3x+1)>g(-x),

则有3x+l>-x,

解可得x>—';

4

即X的取值范围为(-—,+00);

4

故选：A.

Ax2

8.已知函数f(x)=2018-2018"+log2()l8(Vx+l+x)+2,则关于x的不等式/(3x+l)+f(x)>4的解集为(

)

A.(—,+oo)B.(-oo,—-)C.(-co,0)D.(0,4-co)

Vv2

【解析】解:.f(x)=2018-2018-+log2018(Vx+l+x)+2,

令g(x)=f(x)-2,

2

g(-x)=-2018'+2018T+log2018(Vx+l-x)=-g(x),

f(3x+l)+f(x)>4,

g(3x+1)+2+g(x)+2>4,

g(3x+l)+g(x)>0,

g(3x+1)>-g(x)=g(-x),

g(x)=2018*-2018,+log2018ax2+1+x)单调递增，

3x+1>—x,

解可得，x>-~.

4

故选：A.

9.偶函数y=/(x)满足下列条件①X..0时，/(x)=d;②对任意,t+l],不等式f(x+r)..8/(x)恒成

立，则实数f的取值范围是()

A.(-8,-力B.[―aC.[-2,-]D.[--,1]

【解析】解：根据条件得:/(|x+r|)..8/(|x|):

.-.(|x+r|)3..8(|x|)3；

.-.(|x+r|)3..(2|x|)3；

:\x+t\..2\x\;

/.(X+/)2..4X2;

整理得，3了2一2次一产,,0在〃，，+1]上恒成立：

设g(x)=3x2-2tx-t2,g(t)=0;

gQ+1)=3(r+1)2-2t(t+1)-0；

3

解得J一士;

4

实数/的取值范围为(V,

4

故选：A.

10.已知函数f(x)=2020A+ln(yjx2+1+x)-2020-x+1,贝I关于x的不等式/(2x—l)+/(2x)v2的解集为(

)

A.(-^，―)B.(-co,—)C,(—,4-oo)D.(—,+oo)

【解析】解：/(x)+f(-x)=2020v+ln(y/x2+1+x)-2020^+1+202(T*+ln(ylx2+1-x)-2020r+1

—/〃(y]x~+1+x)+x~+1—x)+2

=ln(\/x2+1+x)(Vx2+1-x)+2

=ln(x2+1-X2)+2

=/川+2=2,

则/(r)+/(x)=2,

则不等式f(2x-1)+/(2x)<2,等价于/(2x-1)+/(2x)</(-2x)+/(2x),

即/(2x-l)</(-2x),

•f(x)在R上是增函数，

2x-l<-2x得4xv1,得x<L

4

即不等式的解集为(-8,1).

故选：A.

11.设函数/(x)=d)""+」一，则使得了(2x-l)+/(l-2x)<2/(x)成立的x的取值范围是()

2l+|x|

A.g,l)B.(-oo,；)U(L+oo)

C.(HD.(^»,-^)U(^,+oo)

【解析】解：函数f(x)=(i)'+?,

2l+|x|

由解析式可知，/(x)为偶函数且在［0,+8)上单调递减，

则/(2x-l)+/(l-2x)=2/(2x-1),

.■.f(2x-l)+f(l-2x)<2f(x)

<=>2f(2x-l)<2/(x)

«/(2x-1)</(%)

«/(|2x-l|)</(|x|)

o|2x-l|>|xM2X-1|2>3|X|2<»(2X-1)2>X?OX/或X>1,

3

故选：B.

12.已知定义域为R的函数.f(x)在［2,+8)上单调递增，若/(x+2)是奇函数，则满足/(x+3)+f

(2x—l)<0的x范围为()

2222

A.(—co,——)B.(—―,+oo)C.(—co,—)D.(―,4-oo)

【解析】解：•/(x+2)是奇函数；

.•./(X)关于点(2,0)对称;

又.f(x)在［2,+oo)上单调递增；

.・..(%)在K上单调递增;

...由fa+3)+/(2x—l)<0得，/(X+3)<-/(2X-1);

•・・/@+3)v/(-(2x—3)+2);

.,./(x+3)</(-2x+5);

x+3v-2x+5;

2

解得;

3

2

x的范围为(-00,—).

3

故选：C.

13.设/(x)是定义在R上的奇函数，且当X..0时，f(x)=x2.若对任意的a+2],不等式

+4)..”、万x)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.a,,0B.a..&C.a”正D.a..O

【解析】解：(排除法)当a=0时，则xe[O,2],

由/(x+a).J(&x)得『(x)../(JL),即V厘x?=>x20在1引0,2]时恒成立，显然不成立，排除A、C、

D,

故选：B.

14.已知a是方程x+/gx=4的根，b是方程x+10'=4的根，函数/⑶是定义在R上的奇函数，且当X..0时，

f(x)=x2+(a+b-4)x,若对任意,f+2],不等式/(x+f)..2/(x)恒成立，则实数f的取值范围是(

)

A.[5/2,+00)B.[2,+8)0.(0f2]D.[—x/o.,TUS，@

【解析】解：由程x+/gx=4得/gx=4-x,

由x+10'=4得10、=4-x,

记/(x)=lgx,则其反函数f-'(x)=10',

它们的图象关于直线y=x轴对称，

根据题意，a,b为f(Q,rlx)的图象与直线y=4-x交点A,3的横坐标，

由于两交A,8点关于直线y=x对称，

所以，8点的横坐标月就是A点的纵坐标，即A(a力)，

将&。,人)代入直线y=4-x得，a+b-4,

则当x..0时，/(x)=x2+(a+b-4)x=x2,

函数f(x)是定义在R上的奇函数，

.,.若x<0,则-x>0,

贝b/(-*)=V=-/&),

即/0)=-炉，x<0>

x,x.O

则/(x)=

—x2,x<0'

则函数，(x)在上为增函数,

若对任意t+2],不等式/(x+r)..2/(x)恒成立,

即若对任意r+2J,不等式/(x+/)..〃缶)恒成立,

则x+九.恒成立,

则t..(\/2—l)x,

则用,-7=—=(V2+l)t,

V2-1

■XG[Z,r+2],

t+2,,(>/2+1)/,

即2,,后

则t...—产=y/2,,

近

故选：A.

15.设函数/(x)=*T——二，则不等式/(x)>/(2x+l)的解集为()

(x-1)-

A.(—1,0)B.(—oo,-l)

c.(-1,；)D.(-1,0)50,；)

【解析】解：根据题意，函数f(X)=*T——二，设g(x)=#-L其定义域为{X|XH1},

(x-1)厂

又由g(-x)="*-±=g(x)，即函数g(x)为偶函数，

X"

12

当X£(0,y)时，g(X)=ex——7，有g'(X)=/+F，为增函数，

厂£

g(x)的图象向右平移1个单位得到/(X)的图象，所以函数/(%)关于X=1对称，在(-0,1)上单调递减，在

(1,4w)上单调递增.

"1

由/(%)>f(2x+1),可得(2x+1w1,

|x-l|>|(2x+l)-l|

解可得：-l<x<-JLx^0,

3

即x的取值范围为(-1,0)ugg

故选：D.

16.已知/(x)是定义在［-2,2切上的偶函数，且在［-26,0］上为增函数，则不等式f(2x+l),J(1)的解

集为()

A.(-1,0)B.［—■I，-1］^；［0,—1C.(-so,-1］|J［O,+oo)D.［―U

【解析】解：,/(幻是定义在1一2,羽上的偶函数，.•.-2+»=0,."=1,

函数/(x)在［-26,0］上为增函数，，函数/(x)在［-2,0］上为增函数，故函数/(x)在［0,2］上为减函

数，

则由/(2x+DJ(1),可得|2x+l|..l,且一2强如+12,

31

解得—三领k一1或啖加

22

故不等式心+1“⑴的解集为《TU畤・

故选：B.

17.已知定义在R上的函数/(x)=L-2*T一(1一］)3,则不等式f(2x+3)+.f(x-2)..O的解集为()

1?

A.(一%B.(0,-]C.(…，3]D.(0,3]

【解析】解：令r=x—l,则/(/+1)=,T，

2+2

则f(r+l)是奇函数，

2"-2'3=[-2」广31-4'可产一户二备一修，为减函数,

则当E..0时，y=------------t

2T+2'1+4'

..当x..l时，f(x)为减函数,

即g(x)=f(x+l)是奇函数,

则f(2x+3)+f(x-2)..O等价为/(2x+2+l)+/(x-3+l)..0,

即g(2x+2)+g(x-3)..0,

则g(2x+2)...-g(x-3)=g(3-x),

则2x+2,3—x,得3%,1,X,』，即原不等式的解集为(-8,

33

故选：A.

18.函数/(x)是R上的奇函数，f(1)=2,且对任意内>与，有"一/!\?>0,则不等式-2颗(x-1)2

天一电

的解集为()

A.[0,2JB.[0,1J0.[-1,1]D.[-1,0]

【解析】解：对任意有>0,

用一工2

.♦J(x)在R上单调递增，

又/(x)是R上的奇函数，f(1)=2,

所以/(-1)=-2,

则由不等式—2颁(x—1)2可得/(—I)期(x—1)f(1),

所以一啜％-11,

解可得，怎!k2.

故选：A.

19.已知/(x)是定义在(一2"〃+1)上的偶函数，且在(-2〃，0]上为增函数，则/(x-l),J(2x)的解集为(

)

2111

A.B.(-1,-]C.D.[-,1]

【解析】解：根据题意，由于函数y=/(x)是定义在(-2"A+1)上的偶函数，则定义域关于原点对称，

则有(一2力+6+1=0,解可得6=1,

所以，函数y=/(x)的定义域为(-2,2),

由于函数y=/(x)在区间(-2,0]上单调递增，则该函数在区间[0,2)上单调递减，

由于函数y=f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|),

\x-l\..2\x\

由f(x-nj(2x),可得用x-l|),J(|2x|),«-2<x-l<2,

-2<2x<2

解可得：T<x,L

3

因此，不等式f(x-1),J(2x)的解集为(-1,：],

故选：B.

-x-113

20.设函数f(x)=(x+2)/g------------,则不等式f(2x-l),J(—己)的解集是()

x+3”-(x+2)22

1Q1171

A-

13

cu

4-4-

【解析】解：由题意知，函数f(x)可由g(x)=x./g上W--/—向左平移两个单位而得到,

1+xV4-X2

而函数g(x)是定义域为(-1,1)的偶函数，

[+尤2

函数帆(x)=x和函数〃(x)=/g-----=lg(---------1)在(0,1)上递增，且〃2(X)>0,H(x)>0,

1-x1-x

1一Y

y=x»lg------=-"?(x)”(x)在(0,1)上递减，

1+x

g(x)在(0,1)上递减，

.•./(%)的定义域为(一3,-1),关于x=-2对称，并且在(-2,-1)上递减,

-3<2x-l<-l

不等式/(2x—｝等价于v

3,解得一1<用，一二或——„x<0.

|2x-l+2|...-1+244

故选：D.

21.已知函数f(x)=+x"'二_/〃上W,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+/(2/),,0,则实

ex1+x

数a的取值范围是

fTX—9YpX—11—X

【解析】解：由已知得：f(x)=————历」的定义域为(一1,1),

ex\+x

f{-x)=

A3

■,f(x)=e4-x-2x-x--In~~~~,

八e1+x

故函数是奇函数，且增函数,

/(a-l)+/(2«2)„0,

-1<2a2<\

"(2/)</(一).—1<1—a<1=>0<%一,

,2

\—a..2。-

故答案为：(0,，

22.已知函数f(x)=/+x2(e为自然对数的底数)，且/(3a—2)>/(a—l),则实数a的取值范围为

【解析】解：函数为自然对数的底数),

.1•/(-%)=/(x)=/(|x|),且在(0,w)单调递增，

f(3a-2)>f(a-l),

:13a-2\>\a-\\,

即8/-10a+3>0,

i3

实数a的取值范围为a<-或一，

24

13

故答案为:(-00,-)U(-,+oo)

24

23.f(x)是定义在R上函数，满足/(x)=/(-x)且"0时，f(x)=x3,若对任意的xw⑵+1,2r+3],不

4

等式/(2x—r)..8/(x)恒成立，则实数f的取值范围是_0]_.

【解析】解：由xwR,/(x)=f(-x),

可得/(x)为R上偶函数，/(幻=/在"0上为单调增函数，

则f(2D..8f(x)=f(2x),

即为|2x7|.」2x|,

即(2x—)2..(2x)2,

化简可得产-4".0,①

(1)当，>0时，①的解为：x,,-,

4

对任意xe[2r+l,2r+3],①式恒成立，则需工.2+3,

4

解得;

(2)当r<0时，①的解为x…工，

4

对任意xe[2r+l,2/+31,①式恒成立，则需%,2f+l,

4

4

解得二,〃<0；

7

(3)当，=0时，①式恒成立；

4

综上所述，-上麴)o.

7

4

故答案为：0J.

7

24.已知/(x)=x|x|,若对任意xw[a-2,。+2],/(x+a)v2/(x)恒成立，则实数。的取值范围是

<-x/2

为2Y0

【解析】解：/(x)=x|x|=A,

-x,x<0

可得〃x)在[0,+00)递增，在(-8,0]递增，且/(0)=0,

则/(x)在R上递增，

由f(x+a)<2/(x)可得f(x+a)<f(&)f(x)=