新北师大版10.3统计案例学案

第三节统计案例【考试要求】，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，，，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用．1．直线拟合(1)散点图将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图．(2)直线拟合从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．2．一元线性回归方程(1)最小二乘法对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法．(2)用向量的方法可得使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2),\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－b\o(x,\s\up6(－))))其中，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn).这时直线方程Y＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是这个线性回归方程的系数．3．相关系数及其范围(1)相关系数一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝eq\f(（x1－\x\to(x)）（y1－\x\to(y)）＋（x2－\x\to(x)）（y2－\x\to(y)）＋…＋（xn－\x\to(x)）（yn－\x\to(y)）,\r(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2)\r(（y1－\x\to(y)）2＋（y2－\x\to(y)）2＋…＋（yn－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数．为了计算的方便，我们再给出如下式子：r＝eq\f(（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）－n\x\to(x)\x\to(y),\r(（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))）－n\x\to(x)2)\r(（yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))）－n\x\to(y)2))样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1].(2)相关系数的应用|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱．当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关；当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关；当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关．4．独立性检验(1)分类变量①分类变量：用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．②取值：分类变量的取值可以用实数表示．(2)2×2列联表设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝eq\o(A,\s\up6(－))1；变量B：B1，B2＝eq\o(B,\s\up6(－))1.通过观察得到如下表所示的数据：ABB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．设n＝a＋b＋c＋d，用eq\f(a,n)估计P(A1B1)，eq\f(a＋b,n)估计P(A1)，eq\f(a＋c,n)估计P(B1).若有式子eq\f(a,n)＝eq\f(a＋b,n)·eq\f(a＋c,n)，则可以认为A1与B1独立．根据2×2列联表中的数据来判断两个分类变量是否有关系，即它们是否独立，这一问题称为2×2列联表的独立性检验．(3)独立性检验的基本思想计算随机变量χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布．当χ2较大时，说明变量之间不独立．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断．①当χ2≤时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；②当χ2，有90%的把握判断变量A，B有关联；③当χ2，有95%的把握判断变量A，B有关联；④当χ2，有99%的把握判断变量A，B有关联．[常用结论]1．求解回归方程的关键是确定回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，应充分利用回归直线过样本中心点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大．3．根据回归方程计算的Y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．[思考辨析]判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．()(2)线性回归方程Y＝b^X＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．()(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．()(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×[对点查验]1．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是()A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②D第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.2．(多选题)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的线性回归方程为Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么下列说法正确的是()A．相关系数r不可能等于1B．直线Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))必经过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．直线Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))表示最接近y与x之间真实关系的一条直线D．相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小BCD相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错；直线Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))必过样本点中心即点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故B正确；直线Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D正确．故选BCD.3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程YX＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为．答案68解析由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)×30＋＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.4．某单位为了了解用电量(度)与当天平均气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量(如下表).由数据运用最小二乘法得线性回归方程Y＝－2X＋a，则a＝．平均气温X(℃)181310－1用电量Y(度)25353763答案60解析eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(25＋35＋37＋63,4)＝40，样本中心为(10，40)，回归直线经过样本中心，所以40＝－2×10＋a⇒a＝60.5．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果χ2>5.024，那么在犯错误的概率不超过的前提下认为“X和Y有关系”．P(χ2≥k)k2.706答案解析因为χ2，，“X和Y有关系”．考点一成对数据的相关性1.(2022·陕西宝鸡市陈仓高级中学模拟)对两个变量X，Y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量U，V进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.9568，则下列判断正确的是()A．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量X与Y的线性相关性较强B．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量X与Y的线性相关性较强C．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量U与V的线性相关性较强D．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量U与V的线性相关性较强C依题意：r1＝0.8995，r2＝－0.9568，所以X，Y正相关，U，V负相关，|r1|＜|r2|＜1，所以U，V的线性相关性较强．2.(2022·广东潮州模拟)(多选题)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有()A．r1＜r4B．r2＜r3C．r3＞0D．AC由图形特征可知r1，r4都是负相关，都是负数，r1比r4的相关系数更强，所以r1＜r4＜0，r2，r3都是正相关，r2比r3的相关系数更强，所以0＜r3＜r2，所以AC正确．3．(多选题)对相关系数r来说，下列说法错误的有()A．|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小B．|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小C．|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小D．|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大ABD用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故“对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小”，C正确，故选ABD.思维升华判断相关关系的两种方法(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．|r|越趋向于1，相关性越强．考点二一元线性回归模型命题点1线性回归方程及应用(2022·全国模拟)小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积X(单位：m2)和日均客流量Y(单位：百人)的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，并计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝2400，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝210，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝42000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝6300.(1)求Y关于X的线性回归方程；(2)已知服装店每天的经济效益W＝keq\r(y)＋mx(k＞0，m＞0)，该商场现有60～150m2的商铺出租，根据(1)的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？附：线性回归方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由已知可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,x)i＝120，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,20,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(6300,42000)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)×，所以线性回归方程为YX－7.5.(2)根据题意得Z＝eq\f(W,x)＝eq\f(k\rx－7.5),x)＋m，60≤x≤150.设f(x)＝eq\fx,x2)＝eq\f,x)－eq\f,x2)，令t＝eq\f(1,x)，eq\f(1,150)≤t≤eq\f(1,60)，则f(x)＝g(ttt2×(t－)2＋0.00075，当t，即x＝100时，f(x)取最大值，又因为k，m＞0，所以此时Z也取最大值，因此，小李应该租100m2的商铺．命题点2相关系数r(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi材积量yi并计算得eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，eq\r(1.896)≈1.377.解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值eq\x\to(x)＝eq\f,10)，样本中10棵这种树木的材积量的平均值eq\x\to(y)＝eq\f,10)＝0.39.据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为m2，平均一棵的材积量为0.39m3.(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,10,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,10,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\x\to(x)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\x\to(y)2))))＝eq\f－10××,\r(（0.038－10×2）（1.6158－10×0.39）2))＝eq\f(0.0134,\r(0.0001896))≈eq\f(0.0134,0.01377)≈，则r≈0.97.(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得eq\f,0.39)＝eq\f(186,Y)，解之得Y＝1209m3.则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3.命题点3非线性回归方程及应用(2022·四川成都七中模拟)新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用X表示注射疫苗后的天数．Y表示人体中抗体含量水平(单位：miu/mL，即：百万国际单位毫升)，现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数X123456抗体含量水平Y510265096195根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，y＝c·edx与y＝a＋bx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述Y与X关系的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果求出Y关于X的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的Y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望．参考数据：其中W＝lnY.参考公式：用最小二乘法求经过点(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(ui，vi)的线性回归方程V＝eq\o(b,\s\up6(^))U＋eq\o(a,\s\up6(^))的系数公式，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（ui－\x\to(u)）（vi－\x\to(v)）,\i\su(i＝1,n,)（ui－\x\to(u)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)根据散点图，点的分布呈现曲线状，所以Y＝cedX更适合作为描述Y与X关系的回归方程类型．(2)设W＝lnY，变换后可得W＝lnc＋dX，设p＝lnc，建立W关于X的线性回归方程W＝eq\o(p,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))X，eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωi－\x\to(ω)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x))),\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f,17.50)，eq\o(p,\s\up6(^))＝eq\x\to(ω)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(x)×，所以W关于X的线性回归方程为WX，所以Y＝eX，当x＝10时，Y＝e×10＝e≈，即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.(3)由表格数据可知，第5，6天的Y值大于50，故X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)))＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)))＝eq\f(2,5)，X的分布列为X012Peq\f(1,15)eq\f(8,15)eq\f(2,5)EX＝0×eq\f(1,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,3).思维升华(1)①计算平均数eq\x\to(x)，eq\x\to(y).②计算eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.③计算eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)).(2)将结果代入公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)，求eq\o(b,\s\up6(^)).(3)利用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^)).(4)写出线性回归方程．2．利用相关系数公式r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)))，可计算两个变量的相关系数，并利用其大小判断两个变量的相关性，进行回归分析．3．非线性回归分析问题的处理方法(1)描点，选模．画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合最好的函数．(2)解模．先对变量进行适当地变换，再利用线性回归模型来解模．(3)比较检验．通过回归分析比较所建模型的优劣．对点强化1(1)(2022·陕西西安模拟)打好脱贫攻坚战，稳步实施乡村振兴，离不开农村基层党组织的坚强战斗堡垒作用的发挥．某村村党支部书记为改良盐碱地土壤，从省城请来专家进行技术指导，并从某农业大学引进富硒草莓．功夫不负有心人，富硒草莓种植成功，村里建起了草苺采摘园，到了年底，种植草莓的收入连同合作社的其他经营项目一起，成了贫困户的主要经济来源．该村对近几年草莓的采摘价格和采摘人数情况进行了统计，发现草莓的采摘价格X(元/斤)和采摘人数Y(千人)的关系如下表：草莓采摘价格X(元/斤)2025303540采摘人数Y(千人)5852453228①已知X与Y之间有较强的线性相关性，试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))；②该村根据2022年草莓的产量，估计约34千人采摘，那么2022年草莓的采摘价格应定为多少元/斤？(结果保留整数)参考公式：线性回归方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).参考数据：eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝－400，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝250.解①由表中数据得：eq\x\to(x)＝eq\f(20＋25＋30＋35＋40,5)＝30，eq\x\to(y)＝eq\f(58＋52＋45＋32＋28,5)＝43，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(－400,250)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝43－(－1.6)×30＝91，∴Y关于X的线性回归方程为YX＋91.②令y＝34，x＋91＝34，解得x≈36(元/斤)，∴2022年草莓的价格应定为36元/斤．(2)(2022·陕西渭南模拟)近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解网约车在某省的发展情况，调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi(i＝1，2，3，4，5)，数据如下表所示：城市1城市2城市3城市4城市5A指标数X35679B指标数Y56789①由表中数据可知，Y与X具有较强的线性相关关系，请利用相关系数r加以说明；(精确到0.01)②建立Y关于X的线性回归方程，并预测当A指标数为8时，B指标数的估计值．相关系数r参考值：当0.3＜|r，线性相关程度一般；当|r，线性相关程度较高．参考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，线性回归方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).参考数据：eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝14，eq\r(2)≈1.414.解①由表得eq\x\to(x)＝eq\f(3＋5＋6＋7＋9,5)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(5＋6＋7＋8＋9,5)＝7，∴eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝20，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝10，r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(14,\r(10×20))≈，∴该A指标X与B指标Y具有较高的线性相关程度．②eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(14,20)，则eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝7－6×，∴Y关于X的线性回归方程为YX，将x＝8代入，得y×，故预测当A指标数为8时，B指标数的估计值为8.4.(3)(2022·河北承德模拟)某制造企业从生产的产品中随机抽查了1000件，经检验，其中一等品有800件，二等品有150件，次品有50件．若销售1件该产品，可获得利润165元．根据统计，该制造企业在2021年12月至2022年5月的产量Y(万件)与月份编号X(记2021年12月，2022年1月，…编号分别为1，2，…)近似满足关系式y＝b·xa(a>0，b>0)，相关统计量的值如下：eq\i\su(i＝1,6,)lnxi，eq\i\su(i＝1,6,)lnyi，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi)2，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi·lnyi，e≈2.7.根据所给的统计量，求Y关于X的回归方程，并估计该制造企业2022年8月份的利润为多少万元．(结果精确到0.01)附：对于一组数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线V＝eq\o(β,\s\up6(^))U＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解因为y＝b·xa(a>0，b>0)，所以lny＝ln(b·xa)＝lnb＋alnx.令v＝lny，u＝lnx，则v＝lnb＋au.因为eq\i\su(i＝1,6,)lnxi＝eq\i\su(i＝1,6,u)i，eq\i\su(i＝1,6,)lnyi＝eq\i\su(i＝1,6,v)i，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi)2＝eq\i\su(i＝1,6,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi·lnyi)＝eq\i\su(i＝1,6,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ui·vi))，所以eq\o(u,\s\up6(－))，eq\o(v,\s\up6(－))，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)（uivi）－6\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－6\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(－1.87－6××（－0.45）,9.46－6×2)＝eq\f(1,2)因为lnb＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝－0.45－eq\f(1,2)×＝－1，所以b＝eq\f(1,e)，所以回归方程为Y＝eq\f(\r(X),e).当x＝9时，y＝eq\f(3,e)≈，×165＝183.15万元．考点三独立性检验(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b