知识点07一次方程（组）及其应用2018-1

一、选择题1.（2018黑龙江省龙东地区，19，分值）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】B【思路分析】先确定问题中的已知量和未知量，再找到它们之间的相等关系，进一步确定：①篮球和排球都要购买；②两种球的个数均为整数个；③资金恰好用完．【解题过程】解：设购买篮球x个，排球y个，依题意列方程得120x＋90y＝1200，化简得4x＋3y＝40，∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案，故选B．【知识点】二元一次方程；不定方程的整数解2.（2018山东省东营市，6，3分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有爱心和笑脸两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同。由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（）16元16元20元?元19B.18C.16D.15【答案】B【解析】设笑脸气球的价格为x元一个，爱心气球的价格为y元一个，由题意得：，解得：，所以2x+2y=18（元）也可不解方程组，方程组中两个方程相加，得4x+4y=36,两边同除以2，得2x+2y=18（元）故选B.【知识点】识图，列二元一次方程组，解二元一次方程组，整体代入等。3.（2018四川乐山，3，3）方程组的解是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查了二元一次方程的解法，解题的关键在于掌握二元一次方程组的两种解法.解：先将其化简成方程组，得，由①得，，代入②，得，，解得，∴，∴原方程组的解是，故答案为D.解二元一次方程组时，根据方程组的特点一般采用“代入消元法”或“加减消元法”，把二元一次方程组转化为一元一次方程，解这个一元一次方程即可得出一个解，再代入其中一个方程可求出另一个解．【知识点】解二元一次方程组4.方程组的解是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．详解：，①-②得x=6，把x=6代入①，得y=4，原方程组的解为．故选A.点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．5.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号8，分值3）某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有 ()A,1种 B.2种 C.3种 D.4种【答案】C【解析】由题可知，设参加活动的男生有a人，参加活动的女生有b人，可得5a+4b=56，解得，∵a，b均为非负整数，∴b只能被5整除，即为4,9,14.∴小张可以安排学生参加活动的方案共有3种.故选C.【知识点】二元一次方程的应用，能被5整除的数的特点.6.（2018湖南省怀化市，7，4分）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】EQ\o\ac(○,1)+EQ\o\ac(○,2)得，，解得；把代入EQ\o\ac(○,1)得，．所以方程组得解是．故选B【知识点】解二元一次方程组7.（2018吉林省，6,2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题,故选：D．【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组．8.（2018内蒙古通辽，8，3分）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是 A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏【答案】A【解析】设第一件商品的进价为x，依题意得：x（1＋25%）＝150，解得：x＝120，所以赚了解150－120＝30元；设第二件商品的进价为y，依题意得：y（1－25%）＝150，解得：y＝200，所以赔了200－150＝50元，所以两件商品一共赔了20元，即亏损20元．故选A．9.（2018湖北十堰，7，3分）我图古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出七钱，则差4钱，问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（ ）A．EQ\B\lc\{(\a\al(8x－3＝y,7x＋4＝y)) B．EQ\B\lc\{(\a\al(8x＋3＝y,7x－4＝y)) C．EQ\F(x＋3,8)＝\F(x－4,7)QUOTEx+38=x-47 D．EQ\F(y－3,8)＝\F(y＋4,7)【答案】A【解析】设有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程：EQ\B\lc\{(\a\al(8x－3＝y,7x＋4＝y))，故选A．10.(2018湖南邵阳，10，3分)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是()A．大和尚25人，小和尚75人B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人D．大、小和尚各100人【答案】A，【解析】设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据相等关系：大和尚吃的馒头个数＋小和尚吃的馒头个数＝100，可列方程为：3x＋＝100．解方程可得x＝25．所以大和尚25人，小和尚75人．故选A．二、填空题1.（2018广西省柳州市，17，3分）x场，负y场，则可列出方程组为_______.【答案】.【解析】由胜场与负场的总场数为8列方程为x＋y＝8；由8场比赛所得总14分列方程为2x＋y＝14.将两个方程联立成方程即可.【知识点】二元一次方程组的应用2.（2018黑龙江绥化，19，3分）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲，乙两种体育用品（每种体育用品都购买），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，共有种购买方案.【答案】两.【解析】解：设甲种体育用品购买x件，乙种体育用品购买y件，根据题意得20x+30y=150∴x=，∴当y=1时，x=6；当y=3时，x=3.所以共有两种购买方案.故答案为两.【知识点】二元一次方程的应用3.（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，14，3分）某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A，B两个贫困地区，其中发往A区的物资比B区的物资的1．5倍少1000件，则发往A区的生活物资为件．【答案】3200【解析】设发往A区的生活物资为件，则B区的物资为件依题意可列方程，解得x＝3200．【知识点】一元一次方程应用题4.（2018贵州铜仁，16，4）定义新运算：※=，例如3※2=，已知4※=20，则=.【答案】4，【解析】根据新运算的定义，4※＝，∴.5.（2018内蒙古包头，13，3分）若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为.【答案】－2【解析】解二元一次方程组得，∴b－a＝－2.【知识点】二元一次方程组的解法6.（2018上海，9，4分）方程组QUOTEx-y=0x2+y=2的解是.【答案】QUOTEx=1y=1或QUOTEx=-2y=-2，【解析】由方程①变形得：y=x，把它代入方程②即可得到一个关于x的方程x2+x=2QUOTEx2+x=2，求出方程的解为x1=1QUOTEx1=1或x2=2QUOTEx2=-2，从而得出答案为QUOTEx=1y=1或QUOTEx=-2y=-2.7.（2018湖北随州13，3分）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝______．【答案】5．【解析】根据二元一次方程组的定义，将代入，得，解得，所以a＋b＝5．（2018湖南省株洲市，15，3）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．【答案】20【解析】解：设小强同学生日的日期为x，则月数为x＋2．2(x＋2)＋x＝31．解得：x＝9．x＋2＝11，11＋9＝20．所以小强同学生日的月数和日数的和为20．故填20．【知识点】一元一次方程8.（2018云南曲靖，13，3分）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，则该书包的进价为________元【答案】80.【解析】设书包的进价是x元，列方程为：115×0.8－x＝15%x，解得：x＝809.（2018年浙江省义乌市，12，5）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为____________尺，竿子长为____________尺．【答案】20；15【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：，解得：．答：索长为20尺，竿子长为15尺．故答案为：20；15．【知识点】二元一次方程组的应用三、解答题1.（2018海南省，20，8分）“绿水青山就是金山银山”．海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个.问省级和市县级自然保护区各多少个？【思路分析】设省级白然保护区为x个，市县级自然保护区为y个，根据题意，得，求解二元一次方程组即可．【解题过程】设省级白然保护区为x个，市县级自然保护区为y个，根据题意，得，解这个方程组，得，答：省级白然保护区为22个，市县级自然保护区为17个．【知识点】二元一次方程组的实际应用2.（2018浙江嘉兴，18，6）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由①-②,得.解法一：由①-②,得.解法二：由②，得3x＋（x－3y）＝2，③把①代入③，得3x＋5＝2．（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误,请在错误处打“”．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【思路分析】解法一中x－4x＝﹣3x，故解法一有错．【解答过程】（1）解法一中的计算有误（标记略）（2）由①-②，得－3x＝3，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．所以原方程组的解是．3.（2018吉林长春，18，7分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元.店方表示：如果多购，可以优惠.结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润.每套课桌椅的成本.（2）求商店的利润.【思路分析】设每套课桌椅成本为x元，则优惠后的单价为（100-x）元，然后依据商店获得了同样多的利润，列出关于x的方程，最后求出方程的解，即可.总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数.【解题过程】（1）解：设每套课桌椅的成本为x元.由题意得60（100-x）=72（100-3-x）解得x=82.答：每套课桌椅的成本是82元.由（1）得每套课桌椅的成本是82元，所以商店的利润是60（100-x）=60（100-82）=1080答：商店的利润是1080元【知识点】一元一次方程解决实际问题；总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数4.（2018江苏扬州，20，8）对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．【思路分析】（1）根据新定义型运算法则即可求出答案；（2）列出方程组即可求出答案．【解题过程】解：（1）；（2）由题意得∴．【知识点】新定义型，求代数式的值，解二元一次方程组5.（2018广西贵港，23，8分）某中学组织一批学生开展社会实现活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60坐客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45坐客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？【思路分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数＋15＝学生总数，60×（45座客车辆数－1）＝学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．【解答过程】（1）设这批学生的人数是x人，原计划租用45座客车y辆．根据题意，得EQ\B\lc\{(\a\al(45y＋15＝x,60(y－1)＝x))，解这个方程组，得EQ\B\lc\{(\a\al(x＝240,y＝5))．答：这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆；（2）租45座客车：（辆），所以需租6辆，租金为220×6＝1320（元），租60座客车：240÷60＝4（辆），所以需租4辆，租金为300×4＝1200（元）．答：租用4辆60座客车更合算．6.(2018湖南湘西州，20，6分)解方程组：．【解答过程】①＋②，得4x＝8，∴x＝2．把x＝2代入①，得y＝1．所以这个方程组的解为7.（2018江苏常州，20①，4）(本小题满分8分)解方程组和不等式组： （1）【解答过程】②①②①解：①+②得：3x=6∴x=2将x=2代入①，得y=－18.（2018江苏苏州，24，8分）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多l台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？【思路分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用.解答第（1）时，根据题意列出地二元一次方程组来解决问题；解答第（2）时，根据题目中的不等式关系列出不等式来解决问题.【解答过程】（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元．根据题意得：，解这个方程组，得x＝3500，y＝1200．答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元．（2）设学校购买胛台B型打印机，则购买A型电脑为（n－l）台，根据题意得：3500(n－1)＋1200n≤20000，解这个不等式，得n≤5．答：该学校至多能购买5台B型打印机．9.（2018江苏镇江，21，6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？【思路分析】根据相等关系“这两天共读了整本书的”列一元一次方程求解．【解答过程】设这本名著共有页．根据题意，得＝．解得＝216．答：这本名著共有216页．10.(2018辽宁葫芦岛，21，12分)某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用．修建1个足球场和1个篮球场共需万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？【思路分析】（1）题中的等量关系：（1）修建1个足球场和1个篮球场共需万元；（2）修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．根据题中的等量关系列方程组，求解即可．（2）根据题中的不等量关系列出不等式，求解即可．【解答过程】（1）设修建一个足球场需x万元，修建一个篮球场需y万元．根据题意，得，解得．答：修建一个足球场需万元，修建一个篮球场需5万元．（2）设修建足球场a个，则修建篮球场(20－a)个．根据题意，得a＋5(20－a)≤90，解得a≥．答：至少可以修建7个足球场．11.（2018云南省昆明市，20，8分）（列方程（组）及不等式解应用题）水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基础水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27．6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46．3元．（注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数）（1）求每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？（2）如果用户7月份生活水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？【思路分析】（1）根据等量关系列出二元一次方程组求解即可；（2）由题意列出一元一次不等式组即可得到该用户7月份最多可用水量．【解题过程】解：（1）设每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是x元、y元，有题意可得，解得，答：每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是2．45元、1元；（2）设该用户7月份用水z立方米，∵64＞10×（1＋2．45），∴z＞10．由题意得10×2．45＋（z－10）×2．45×（1＋100%）＋z≤64，解得z≤15，∴10＜z≤15，答：设该用户7月份最多可用水15立方米．【知识点】二元一次方程组的实际应用；一元一次不等式组12.（2018黑龙江哈尔滨，25，10）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜雷用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元;(2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜?【思路分析】（1）设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元．由购买8个A型放大镜和5个B型放大镜雷用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购买a个A型放大镜，则购买B型放大镜(75－a)个．根据总费用不超过1180元，建立不等式求出其解就可以了．【解答过程】(1)解:设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元．根据题意得解得∴每个A型放大镜20元，每个B型放大镜12元．(2)解:设可以购买a个A型放大镜，则购买B型放大镜(75－a)个．根据题意得20a＋12(