(完整版)三角函数与平面向量综合题的六种类型

(完整版)三角函数与平面向量综合题的六种类型

【例1】已知三角形ABC为锐角三角形，且A＋B＋C＝π。向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)共线。求角A和函数y＝2sin2B＋cos的最大值。【例2】已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(0，2π)，且→a⊥→b。求实数m的值和函数y＝f(x)＝a·b的最小值及此时x的值的集合。【例3】已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝5。求cos(α－β)的值和sinα的值，已知－5＜β＜α＜5/2π，且sinβ＝－2/3。【例4】设函数f(x)＝→a·b，其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(π/2)＝2。求实数m的值和函数f(x)的最小值。【例5】在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且tanC＝3/7。已知a＋b＝2c，求sinA和sinB。【例6】设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m,cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)的图象经过点(π/4,2)。求实数m的值和函数f(x)的最小值及此时x的值的集合。【例7】设向量a＝(sinx,cosx)，b＝(cosx,cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b)。求函数f(x)的最大值和最小正周期，以及使不等式f(x)≥0成立的x的取值集。b＝2，a·→c＝3，b·→c＝4，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．一般三角形D．锐角三角形4．已知函数f(x)＝2sinx＋cosx，g(x)＝2cosx－sinx，则f(x)·g(x)的最大值为（）A．3B．2C．1D．05．已知向量→a＝(2,1)，则向量→b＝(3,2)在以→a为一边的平行四边形中所对顶的角的正切值为（）A．1B．2C．12D．2二、填空题6．函数f(x)＝2cosx－sinx的最小正周期为__________．7．已知向量→a＝(1,2)，向量→b＝(3,4)，则向量→a·→b的模长为__________．8．已知向量→a＝(1,2)，向量→b＝(3,4)，则向量→a＋→b的模长为__________．9．已知向量→a＝(1,2)，向量→b＝(3,4)，则向量→a－→b的模长为__________．10．已知向量→a＝(1,2)，向量→b＝(3,4)，则向量→a·→b的值为__________．三、计算题11．（解析几何）已知三角形ABC的三个顶点为A(2，－1，1)，B(0，1，－1)，C(3，2，2)，求（1）三角形ABC的面积；（2）角A的余弦值；（3）角B的正切值．12．（向量）已知向量→a＝(1，2，3)，向量→b＝(2，1，4)，向量→c＝(3，5，1)，求（1）向量→a·→b，向量→a·→c，向量→b·→c；（2）向量→a＋→b，向量→a－→b，向量→c＋→a；（3）向量→a×→b，向量→a×→c，向量→b×→c．13．（三角函数）已知函数f(x)＝2cosx－sinx，g(x)＝2sinx＋cosx，求（1）函数f(x)·g(x)的最大值及取最大值时的x；（2）函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值及取最小值时的x．14．（向量）已知向量→a＝(1，2)，向量→b＝(3，4)，向量→c＝(2，1)，求（1）向量→a与向量→b的夹角；（2）向量→a在向量→b上的投影；（3）向量→a在向量→c上的投影；（4）向量→a与向量→b的和，向量→a与向量→b的差．15．（解析几何）已知四面体ABCD的四个顶点A(1，1，0)，B(－1，2，1)，C(0，1，2)，D(2，1，1)，求四面体ABCD的体积．1.题目不清晰，无法修改。2.设向量$\vec{a}=(\frac{3}{2},\sin\alpha)$，$\vec{b}=(\cos\alpha,\frac{1}{3})$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$\alpha=60^\circ$。3.已知向量$\vec{a}=(\sin\theta,1+\cos\theta)$，$\vec{b}=(1,1-\cos\theta)$，其中$\theta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，则$\vec{a}\perp\vec{b}$。4.已知向量$\vec{a}=(6,-4)$，$\vec{b}=(0,2)$，$\vec{c}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$，若点$C$在函数$y=\sin\frac{\pi}{12}x$的图像上，则$\lambda=-\frac{3}{22}$。5.已知向量$\vec{OP_1}=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\vec{OP_2}=(2+\sin\theta,2-\cos\theta)$，则$\|\vec{P_1P_2}\|$的最大值为$\sqrt{3}$。6.若向量$\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\vec{b}=(\cos\beta,\sin\beta)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos(\alpha-\beta)$。7.已知向量$\vec{a}=(\cos25^\circ,\sin25^\circ)$，$\vec{b}=(\sin20^\circ,\cos20^\circ)$，则$|\vec{u}|$的最小值为$\frac{1}{2}$。8.答案不唯一，无法填空。9.若$\vec{m}=(\sin\theta,2\cos\theta)$，$\vec{n}=(3,-\frac{1}{2})$，且$\vec{m}\parallel\vec{n}$，则$\sin2\theta=\frac{1}{2}$。10.若$\vec{OA}=(2\cos\alpha,2\sin\alpha)$，$\vec{OB}=(5\cos\beta,5\sin\beta)$，且$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=-5$，则$S_{\triangleOAB}=5$.因为$x\inR$，所以$\sinx\in[-1,1]$，因此当$\sinx=1$时，$f(x)$有最大值。当$\sinx=-1$时，$f(x)$有最小值$-3$，因此所求函数$f(x)$的值域是$[-3,+\infty)$。解(Ⅰ)由$\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}$得$2\sin2A-1-\cosA=0$，即$2\cos2A+\cosA-1=0$，$\therefore\cosA=1$或$\cosA=-\frac{1}{2}$。由于$A$是$\triangleABC$内角，$\cosA=-1$舍去，$\thereforeA=\frac{\pi}{3}$。解(Ⅱ)由正弦定理得$b+c=3a$，所以$\sinB+\sinC=3\sinA=\frac{3\pi}{2}$。$\becauseB+C=\pi$，$\sinB+\sin(-B)=0$，$\therefore\sinC=\frac{3}{2}\sinA$。$\because\cosC=-\cos(A+B)$，$\therefore\cosC=-\cos(\frac{\pi}{3}+C)$，$\thereforeC=\frac{2\pi}{3}$。解(Ⅰ)由$\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}$得$(2b-c)\cosA-a\cosC=0$。由正弦定理得$2\sinB\cosA-\sinC\cosA-\sinA\cosC=0$，$\therefore2\sinB\cosA-\sin(A+C)=0$，$2\sinB\cosA-\sinB=0$，$\therefore\cosA=\frac{1}{2}$，$\thereforeA=\frac{\pi}{3}$。解(Ⅱ)$y=2\sin^2B+2\sin(2B+C)=1-\cos^2B+\sinB\cosC+\cos^2B\sinC=1+\sin^2B-\cos^2B$。由(Ⅰ)得$0<B<\frac{\pi}{6}$，$-\frac{\pi}{3}<2B-C<\frac{\pi}{3}$，$\therefore$当$2B-C=-\frac{\pi}{3}$，即$B=\frac{\pi}{6}$时，$y$取最大值2。假设$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$2\cosx(\cosx+\sinx)-\sinx(\cosx-\sinx)=\cos2x+\sin2x$，$2\cos^2x+\sinx\cosx+\sin^2x=\cos2x+\sin2x$，$2\sin^2x+\cosx\sinx+\cos^2x=\cos2x+\sin2x$，即$\sin^2x+\cos^2x=-3$，与$|2(\sin^2x+\cos^2x)|\leq2$矛盾，因此向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$不可能平行。$f(x)=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(\cosx+\sinx)(\cosx-\sinx)+\sinx\cdot2\cosx=\cos^2x-\sin^2x+