信号与系统第四章连续时间傅立叶变换课件

在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号:对非周期信号应该如何进行分解？非周期信号的频谱表示？在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号。考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得到对非周期信号的频域表示方法。4.0引言14.1

非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换一.从傅立叶级数到傅立叶变换首先考察周期矩形脉冲的频谱图：2周期方波信号如图所示,其在一个周期(-T/2,T/2)内的信号表达式为:……

-T-T/2-T1T1T/2Ttx(t)其傅里叶级数的系数（频谱）为---占空比3不变时不变时TTT4周期性矩形脉冲信号的频谱特征：

1.离散性2.谐波性3.收敛性考查周期和脉冲宽度改变时频谱的变化：当不变，改变时，随使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降,但频谱包络的形状不变2.当改变，不变时，随使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。5也随T增大而减小，并最终趋于0。但是若考查的变化，，等式右边与T无关。若T为有限值时，Tak是有限值，那么当时，Tak仍然是有限值。若T1不变，则Tak不变。当时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。

于是，我们推断出:当时，离散的频谱将演变为连续的频谱。周期方波信号的傅里叶级数系数及其包络T1不变，(a)T=4T1,(b)T=8T1,(c)T=16T1连续时间非周期信号傅里叶变换对的数学推导：考察下图所示周期信号和对应的非周期信号x(t):

对周期信号有如下傅里叶级数:8由如果令则有连续时间傅立叶变换

与周期信号傅立叶级数对比有：当称为频谱密度函数，简称为频谱9此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为的复指数信号之和。当时，于是有：傅立叶反变换

根据傅立叶级数表示：

10于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。11二.常用信号的傅立叶变换：1.010幅度谱是偶函数相位谱是奇函数122.结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。10对此例有133.0这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。01物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”。144.矩形脉冲:-2-101234主瓣旁瓣15101000不同脉冲宽度对频谱的影响说明：信号在时域变化越快，在频域变化就越慢，反之亦然；信号在时域的脉冲越宽，其在频域的主瓣就越窄，反之亦然。16(称为理想低通滤波器)与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。5.1，0，10017对偶关系可表示如下:10100018由例4看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例5.我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。6.若则有所以1910t冲激函数傅里叶变换对t010020三.信号的带宽(BandwidthofSignals):

由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:212.对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。

下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量约占有信号总能量的1/2。1.以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C(脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。

现代信号处理中,经常要解决由这一相反的关系带来的一系列问题---信号的时频分析224.2周期信号的傅立叶变换所对应的信号考查由周期信号的傅立叶级数表示就有周期信号的傅立叶变换周期性复指数信号的频谱是一个冲激。同样有：

这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。23例1：

例2：

24010例3：

均匀冲激串25傅里叶变换0t0ω傅里叶级数-2T–T0T2T

t

傅里叶变换0t和的三种傅里叶频谱之间的关系264.3

连续时间傅立叶变换的性质

讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。1.线性:Linearity则若说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。272.时移:TimeShifting则若

这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移：28所以即由可得3.共轭对称性:ConjugateandSymmetry

若

则29实部是偶函数虚部是奇函数写成实部和虚部形式：则有：模是偶函数，相位是奇函数写成模和相位形式：则有：若是实信号，即，则30所以：

实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。----是实函数。所以又因为----是偶函数。若是实偶信号，即，则----是奇函数----是虚函数所以：

实奇信号的傅立叶变换是虚奇函数。若是实奇信号，即，则31若则有:以上各性质可以简称为傅里叶变换的奇偶虚实性实函数虚函数32例:的频谱:101/20-1/21/20将分解为偶部和奇部有33344.时域微分与积分:DifferentiationandIntegration(微分特性，微分运算变为代数运算)(将两边对微分即得该性质)由时域积分特性从也可得到:（积分特性）则：若35时域积分特性的证明利用时域卷积定理（下节证明）物理意义：若x(t)的直流分量为0，即X(0)=0，则有365.时域和频域的尺度变换:

Scaling当时，有尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍，则其带宽相应压缩a倍，反之亦然。时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。则若应用：在无线通信中，通信速度与占用频率带宽是一对矛盾376.对偶性:Duality若则证明：例如：38对偶关系可表示如下:10100039根据得这就是移频特性例如:由有对偶关系利用时移特性有再次对偶有由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域40（a）门函数及其频谱（b）高频脉冲信号及其频谱

417.

Parseval定理:若则这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。424.4

卷积性质TheConvolutionProperty一.卷积特性：则若（a）时域卷积运算（b）频域相乘运算43故有可将分解成复指数分量的线性组合，每个通过LTI系统时都要受到系统与对应的特征值的加权。这个特征值就是所以由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。由表明：444.5

相乘性质

TheMultiplicationProperty

（又叫频域卷积特性）若则两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是通信系统中的幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。45再次对偶利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质46例1:移频性质47例2.正弦幅度调制:10通信系统中的调制和解调就是利用了傅里叶变换的相乘性质4801/2正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。49例3.

同步解调:2此时，用一个频率特性为的系统即可从恢复出。20只要即可。具有此频率特性的LTI系统称为理想低通滤波器。1/21/41/4h(t)50一、连续信号的数字化：连续信号抽样信号采样脉冲数字信号xp(t)是否保留了原信号x(t)的全部信息？在什么条件下可以从xp(t)中无失真地还原出x(t)？量化编码以下内容为第七章的部分内容51

在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。

此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列。52二、采样的数学模型：在时域：在频域:三、冲激串采样(理想采样):为采样间隔53

00054

可见，在时域对连续时间信号进行理想采样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以为周期进行延拓。在频域由于所以55056

要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能够从中不失真地分离出。这就要求在周期性延拓时不能发生频谱的混叠。为此必须要求:在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从中不失真地分离出。1.

必须是带限的，最高频率分量为。2.采样间隔(周期)不能是任意的，必须保证采样频率。其中为采样频率。57四、

奈奎斯特(Nyquist)采样定理:

低通滤波器的截止频率必须满足:

为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具有倍的通带增益。

对带限于最高频率的连续时间信号,如果以的频率进行理想采样，则可以唯一的由其样本来确定。

58不满足抽样定理时产生频率混叠现象理想低通滤波器H(jw)由于理想低通滤波器的不可实现性，实际应用时都要求59满足抽样定理时由抽样信号恢复原连续信号1、取主频带：其中理想低通滤波器：2、时域卷积定理：