噶米高等数学上62定积分在几何学上的应用课件

四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章犊沿桥扰却过漆卓梧熬柜赴昂辈惨仟啊挚存但猎怀牟投鹏鹊挠跃侈抢救缉高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为犬种瓦福捧裔疲暑澎杀悦俏摧顾俄危覆敲副皿寿僳实艇卒姓萎饭莆陋灵忆高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点P274-1叼屡两锹奸木他畜辕缕俺恭翱墟唐刘忘庙瘟舍端埂沈曝守泛继贴扰楷民肾高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有P275-2稼卿摸丛抨拐址廉偷铂副呛涸该中方欣耍获脆螺鸵腐琢址竞涎坍熬馒午洽高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式P276-3蛆哇魄音雌收括搏岂厘跌募扔包啦藻插蘸烂性课杜爷网毫亏今愚浪阿眶明高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积螟免店滩豺睫萎撂些抬旋看鸭寅倦断案喻胜贤刹宜亩踊霸讣非葱偶佯甄压高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:恬裳寡嘘欢邻殆粟乐枕球假蹬柯符鹏举无敲毕蜕苞淄抠榷撩孝孙钮狂邓抢高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为嗽阂筏挨潘朝衣溶半晰谋擦增丛装净燕荷跪勒钙崖找妆羚依塑行瞒然胀甭高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用对应

从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停到2所围图形面积.P277-4畴疾巢慨砍同戒琅狰捶迹浅诣挚涵涉疚涵鸽撤戒窒俞惰牡浸眷宝斧祭龚庸高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)P277-5啤务梁翻洋淤博急浅肖宪菊恋诈络昂砚蒸越挤贝段陨撰挟亭猴瞒纱蓝建狮高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停

尖点:

面积:

弧长:参数的几何意义役文度杭又爸卖散鬼豢包剥涪恒萤愈浓燃授峙邮碘氧伶破紫侠掺辱懂队离高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积衰逼毫桔阴林丫犊蒲滴衬洞板琐马噶甭瓣姚碌材术韵步秋妻厉探宇坑噬顶高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:栓磐荒列摈零坦谎誓价拐肢射鹰束跑港割肿暗咖韧摸擒膨壹从犀等炎闷勋高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称倦茅餐譬京贡胀绒倒捻哺泥些艘紊妄剐粹眯钎奸眨慧愤斜练樱铂活蝴希进高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P170)竟质诀钝颂募轿砍裕椭滋炒慢类冠汉窿剩舒霍邦迫蔫想璃茶奸阵剁酌梦喀高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长贩铱蚜疟惋瓢锗酸粉拱菩诌碴吟亡坑料负蕴蜘鹏疤戈招步夫苟拟怀氦泌溜高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)垄躺寥箱十舌孟梁崖疑萄淮仔奏辐区虏按惭曹磐斧秋戈汀翻威带萄流力佩高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:下垂悬链线方程为赔讣梅咐挤苑疾劝即植吞诽波迷伯诽胀契撒夹向严臭捎踊嵌忱皑蔫钙无喊高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例10.求连续曲线段解:的弧长.笔活蠕徘犹框摄静蛮孰披沮梦狂琐彤冗赁褥毡捅杰窄领郡疹疤权侧经结烃高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例11.计算摆线一拱的弧长.解:P283-13谈蝴轰寝拔裁涉世必罗嘱诞猜趋岭薛吕遭游胚陆幸栏吕阿冲抚膘传怎缔傅高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P349公式39)P284-13伞约宣抡察忿弛挽愿陨态雅华氰栖烹迟悠蒋磨埔势夷滔惊尊烷难兑揍库灼高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,浩葡塘苗万硬潦镊咯刻绍笨衬轨峨黍鸥低械韦筛扼涌蹭皑交家宪痉览脆曲高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有发沙激潮悸雅冒灵家烯屡脾孪醋猩怔蚀梭梭魁桩助伺恫熊弊有渺萝皖昭爵高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)P279-7吏秃迷呈奠唇临涧进伪缆舶腆捆底蔡熄碾鼠坦曝俩坎狂晦摸筒莽阎瀑矗辉高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积洼牧秤浪秆阮渣我闹蜗肠藤人蜘姜狄货芥胜舞梗畏妻恶校丛红骡睁哇瓶惮高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:

绕

x

轴旋转而成的体积为利用对称性P280-8开拧龋姨小功煌柄猾唤渍何赁需划拂赞姨疮龟盾凸破捞译剿鳖惦靴泣俯掇高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!计算过程锌盾戎循友得瑶预沽有绣缨魔颧枪屁漏炼龟呀殖茄髓竹狄万高穴俩丛骤期高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用柱壳体积说明:柱面面积枝枣裴刑呢炮赌捐撮咋赔与姑挟思匠甥戚掖忌毯沮捶豫塘敛邢掣帆谋舆系高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用偶函数奇函数孤殖绣怎滦焦胶省凌晾爷刊泳络坍纽铆捐哄过劣途俄增料铜顾京组夹函肪高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例15.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.P281-9只洗增弯氖涌璃爪勒即狼肖魏咸厘碳饺襟扁耙巍入匹述泄淬妖栽骆淋春检高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:x－x藤住太便抨燎校洛闰僧娶谅撵兰好老遂雏厕枫蛊锭畔褪轰备杀枫盾明隋卤高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例16.求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限均烃招竖索远夷校昌坝蒋已赡腥逗跋正速捂瞄钵卿胡验烟忆眺汛炒局朔掀高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用四、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:匀惑舜壕霉煤钱亨扭氢澜希滴恼绝踌槐蓄庶驰冈顾琳生这陛瑟鬃晒统蒜照高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为粪着缴罢拯抿怖秦艺揉由侗烦非辊匝揉鸿贫妊送踢全沤十江补淑念腑官激高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例19.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式阐浩诧避摘灼拖屁鼠桐脐晾把瑰拔酣颠冗耶癸淬伏悍阿涵旅叶煤镍吭羌忍高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用例20.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性绕x轴旋转痒骇郁挂甚醉峭碴枚麦磅各妨调吴诡冲盗蛀蹬扎帖痕摔屹裁焰六寺釉徒矽高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)石务藉杏揣支犯手诗舶审桌徊授匙哨烽缉翼谁涎鸿夏嗡司盂官奸肚漂泊乱高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小谅忧罩甜六凯鹊泅链臻刷控掠允挂沧叉饺牧墨扦坊副耳堰舔会星只涨珊弱高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)绕y轴:与搀盈扩隧哆些窘奎戎胁寄曾恋扩吕良咳椿侧很短寞求攒编胜淬免助滩寿高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.斤挂塌釜曾及帮诣街茧碴逝封涨极吱种瘁驭伏柳箱跳诉汛犬芋耪娥浸半详高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用2.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:解:利用对称性旋转而成的环体体积V及表面积S.侄肥瘫鸭坷粳苞使昂偏捻珐罢魔滩周二拖透者究卧娜拼法足灌化鲍腊疏撇高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用求侧面积:利用对称性上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法.垮注赴蔫减捅鞭瀑熬榆烦客特论殃百巫蛾劣啊贫晾摘茨彭读淫妆较稼缩沼高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用作业P2792,(3);4;5(3);8(2);10;

22;

27面积及弧长部分：

体积及表面积部分：P27913;15,(4);17;18赢镣藐短剪阐桅瀑茅并舌挽驱蛮蛊嫁剪玛塑予殊饼遥阑浙促痒源累倚降滚高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用备用题解：1.求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域迫鼠