高中函数三函数的单调性(解析版)

专题三函数的单调性

1.增函数、减函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数外)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任

意两个自变量的值为，X2

定义

当时，都有兀口)勺(X2)，那么就当X1〈X2时，都有"|)次X2),那么就

说函数/(X)在区间D上是增函数说函数/(x)在区间D上是减函数

vt产)

图象\fixx)四2)

01%~x

描述opX

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.单调性、单调区间的定义

若函数y=/(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=/(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数

y=/(x)的单调区间.

单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.单调区间只能用区间表示，不能用集合或

不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“U”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开.

2.常用结论

结论1：增函数与减函数形式的等价变形

y=/(x)在区间D上是增函数=对垢1<》2,都有加1)矶V2)=(X1—X2)[/(X|)一/(X2)]>0O©L」^>0；

X\—X2

_y=/(x)在区间D上是减函数=对Vxi<、2,都有y(Xl)>/(X2)=(Xl—X2)[/(X|)—Xx2)]v0=^^~^^<0.

X\-X2

结论2：单调性的运算性质

(1)函数夕=/(x)与函数y=/(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

(2)若我>0,则研x)与火x)单调性相同；若k<0,则相x)与寅x)单调性相反.

(3)在公共定义域内，函数沙=/(》)(/(》)>0)与)，=/"(x)和了=<而具有相同的单调性.

(4)在公共定义域内，函数夕=加)岫)翔)与夕=」;单调性相反.

小)

(5)若y(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数，则人x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.

(6)若Xx),g(x)均为区间Z上的增(减)函数，且_/(x)>0,g(x)>0,则小>g(x)也是区间”上的增(减)函数.

结论3：复合函数的单调性

复合函数夕=/[g(x)]的单调性与y=/(")和〃=g(x)的单调性有关.若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数

为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数.简记：“同增异减”.

结论4：奇函数与偶函数的单调性

奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.

结论5：对勾函数与飘带函数的单调性

1

对勾函数：J(x)=ax+-(ab>0)

X

(1)当a>0,b>0时，/(x)在(―8,-J-］,,+8)上是增函数，在［一J"0),(0,上是减函数;

(2)当aVO,6<0时，/住)在(一8,一口］,［口，+8)上是减函数，在［一,0),(0,上是增函数;

\a\aVaya

飘带函数：f(x)—ax+~(ab<0)

x

a>9.b<Q(Ia<0,jb>0

⑴当a>0,Z>VO时，人力在(一8,0),(0,+8)上都是增函数;

(2)当aVO,b>0时，./(x)在(一8,0),(0,+8)上都是减函数;

考点一确定函数的单调性或单调区间

【方法总结】

确定函数的单调性或单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间.

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间.

(3)图象法：如果兀0是以图象形式给出的，或者人》)的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区

间.

【例题选讲】

［例1|(1)下列函数中，在区间(0,+8)内单调递减的是()

A.y=--xB.y=x1—xC.y=\nx-xD.y=ex-x

⑵下列函数中，满足“Wq,X2e(0,+8)且闪急2,(沏-X2)・［/(X］)—火也)］<0”的是()

2

C._/(x)=1-x

A./)=2*B.Xx)=|x-l|D.Xx)=ln(x+1)

X

(3)函数/(x)=|x2—3x+2]的单调递增区间是()

A.你+可B.W孤⑵+oo)C.(-00,1.8'I和[2,+oo)

（4）函数y=Ux2+x-6的单调递增区间为单调递减区间为

（5）函数y=logi（x2—3x+2）的单调递增区间为,单调递减区间为

2

【对点训练】

1.给定函数①歹=12,②y=log](x+l),③y=|x-1|,@y=2x~].其中在区间（0，1）上单调递减的函数

2

序号是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.下列四个函数中,在XC（O,+8）上为增函数的是（）

1

A.J(x)=3-xB.f(x)—x2—3xC.0)=D.^x)=-|x|

x+\

3.若函数大乃满足“对任意XI,X2d（0,+oo),当X1〈X2时,都有以|）如2）”,则y（x）的解析式可以是（）

A./(x)=(x-l)2B.J(x)=eC.D../(x)=ln(x+l)

X

4.函数/（x）=|x—2|x的单调减区间是（)

A.[1，2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+oo)

1,x>0,

5.设函数/(x)=.O,x=0,gW=xyCx-l),则函数g（x）的单调递减区间是（）

-1,x<0,

A.(-8,0]B.[0,1)C.[1,+oo)D.[-1,0]

函数y=(g)

6.的单调递增区间为（)

f-oo,3c.e+q3,+A

A.(1,+oo)B.I4jD._4J

2

7.已知函数｛x）=\lx-2x-3,则该函数的单调递增区间为（)

A.(—00,1]B.[3,+co)C.(-00,-1]D.[1,+oo)

8.（2017・全国II）函数兀^）=1口（炉一2%—8）的单调递增区间是（)

A.(-8,~2)B.(—oo,1)C.(1,+oo)D.(4,+oo)

3

考点二比较函数值或自变量的大小

【方法总结】

比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到

同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.

【例题选讲】

［例2|(1)设偶函数的定义域为R,当xC［O,+00)时，兀0是增函数，则人一2),火兀)，八-3)的大小关系是()

A.角t)M-3)M—2)B.小)刁(一2)次-3)C.ATC)<A-3)</(-2)D.人兀)勺(一2)守(-3)

(2)(2017•天津)己知奇函数段)在R上是增函数.若。=一/［唾23。=人2吟，则。，b,。的大小关

系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

(3)已知函数J(x)=k)g2xH■――9若R£(1,2),X2^(2,+00),则()

1—x

A.危】)<0,y(X2)<0B.Xxi)<0,Xx2)>0C.；(xi)>0,/X2)<OD.-0,^x2)>0

(4)已知函数y=/(x)是R上的偶函数，当xi，工2仁(0,+oo),工曲2时，都有(打一/(工2)卜0.设。=hrkb=(ln

71

7T)2,c=ln«,则()

A.刎>肚)>3B.火6)次。)次c)C.{c)次。)况b)D.

(5)若2叶5%2〉+5一。则有()

A.x+yNOB.x+y<0C.x-y<QD.x-y>0

【对点训练】

9.已知函数段)的图象向左平移1个单位后关于》轴对称，当X2>X1>1时，［/(X2)—/(X1)］，(X2—»)<0恒成立，

设。=［一力，人=/(2),c=/(3),则。，b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

10.已知函数<x)在R上单调递减，且。=3*,6=曰，c=ln；,则/(a),火6),人c)的大小关系为()

A.Aa)>J［b}>Ac)B.Ab)>Ac)>Aa)C.负b)D.Ac)>Ab)>Aa)

考点三解函数不等式

【方法总结】

含了不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为/(g(x))>/S(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“尸，转

4

化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与/7(x)的取值应在外层函数的定义域内.

【例题选讲】

[例3](1)已知函数人外是定义在区间[0,+8)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足y(2x—l)V/日的x的取值

范围是()

P斗口，2]化2]「工，斗

A.U3jB.L33jC.匕3jD.J.3j

(2)已知函数Xx)是R上的增函数，J(0,-3),8(3,1)是其图象上的两点，那么不等式一3S/(x+l)<l的解集的补

集是(全集为R)()

A.(-1,2)B.(1,4)C.(-oo,-1)U[4,+oo)D.(一8,-|]U[2,+oo)

(3)定义在[-2,2]上的函数人%)满足(X|—X2)[/(X1)—/(X2)]>o,X1,X2,且4)况2"-2),则实数”的取值范围为

(4)外)是定义在(0,+s)上的单调增函数，满足兀沙)=/(x)+火y),火3)=1,当火刈+加一8)/2时，x的取值范围是

()

A.(8,+oo)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

(5)(2015・全国11)设函数/)=111(1+困)一一J则使得兀V)力(左一1)成立的x的取值范围是()

1+xz

p,iir-oo,i],[-1X]f-oo,-i]ri,+力

A.UJB.I3ju(l,+oo)C.I33jD.I3juUJ

【对点训练】

定义在R上的奇函数y=/(x)在(0,+8)上单调递增，且£)=0,则满足/log/>0的x的集合为.

11.

9

12.已知函数./(x)=lnx+x,若人次一0次0+3),则正数。的取值范围是.

'2xx<2

13.''若加+1)次2〃-1),则实数。的取值范围是(B)

{x2,x>2.

A.(—oo,1]B.(-oo,2]C.[2,6]D.[2,+oo)

2~x,x<0,

14.(2018・全国I)设函数/(%)=则满足/(x+l)V/(2x)的x的取值范围是()

J,x>0,

A.(—oo,—1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(—co,0)

x2—4x+3,x<0,

15.已知人工)=,不等式Hx+a)>/(2a—x)在[a,a+1]上恒成立，则实数。的取值范围

—x2—2x+3,x>0,

是

5

考点四求参数的取值范围

【方法总结】

求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，

再结合图象求解.求参数时需注意若函数在区间［凡6］上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.

【例题选讲】

［例4|(1)如果二次函数/(x)=3x2+2(a—l)x+6在区间(-8,1)上是减函数，那么a的取值范围是.

(2)已知函数Hx)=x-f+：在(1,+8)上是增函数，则实数“的取值范围是

(3)若函数/(x)=06—x|+2的单调递增区间是［0,+8),则实数a,6的取值范围分别为

ax2-x—,x<l>

(4)已知函数/(x)=4是R上的单调函数，则实数。的取值范围是()

JogaX-1,X>1

1r0,11]

B._4‘2_C.D.12'J

(5)已知函数外)=108式/-ax+3a)在［1,+s)上单调递减，则实数a的取值范围是

2

【对点训练】

16.如果函数")=依2+2》-3在区间(一8,4)上是单调递增的，则实数〃的取值范围是()

fi,'i「1工］r1nir1J

I---,+ool---,+ool---,01---,0

A.I4JB._4JC_4JD._4」

17.若加)=世”1在区间(-2,+oo)上是增函数，则实数a的取值范围是

x+2

18.若/(x)=—F+4s与g(x)=§-在区间［2,4］上都是减函数，则”的取值范围是(D)

x+1

A.(-oo,0)U(0,1］B.(-1,0)U(0,1］C.(0,+oo)D.(0,1］

19.已知7^)=‘2-""+1'、"’满足对任意为外2,都砂D-/(X2)>O成立,那么”的取值范围是

―X>1,Xl—X2

2

f—x—ax—5fx<\9

20.已知函数4Y)=&x>]

是R上的增函数，则实数〃的取值范围是()

A.[—3,0)B.(—oo,—2]C.［—3,~2］D.(—co,0)

—x2+4x,x<4,

21.设函数")="若函数v=/a)在区间s，〃+i)上单调递增，则实数。的取值范围是

logzr,x>4.

6

A.(-00,1]B.[1,4]C.[4,+oo)D.(-oo,1]U[4,+oo)

22.已知/(x)=”x(•#«).

x-a

(1)若。=—2,试证/(x)在(一8,—2)内单调递增：

(2)若。＞0且/(x)在(1,+8)内单调递减，求。的取值范围.

23.已知定义在R上的函数Xx)满足：①Ax+y)=/(x)+y(y)+l,②当x＞0时，人》)＞一1.

(1)求/(0)的值，并证明/(x)在R上是单调增函数.

(2)若人1)=1,解关于x的不等式火r+2/+＜1-刈＞4.

7

专题三函数的单调性

1.增函数、减函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数外)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任

意两个自变量的值为，X2

定义

当时，都有兀口)勺(X2)，那么就当X1〈X2时，都有"|)次X2),那么就

说函数/(X)在区间D上是增函数说函数/(x)在区间D上是减函数

I/w

图象7修)1A必)

描述OpX

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.单调性、单调区间的定义

若函数y=/(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=/(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数

y=/(x)的单调区间.

单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.单调区间只能用区间表示，不能用集合或

不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“U”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开.

2.常用结论

结论1：增函数与减函数形式的等价变形

y=/(x)在区间D上是增函数<=>对Vxi<X2,都有力>1)勺(X2)=(X1—X2)[/(X|)一*”>0；

X\—X2

夕=兀0在区间D上是减函数=对也叫我2,都有人XI)次X2)=(Xl—也二细<0.

X\~X2

结论2：单调性的运算性质

⑴函数y=/(x)与函数y=/(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

(2)若Q0,则例x)与府)单调性相同；若k<0,则研x)与以)单调性相反.

(3)在公共定义域内，函数y=/仁)(/(')>0)与》=/"(X)和y=/7荷具有相同的单调性.

(4)在公共定义域内，函数夕=/(x)(/(x)#))与夕=工单调性相反.

(5)若大外，g(x)均为区间/上的增(减)函数，则;U)+g(x)也是区间4上的增(减)函数.

⑹若/(X),g(x)均为区间/上的增(减)函数，且/(x)>0,g(x)>0,则,/(x>g(x)也是区间N上的增(减)函数.

结论3：复合函数的单调性

复合函数y=/[g(x)]的单调性与y=/(u)和〃=g(x)的单调性有关.若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数

为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数.简记：“同增异减

结论4：奇函数与偶函数的单调性

奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.

结论5：对勾函数与飘带函数的单调性

8

对勾函数：J(x)=ax+-(ab>0)

x

a<0.d<0

—也］，［P，+8)上是增函数，在［-也，0)，(0,、口］上是减函数;

(1)当40b>0时，/(x)在(一8,

NaNaVaVa

一出］，［E，+8)上是减函数，在［-P,0),(0,、口］上是增函数:

(2)当a<0,bV0时，/(x)在(一8,

V6/\aVava

飘带函数：.危)=亦+々。6<0)

a>Q.A<0

⑴当a>0,6V0时，人力在(一8,0),(0,+8)上都是增函数;

(2)当aVO,b>0时，./(x)在(一8,0),(0,+8)上都是减函数;

考点一确定函数的单调性或单调区间

【方法总结】

确定函数的单调性或单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间.

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间.

(3)图象法：如果兀0是以图象形式给出的，或者人》)的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区

间.

【例题选讲】

［例1|(1)下列函数中，在区间(0,+8)内单调递减的是()

A.y=--xB.y—x^—xC.y=\nx-xD.y=ex~x

x

答案A解析对于选项A,在(0,+s)内是减函数，)，2=x在(0,+s)内是增函数，则y=1一x在(0,+oo)

XX

内是减函数，故选A.

9

(2)下列函数中，满足“Vx”x2e(0,+00)且X1#X2,Q-功的1)一於2)］<0"的是()

A.Hx)=2，B.{x)=|x-l|C.於)='-xD.>(x)=ln(x+l)

X

答案C解析由(XI—X2>［/(X|)-/(X2)］<O可知，兀0在(0,+8)上是减函数，A、D选项中，Hx)为增函数：B中，

Z(x)=|x—1|在(0,+oo)上不单调；对于/(x)=L—x,因为、=1与y=-x在(0,+oo)上单调递减，因此火x)在(0,+<»)

XX

上是减函数.

(3)函数«r)=|x2-3x+2］的单调递增区间是()

+oolFl,艮21f-oo,1

A.\2JB.L2」和［2,+oo)C.(-00,1］和12」D.I2」和［2,+oo)

x?—3x+2x〈lx>2|—

答案B解析y=\^-3x+2\=-'-，如图所示函数的单调递增区间是L'2」和［2,+oo).

I一(x2-3x+2),l<x<2.

(4)函数y=炳二工的单调递增区间为,单调递减区间为.

答案［2,+oo)(—00,—3］解析令"=x2+x—6,则五=“<：2+》-6可以看作是由与w=x2+x—6复合而

成的函数.令t/=x2+x—6N0,得xg—3或一仑2.易知“=必+工-6在(一OO,-3］上是减函数，在［2,+oo)上是增函

数，而)，=①在［0,+8)上是增函数，,t=心2+、-6的单调递减区间为(-8,-3］,单调递增区间为［2,4-00).

(5)函数y=logMx2—3x+2)的单调递增区间为,单调递减区间为

2

答案(一8,1)(2,+oo)解析令〃=/一3X+2,则原函数是y=logj,〃与〃=工2—3X+2的复合函数.令〃=/

2

-3x+2>0,则或x>2.所以函数yulogMr—Bx+Z)的定义域为(-8,1)U(2,+00).又〃=/一3工+2的对称

2

轴为x=3,且开口向上，所以M=f—3x+2在(-8,1)上是单调减函数，在(2,+s)上是单调增函数，而y=log_［〃

22

在(0,+oo)上是单调减函数，所以y=logM/—3x+2)的单调递减区间为(2,+oo),单调递增区间为(-8,1).

2

【对点训练】

1

1.给定函数①y=”，②y=log］(x+1),©y=|x-1|,@y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数

2

序号是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

1.答案B解析①^二工”在(0,1)上递增：②•.丁=x+l在(0,1)上递增，且OvL］,故y=［og［。+

22

1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y=|A-l|在(0,1)上递减；④:ixx+l在(0,1)上递增，且2>1,故)，=2内在

10

(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.

2.下列四个函数中,在xG(0,+8)上为增函数的是()

A./(x)=3-xB.危)=%2—3%c"一出D./)=一恸

2.答案C解析当x>0时，/(x)=3—x为减函数；当。马―，3G+q

时，/(》)=/一3》为增函数；当x£(0,+oo)时，/(x)—为增函数；当x£(0,+s)时，火工)=一为减函数.

x+1

3.若函数外)满足“对任意M,切6(0,+OO),当XI<X2时，都有火XI)MX2)”,则兀r)的解析式可以是()

A.7(x)=(x-l)2B.4)=^c.D.y(x)=ln(x+l)

X

3.答案C解析根据条件知，段)在(0,+oo)上单调递减.对于A,./(工)=(工一1)2在(1,+oo)上单调递

增，排除A;对于B,/(x)=e■，在(0,+oo)上单调递增，排除B;对于C,火工)=1在(0,+s)上单调递减，C正确;

X

对于D,/(x)=ln(x+l)在(0,+8)上单调递增，排除D.

4.函数人》)=归一2归的单调减区间是()

A.[1，2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+oo)

2x,x>2,

4.答案A解析由于yw=ix—2,=结合图象可知函数的单调减区间是［1,2］.

—x2+2x,x<2,

fl,x>0,

5.设函数7U)=.o,x=0,g(x)=xRx—1),则函数g(x)的单调递减区间是()

-1,x<0>

A.(-co,0]B.[0,1)C.[1,+oo)D.[-1,0]

5.答案B解析由题知，g(x)=.0,X=1,可得函数g(x)的单调递减区间为［0,1).故选B.

-X2,X<1,

6.函数y=的单调递增区间为()

f-oo,3]3,+ooj

A.(1,+oo)B.I4」c.曲+TD.4

答案B解析令“=2x2—3x+l=2因为“=21Q在卜3

X-----8,

6.4—上单调递减，函数

8O

在R上单调递减.所以)，=日82-3x+i在［—8'I上单调递增，即该函数的单调递增区间为

「。0L

7.已知函数/(刈=心2—2x—3,则该函数的单调递增区间为()

A.(—oo,1]B.[3,+oo)C.(-oo,-1]D.[1,+s)

11

7.答案B解析ilt=x2-2x-3,由仑0,即/-2X-3K),解得烂一1或沦3.所以函数的定义域为(一

00,—1]U[3,+oo).因为函数f=x2—2x—3的图象的对称轴为x=1,所以函数/在(-00,—I]上单调递减，在[3,

+8)上单调递增.所以函数;(X)的单调递增区间为[3,+oo).

8.(2017・全国U)函数/(x)=ln(x2—2x—8)的单调递增区间是()

A.(—oo,—2)B.(—oo,1)C.(1,+co)D.(4,+oo)

8.答案D解析由丫2—公一8>0,得x>4或2.因此，函数/(x)=ln(x2—2x—8)的定义域是(-8,

—2)U(4,+oo).又函数y=N—2x—8在(4,+oo)上单调递增，由复合函数的单调性知，,/(x)=ln(x2—2x—8)的单调

递增区间是(4,+oo).

考点二比较函数值或自变量的大小

【方法总结】

比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到

同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.

【例题选讲】

[例2](1)设偶函数0x)的定义域为R,当xC[0,+oo)时，/)是增函数,则人一2),加t),八-3)的大小关系是()

A../(n)>/(-3)>/(-2)B../(n)>/(-2)>/(-3)C./(兀)勺(一3)勺(一2)D../(n)</(-2)</(-3)

答案A解析因为兀c)是偶函数，所以八-3)=人3),火-2)=H2).又因为函数人x)在[(),+oo)上是增函数.所以

寅兀)M3)次2),即_/(兀)次-3)>/(—2)・

•天津)已知奇函数兀在上是增函数.若”=-/卜08则的大小关

(2)(20170R23，/,=^|Og24.1),c=A2),a,b,c

系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

答案C解析由/(x)是奇函数可得。=一/["gif=/(bg25).因为1。825>10824.1>10824=2>2。8,且函数/(x)是增函

数，所以c<b<a,

(3)已知函数/(x)=log2xd——,若加£(1,2),刈£(2,+oo),则()

1—x

A../(xi)<0,X%2)<0B./xi)<0,./(X2)>OC./(xi)>0,,/(x2)<0D./xi)>0,,/(x2)>0

答案B解析因为函数/)=唾加+」一在(1,+8)上为增函数，且/(2}=0,所以当2)时，於|)勺(2)=0,

1—X

当心£(2,+8)时，心2)X2)=0,即火川)<0,.信2)>0.故选B.

(4)已知函数y=/a)是R上的偶函数，当XI，X2&(0,+8),用力2时，都有(阳一X2>[/(X1)一/(戈2)卜0.设Q=lnLb=(ln

71

7u)2,c=ln«,则()

A.火。)次步兆)B.加):>/3)»c)C.R)》(a)况b)D.«)次b)次a)

答案C解析由题意可知/(x)在(0,+8)上是减函数，且/(〃)=/(同)，/s)=/(|b|),/(，=/(©),又|。|=历71>1,\b\

=(ln兀)2>同，|c|=；ln兀，且0小”同，故依》同加>0,・\A|c|)次。|)次师，即加・)加/)>的).

12

⑸若2，+5>£2-叶5、，则有()

A.x+y>0B.x+j<0C.x—y<0D.x-y>0

答案B解析设函数兀0=2'—5],易知/(x)为增函数，又人一切=2:「一5",由已知得而0勺(一回，二正一y,...x

+j<0.

【对点训练】

9.已知函数次X)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当X2>X1>1时，[/(X2)-/(XI)NX2-X|)<O恒成立，

设3b=a，c=43),则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

9.答案D解析由于函数/(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y=/(x)的

图象关于直线x=l对称，所以息当X2>X1>1时，[/(X2)—/1)](工2—X1)〈O恒成立，等价于函数7(X)在(1,

+8)上单调递减，所以b>a>c.

10.已知函数/(x)在R上单调递减，且。=33」，3=日"，c=ln5则/(a),/(b),/匕)的大小关系为()

A.B.氏b)>J(c)>AGC.{0>/3)>道6)D.J[c)>J{h}>J[a}

因为a=33/>3°=1,0<6=0<0=1,

10.答案D解析6=In-<In1=0所以c<bVa,又因

3

为函数Hx)在R上单调递减，所以_/(c)>y(6)>/(a),故选D.

考点三解函数不等式

【方法总结】

含'了‘不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为负g(x))次4(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉，尸，转

化为具体的不等式(组)，此时要注意以X)与/7(x)的取值应在外层函数的定义域内.

【例题选讲】

[例3](1)已知函数7U)是定义在区间[0,+oo)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足人左—1)<7"日的X的取值

范围是()

A.Gt]B.1I]C.GI)D.I]

答案D解析因为函数八x)是定义在区间[0,+8)上的增函数，满足负2x-l)以I.所以0W2x-lV5解得]

<2.

3

(2)已知函数/(x)是R上的增函数，/(0,-3),8(3,1)是其图象上的两点，那么不等式一3</(x+l)Vl的解集的补

集是(全集为R)()

A.(-1,2)B.(1,4)C.(-oo,-1)U[4,+oo)D.(-8,-1]U[2,+oo)

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答案D解析由函数人尤)是R上的增函数，A(0,-3),8(3,1)是其图象上的两点，知不等式一3V/(x+l)<l

即为./(0)V/(x+l)</(3),所以0<x+l<3,所以一1cxV2,故不等式一3V/(x+l)〈l的解集的补集是(-8,-1]

U[2,+oo).

(3)定义在[-2,2]上的函数«x)满足(X|—X2)[/(X1)—/(X2)]>O,X1#X2,且八层一“)决2a—2),则实数。的取值范围为

答案[0,1)解析因为函数父X)满足(为一功[/3)一外喇>0,x^x2,所以函数在[-2,2]上单调递增，所以一202a

-2<a2~a<2,解得。土<1.

(4)/(x)是定义在(0,+s)上的单调增函数，满足/(9=/)+/8)，火3)=1，当/㈤十仆一8)及时，x的取值范围是

()

A.(8,+oo)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

答案B解析2=1+1=/(3)+/(3)=/(9),由/(x)+Hx—8H2,可得/[乂(》—8)]勺(9),因为/(x)是定义在(0,+oo)

x>0,

上的增函数，所以有，x—8>0,解得8<区9.

x(x-8)<9,

⑸(2015•全国H)设函数/(x)=ln(l+|x|)——则使得1)成立的x的取值范围是()

1+xz

1

fi]Ifqf-irif-oo,-i]a,+J

A.bJB.I3JU(1,+oo)C.I33jD.I3juUJ

答案A解析VA-x)=ln(l+|-x|)一一-1~;=/(x),...函数人x)为偶函数.•当x20时，/(x)=ln(l+x)一—二,

1+(-x)2\+x2

在(0,+8)上y=ln(l+x)递增，M=——二也递增，根据单调性的性质知，/(x)在(0,+s)上单调递增.综上可知：

1+x