高中数学5-3诱导公式（分层作业）

5.3诱导公式(分层作业)(夯实基础+能力提升)

【夯实基础】

一、单选题

.(TC)

sm-a

1.(2022・全国♦高一课时练习)化简(2J=()

cos(-cz)

A.tanaB.-tanaC.1D.-1

【答案】C

【分析】利用诱导公式化简可得结果.

.(n]

【详解】UJcosar

cos(-a)cosa

故选：C.

2.(2022・全国•高一课时练习)sin(-660)的值是()

AAIR1c6D

-2B.c.T-4

【答案】c

【分析】利用诱导公式化简可求得结果.

【详解】sin(-660)=sin(-660+720)=sin60二号.

故选：c.

(2022♦全国•高一课时练习)若sin(»+。)=一：则cos(专一a]二()

3.

4343

A.——B.--C.-D.-

5555

【答案】A

【分析】利用诱导公式可得sina=g且cose-a)=-sina,即可得答案.

4

【详解】：sin(%+a)=-sina=—1，

・.4

・・sina=—,

.(3乃1.4

・・cos--a=-sma=——.

I2)5

故选：A.

4.（2022•重庆复旦中学高一开学考试）化简sin600。的值是（）

A.1B.--C.—

222

【答案】D

【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.

【详解】sin6000=sin（720-120）0=sin（-120）°=-sin120°=

故选：D

114

5.（2022•西藏拉萨•高一期末）cos—=（）

6

A.也B.立C.-

222

【答案】B

【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】COS'^^=COS（2%-K]=COSH=走.

6I6）62

故选：B

二、多选题

6.（2022•安徽省宿州市第三中学高一期中）下列结论中，正确的有（）

A.sin（K-x）=sinxB.tan（n+x）=-tanx

C.cos（--x）=sinxD.cos（—+x）=sinx

22

【答案】AD

【分析】根据诱导公式逐项分析即得.

【详解】对于A,sin（7t-x）=sinx,故A正确；

对于B,tan（jr+x）=tan.r,故B错误；

3九

对于C,cos（--x）=-sinx,故C错误；

对于D,cosg+x）=sinx,故D正确.

故选：AD.

7.（2022.全国•高一课时练习）已知角a满足sincrcosawO,则吧包勺）+则空功（％eZ）的取值可

sinacosa

能为（）

A.-2B.-1C.2D.0

【答案】AC

【分析】分左为奇数、攵为偶数两种情况讨论，利用诱导公式化简所求代数式，即可得解.

【详解】因为sincrcosa±0,贝ijsinaw0且cosawO,

/皿…mq-sina-cosa.."

当人为奇数时，原式=——+------=-1-1=-2；

smacosa

、t,>、r/EMUr,।t-r-lxsinctcoscc««公

当女为偶数时，原式—+----=1+1=2.

sinacosa

故原式的取值可能为-2、2.

故选：AC.

8.(2022•山东东营•高一期中)在平面直角坐标系中，角。的始边为x的正半轴，终边经过点(-1,2),则

下列式子正确的是()

sina+cosa1B.cos(5%-a)=-左

A.------------------=—

sina-7cosa9

3

C.2sin?a+sinacosa-3cos2a=-D.若a为钝角，则

5

【答案】CD

【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.

【详解】解：因为角a终边经过点(-1,2),

2咨c°sa=

贝I]sina=

7(-D2+22V(-D2+22一5'

2#)一

sina+coscr551…1

对于•A：~­=r~~~r-=",故1ZA£日底;

sina-7cosa2,5+7,59

55

好，故B错误;

对于B：cos(5乃-a)=­cosa-

5

2sin2cr+sintzcosa-3cos2a=2x—+-^^-x(-^^)-3x—=—,故C正确；

对于C：

55555

因为当单调递减，所以

对于D：y=cosa[fn—1<cosa=--<0.BPcos<coscr<cosy,

7127r

—<a<—,故D正确.

23

故选：CD.

三、填空题

5TT77r（it\

9.（2022•全国•高一课时练习）计算：2sin—+2cos--tan--=_______.

ooI”

【答案】1

【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.

［详解】=2sin^7i--^-j-f-2cos^7i+^+tany=2sin^-2cos^-+tany

二2X』-2X^^+G=1.

22

故答案为：1.

si.nI8+a+sin（乃一a）

【2

10.（2022♦全国,高一学业考试）已知tan（乃+a）=2,则

（34

-2cos（4+a）

cosI——2+a

3

【答案】-##0.75

【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可.

【详解】解：由题意得:

Vtan（^+cr）=tan（7=2,

sin[；+aJ+

sin（4一a）

cosa+sinatana+1_3

cos作+asina+2cosatana+24

-2cos（乃+a）

I2

3

故答案为：-

11.（2022.全国•高一课时练习）已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点尸（3,4）,

sin（rt+a）+cos—+a

则'"12J的值为.

cos（2兀+a）+sin（-a）

【答案】8

【分析】利用诱导公式对原式进行化简，然后采取弦化切，再通过三角函数定义得到tana值代入即可.

【详解】由题意，知tana=2v=：4,

x3

2x-

-sina-sina2sina2tana

则原式=3_o

cosa-sinasina-cosatana-1

—1

3

故答案为：8.

（・湖北挪阳中学高一阶段练习）若《+；，则sin27r

12.2022sinaa+cos——+a

3

【答案】0

【分析】根据诱导公式计算.

5万24।JiJi

【详解】sin------a+COS+a=sin[4一(一+a)]+cos|—+(—+«)]=sin(—+a)—sin(—+a)=0,

6)62666

故答案为：0.

sin(兀+a)cos(兀-a)

2,则sin。a+sin,acosa

13.（2022•江苏・南京市第一中学高一阶段练习）若S魄+a)

1+cos2a

【答案】1

【分析】同角三角函数间的基本关系和诱导公式化简并求值.

sin(兀+a)cos(7t-a)_sinacos«

=tana=2

【详解】兀cos-a

sin2—+a

2

.sin?a+sinacosatan2a+tana

=1.

1+cos2a2+tan2a

故答案为：1

14.（2022♦浙江省杭州学军中学高一期中）已知钝角。终边上一点的坐标为（2sin4,-2cos4）,则a

【答案】4-y

【分析】先根据任意角三角函数定义得到sina,再结合诱导公式及角的范围得到a的值.

-2cos4

【详解】因为sina==-cos4=sin4一工,又因为角a为钝角，所以夕=4-5.

J(2sin4)2+(-2cos4『I2

故答案为：4——

15.（2022•浙江大学附属中学高一期中）计算：

sin(兀-a)

【答案】1

【分析】根据诱导公式化简即可得解.

71

cos——a

【详解】—2sina

=1'

sin(兀一a)sina

故答案为：1

四、解答题

16.(2022・西藏拉萨・高-期末)已知戊为第三象限角，且sin^-«jcos(-a)tanU+«)

J(a)=---------------------------------------

cosO-a)

⑴化简/(“)；

⑵若/(a)=年，求cosa的值.

【答案】(Df(a)=-sina

⑵4

【分析】(1)根据诱导公式化筒即可;

(2)利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可.

(1)

“、cosacostz-tancr

j(a)=-----------------------=_sina

-cosa

(2)

,**/(a)=-sina=~^~,

..2亚

•・sina=--------

5

又a为第三象限角，

,cosa=—71-sin2a=

17.(2022.山东东营.高一期中)已知角a满足sina-cosa=-正.

5

(1)若角a是第三象限角，求tana的值；

sin(cr-7r)tan(5^+cos(^+a)

⑵若.ta*ec°s([-a)'求/⑷的值•

【答案】⑴tana=2；

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据同角三角函数关系，求得sina,cos。，即可求得结果;

(2)利用诱导公式化简/(a),根据(1)中所求，即可求得结果.

f.一旦

【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有8s“一T-

sin2cr+cos2a=1

消去sina得5cos1a-\[5cosa-2=0,解得cosa=或cosa=-----.

55

因为角a是第三象限角，所以cosa=-且，sina=-2'，tana=2.

55

/八“、-sinatana(-cosa)

(2)/(«)=--------------------------=-cosa,

一tanasina

当角a是第一象限角时•，cosa=竽，f(a)=2^~

当角a是第三象限角时，cos«=-^,/⑻邛.

18.（2022・湖北宜昌.高一阶段练习）已知tan（a+兀）=-46siny.

sin(a+2022K)-2sin|cr+—

⑴求-----1―莉-----------的值;

3cosa——-cos(a-TT)

（2）若为a第四象限角，求sina+cosa的值.

Q

【答案】（1哈

o.5历

（2）sina+cosa=---------

37

【分析】（1）利用已知条件化简求出tana的值，然后利用诱导公式及弦化切,

将tan。代入计算即可;

（2）利用siYa+coslW及tana=2qi吧nci，根据。在第四象限角求解即可.

cosa

【详解】（1）由题意得tana=tan（a+兀）=-6,

sin(a+2022兀)一2sin(a+3

sina-2cosatana-2_8

3sina+cosa3tana+117

3cos|-cos(a-K)

/八、,sina,r,

(2)由tana=-------=-6,#sina=-6cosa,

cosa

22

代入sin?cr+cosa=1f得cosa=]

37

因为。为第四象限角，所以cosa=32

37

.r.-----6^7

sina=-A/1-COSa=----------

37

故sina+cosa=-^^~.

37

20

百sin------兀

1337

19.（2022•陕西•蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算:-cos—7ttan—71

T14

tan—兀

3

4sin2a+2sinacosa“〃士

(2)已知tana=-求2cos%_sin£的值.

3

【答案】（1）也/

(2)20.

【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的三角函数值即得;

（2）利用齐次式及同角关系式即得.

百sin

5兀

【详解】（1）原式二------cos——tan

54

tan一兀3

3

-73sin—

3nn

---------cos—•tan—

兀44

-tan—

3

=-下--)----7-2-=--V--3---V--2-:

222

⑶2+2x4

tan-a+2tana_^3J3

(2)原式=7^=20.

2-tan2a2唱

•/、(3兀)..

sin(^--a)cos!--aItan(-^--a)

20.（2022♦浙江・杭州高级中学高一期末）（1）化简/（。）=

cos-a}tan(2^+a)

7171

已知关于，的方程"F+『。的两根为sin，和cos。，*

(2)「5.求实数。以及sin，-cos，的值.

【答案】(1)/(a)=-sina；(2)b=后,sin0—cos0=

【分析】（1）利用诱导公式化简即可;

（2）利用韦达定理得至【」sin0+cos，=2,sin®cose=l,再将sind+cos6=2两边平方即可求出匕，最后由

282

sinO-cos。=J(sin6—cos°『求出sinO-cosO.

sin(4一a)cos*-atan(一4一a)

【详解】解：(1)/(0=---------2

cosl---aItan(2^+a)

sina•(一sina)♦(-tana)

=-sina,

一sina•tana

即/(a)=_sina.

(2)因为关于x的方程2x2-bx+^-=0的两根为sin。和cos。,

4

所以sin6+cos®=2,sinJcos。」，

28

所以(sine+cosOf=l+2sin8・cos0=，=:,所以/?=±e，

因为,所以sin6>0,cos6>0且sin6>cose,所以人=石,

sin0-cos0=^(sin^-cos0)**=Jl-2sin〉,cosg二

【能力提升】

一、单选题

1.(2022♦全国•高一课时练习)己知tan(兀-&)=1，则：na+cosa

)

22sincr-cosa

11

A.——B.一cD.

44-I~2

【答案】A

sina+cosa3一口壬八切口tan«+1如1八、

【分析】由三角函数诱导公式求得lana=——，将---------进行弦化切，可得^--------，将tana=-不代

22sina-cosa2tana-12

入计算可得答案.

1

【详解】因为tan（兀-a=-tana--,所以tana=

2

sina+cosatana+1

所以

2sina-cosa2tana-14

故选:A.

2.（2022.内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在［0,+00）上

是增函数，若a=f(sin-----),b=f(cos2—),c=f(tan—)，则()

777

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【详解】根据题意,

…弯，则,=一*)=(若)’

sin—=sin(2TT--)

77

COS^=COS(广至"70S至，b=f(-cos至),

7777

又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,

贝lja=f(sin^^-)=f(-sin—)=f(sin—),

777

b=f(-cos—)=f(cos—),又由工<生〈工，

77^472

则有OVcos也<sin2<1<tan2,又由函数在［0,+oo)上是增函数,

777

则有c>a>b；故选B.

二、多选题

3.(2022・全国♦高一课时练习)在平面直角坐标系xQy中，点<(cosa,sina),

)

A.线段。鸟与。鸟的长均为1B.线段鸟鸟的长为1

C.当a=1TT时，点［，?关于y轴对称D.当。=皆1371时，点A，G关于X轴对称

【答案】ACD

【分析】对于A,直接代入公式计算即可；对于B,由/乙。6=］结合勾股定理即可求得乙4的长；对于C,

将a=gyr代入匕鸟坐标即可；对于D,将代137r入4£坐标即可.

【详解】由勾股定理可得Og=Jcos2(a+g］+sin2(a+m)=l,同理可得"鸟=1,故A正确；

由题意得为笔=方+仁=5，由勾股定理得利=&,故B错误；

当［="|'时，《k°s§,Sin?j即V")，g(cos7,sin7)即巴卜,点R,巴关于轴对称，故

C正确:

哈)，故点小，关于“轴对称，故DIE确.故选:ACD.

V

4.(2022•全国•高一课时练习)已知函数/(x)=cos],则()

A./(-x)=/(x)B./(-x)=-/(x)

C.”2br+x)=/(x),丘ZD./(2^-x)=(-l)*/(x),k^Z

【答案】AD

【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例.

【详解】对于A,xeR,/(-x)=cos^-^j=cos|=/(x),故A正确.

对于B,/(0)=cos0=l,/(-0)=cos0=l,故/(-0)*-"0),

故B错误.

对于C,/(2;r)=cos7r=-l,/(0)=cos()=l,故/(2万+0)H/(()),

故C错误.

对于D,当&为奇数时，f(1k7t-x)=cosA=cos=-cos；

当A为偶数时，/(2^-x)=cos^^-1^=cos1,

所以/(2A万一x)=(-l)"eZ.

故D正确.

故选：AD.

TT

5.(2022•全国•高一课时练习)定义：角。与W都是任意角，若满足6+9=/,则称。与夕‘广义互余”.已知

sin(〃+a)=-；则下列角/中，可能与角a“广义互余，，的是()

A.sin'=、pB.cos(%+6)=；C.tan£=厉D.tan夕=半

【答案】AC

【分析】由条件结合诱导公式化简可得sina,根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的

对错.

【详解】•；sin(%+a)=-sina=-；,.，.sina=；,若a+/?=],则尸=?-0，所以

sin/=sin(1-a)=cosc=±日^,故A符合条件；

cos(乃+夕)=-cos[]-a)=-sina=-；,故B不符合条件；

tanp=V?5,HPsin/?=V15cos/?,又sin?夕+cos::〃=l,；.sin〃=±M5,故C符合条件；

4

tanp=,即sin4=号5以》/，又sinC^+cos?夕=1,；.sin/7=±彳，故D不符合条件.

故选：AC.

6.(2022.全国•高一课时练习)在平面直角坐标系xO.y中，点片(cose,sine),7^fcos^a+yj,sin^a+y

4cos(a-£|,sin(aq)),则下列说法正确的是()

A.线段。鸟与。鸟的长均为1B.线段5A的长为1

C.当a=5时，点6，旦关于y轴对称D.当。=曾时，点R,尸,关于x轴对称

【答案】ACD

【分析】根据点坐标及两点距离公式、同角三角函数关系求得。鸟=06=1,且4。吕=]jr,结合各项描述、

诱导公式、特殊角函数值判断它们的正误.

【详解】由勾股定理得O£=Jcos2[c+《]+sin2[a+q)=l,同理得06=1,故A正确；

由题意得N/坐由A及勾股定理得鸟鸟=Jog+*=板,故B错误;

£关于y轴对

称，故C正确;

[-cosS，-sin=,故点[，G关于x轴对称，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

7.（2022•北京•牛栏山一中高一阶段练习）己知角a的终边经过点（3,4）,将角a的终边绕原点。顺时针旋

转］得到角P的终边，则.

3

【答案】一-##-0.75

4

【分析】先由三角函数的定义求得sina,cosa,再利用诱导公式求得sin^cos尸，进而求得tan/.

【详解】因为角4的终边经过点（3,4）,

..y4x3

所以r=，3?+4?=5贝miijsina=—=一,cosa=-=-

r5r5

ITrr

又因为角a的终边绕原点。顺时针旋转］得到角B的终边，故户=a-,

所以sin/=sin|a|=-cosa=,cos/?=cos|a--|=sina=­,

3

3

故tan/?=_5.=

44

5

3

故答案为：

【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再借助特殊角的三角函数值计算可得.

——+COS加一tan包」」+旦T+3

6362233

故答案为一+半

四、解答题

sin（兀一a）cos（2兀-a）tan（-a+2冗）

9.（2022.安徽省舒城中学高一开学考试）已知。是第三象限角，且/9）=

tan（-a+兀）sin（3兀-a）

⑴化简13）;

3

（2）右sina=-g,求/（。）；

⑶若a=-1860,求f（a）.

【答案】（l）cosa

⑵q

⑶3

【分析】（1）根据诱导公式化简求解.

（2）利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解.

（3）利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解.

(1)

根据诱导公式有:

r,、sin(7c-a)COS(2TC-a)tan(-a+2TI)

/(«)=--------------------------------------------

tan(—a+it)sin(3兀-a)

_sinacosatan(—a)

tan(-cr)sincr

=cosa

（2）

3

因为sina=-£,a是第三象限角,

所以cosa--Vl-sin*23c

4

所以/(a)=cosa=_g

(3)

因为a=—1860,

所以/(a)=/(-1860)=cos(-1860)=cosl860,

=cos(5x360+60)=cos60=g.

10.(2022・全国•高一课时练习)己知f(a)=叵国一生迈，a为第二象限角.

V1-sina'1+sina

(1)若,f(a)=3,求gsii?a+cos2a的值；

⑵若cos2a/(a)=g,求cos(2023^-+a)+cos[?+a)的值.

【答案】⑴春

⑵迈

2

/、a

【分析】(1)先利用同角三角函数的关系化简/(a)=-2tana,则由/(a)=3,可得tana=-］，而

4.22421

—sin~a+cosct—tnn一a+1小/十、।但—r

±Asin%+cos%=J———=J—'代值计算即nn可,

3sina+cosatan-a+l

⑵由已恬条件可得sinsa=V，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系化简计算即可.

(1)

a为第二象限角，则|cosa|=-cosa.

/I-sina(1+sina)2*(1-sina)2

小)=后fV1+sina(1-sina)(l+sina)(l+sina)(l-sina)

2

「+sina『|(l-Sina)==^£=_2tana

Vl-sin2al-sin2alcosallcosorllcosal

3

/(a)=-2tana=3,tana=

2

4—sin?a+cos2a

/.-sin2a+cos2a=--------------------

3sin-a+cosa

(2)

2sina

cos26z/(a)=cos2ax(-2tana)=-cos2ax=-2sinacosa=-

cosa2

1

贝!|sinacosa=-

4

・・・。为第二象限角,

/.sina>0,cosa<0,sina-8sa>0.

+cosg+a

/.cos(2023^,+(7)

I2

=cos(乃+a)+cos,+c

=-cosa+sina

J(sina-cosa)-

V6

=Vl-2sinacosa==

_2

11.(2022・全国•高一课时练习)已知角。的终边过点P”,2/)(/w0).

⑴求tanJ的值;

⑵求cos6-3sin。的值.

【答案】（糙；

（2）答案见解析.

【分析】（1）由终边上的点可得tan0=2,根据商数关系及诱导公式化简求值即可;

（2）讨论f>0、f<0,结合终边上的点分别求出sin。、cos。,进而求目标式的值.

(1)

由题意，tan0=y=2,所以tan(5-e1

2

(2)

.n_2t_2石n_t_A/5

当时'SI再懑:亍，COS'=7M¥=T，

(ilcos0-3sin=-\/5•

55

・a2t2A/5

当，<。时，*后南=一『cos0=.==

(/7\Cz./7A

所以cos9-3sin9=----———=6.

综上，当f>0时,cos<9-3sin>=-右;

当f<0时，cos0-3sin0=>/5.

12.（2022•全国•高一课时练习）已知函数〃x）=

⑴化简〃x）；

3

⑵若f(%)=而的值.

【答案】（l）cos

(2)-|

【分析】（1）利用诱导公式将角全部化成2x+《，再约分化简即可.

（2）由条件代入解析式得cos（2%+g=,利用诱导公式求解即可.

（1）

因为/(%)=cos(2%+()=±,

所以sin

3

5

13.（2022・江西上饶•高一阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，=OAB的顶点。与坐标原点重合，点A在x

4

轴的正半轴上，点B在第二象限，且。4=。5=1,记。=44。3,满足sina=《.

⑴求点8的坐标;

cos2--a+3cos2(^+cr)+l

(2)求12J''的值.

sin(-a)cos(1一a)

【答案】

(2)-y

【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点B的坐标.

（2）由题意利用诱导公式即可计算求解.

4I----------------------4

(1)因为8在第二象限，sincr=-,所以cosa<0,所以cosa=f/l-sin%=-又点8的

5

坐标为（cosa,sina）,所以8IT)

汽

cos2-aI+3cos2(江+a)+l16091

22+3x+1

2J'sin6z+3cos6f+1二252517

(2)——

sin(—a)cos(4-a)sin(-a)(-cosa)4T

—x

5

3兀

sin(兀+a)cos(2兀-a)cos+a

2

14.（2022.陕西•宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知/（«）=

兀

cos—+asin(cr-K)

2

⑴化简/9);

（2）若。是第四象限角，且sin（a-7t）=；,求/（a）的值.

【答案】⑴/(a)=-cosa

⑵-述

3

【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案;

（2）由诱导公式结合a是第四象限角可求得sina=-；以及ssa=也，由（1）的结果可得答案.

3

⑴

3兀

sin（兀+a）cos（2兀-a）coi+a

2-sinacosa・sina

根据诱导公式可得：/（«）=------------------------=-cosa

一sina(-sina)

cos|sin(cr-7t)

所以，（。）=-cosa.

⑵

由诱导公式可知sin(a-兀)=-sina,则由sin(a-兀)=g可得sina=-g,

又a是第四象限角，

所以cosa=J1-sin?a=2f,所以/(a)=一cosa=-2f

cp+a"a.