高考数学艺术生第14讲导数的应用（导数与函数的单调性）（解析版）-高考数学一轮复习讲义（基础版全国通用版）

第14讲导数的应用(导数与函数的单调性)

1.函数的单调性与导数的关系

函数y=/(x)在区间(”,b)内可导，

(1)若/'(x)〉0,则/a)在区间(a,b)内是单调递增函数；

⑵若/'(x)<0,则/(x)在区间(a,b)内是单调递减函数；

⑶若恒有/'(x)=0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.

注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则

2.求函数单调区间的步骤

(1)确定函数的定义域

(2)求导数/'(x)

(3)解不等式/，(x)>0,广(力<0

(4)结合定义域下结论。

3.已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数/(x)在区间。上单调递增，则在区间〃上/'(X)20恒成立;

(2)已知可导函数/(x)在区间〃上单调递减，则在区间，上/'(x)K0恒成立;

⑶已知可导函数/(x)在区间。上存在增区间，则/'(x)>0在区间。上有解;

(4)已知可导函数/(x)在区间。上存在减区间，则/'(x)<0在区间。上有解.

考点一：求函数的单调区间(不含参)

1.(2021•江苏仪征•)函数夕=*3---》_1的单调递增区间为()

C.(-8

2.(2021•东台市第一中学高二月考)函数/(x)=xlnx的单调递减区间是().

A.B.C.(e,+8)D.(0，J

3.(2021•中宁县中宁中学(理))函数/(x)=-lnx+2/的递增区间是()

4.(2021•安徽金安•六安一中高二月考(理))函数/(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为()

A.(-<»,3)B.(-8,1)C.(1,+°°)D.(1,2)

5.(2021•清远市清新区凤霞中学高二期中)函数/(x)=x2-21nx的单调递减区间是()

A.(0,1]B.[1,+8)

1

C.(-0),-1]D.[-l,O)U(O,l]

6.(2021•安徽镜湖•芜湖一中高二期中(理))已知函数/(刈=/-12*,若/a)在区间(2〃?,〃?+1)上单调递减,

则实数机的取值范围是()

A.B.(—1,1]C.(fl)D.-1,1)

7.(2021•黑龙江甘南•高二期中(理))若函数〃x)=；x2-91nx在区间[。-1,可上单调递减，则实数〃的取值

范围是()

A.1<a<3B.a>4

C.-2<a<3D.1<<4

8.(2021•山东兰陵四中)若函数〃x)=；/-161nx在区间；上单调递减，则实数。的取值范围是()

A-陷B-(")C(|』D.(立

考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围

1.(2021•陕西省洛南中学高二月考(理))若函数/(x)=h-lnx在区间(1,+8)单调递增，则左的取值范围是()

A.[l,+oo)B.(-8,-口

C.(1,+8)D.(-oo,-2]

2.(2021•渭南市尚德中学高二月考(理))已知/(*)=丘3一/+；去一]6在R上是增加的，则％的取值范围是

()

A.k>lB.k>]C.A>1或左<-1D.或％W-l

3.(2021•黑龙江佳木斯一中(理))如果函数/(x)=2x2-alnx在上单调递增，则〃的取值范围是()

A.a<1B.a>1C.a>1D.a<1

4.(2021•全国)若函数/(x)=，-ax+a)e在区间(TO)内单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(一8,3]B.[3,+8)C.[1,+8)D.(—co,l]

5.(2021•陕西长安一中高二期末(理))若函数/(%)=--〃71nx在(0J上为减函数，则实数加的取值范围是()

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,2]D.(—,2)

6.(2021•全国高二单元测试)已知函数/(》)=去-21nx在区间(1,+8)上单调递增，则上的取值范围是()

A.(2,+a))B.(1，+8)C.[2,+oo)D.[1，+8)

考点三：存在单调区间问题

1.(2021•江西南昌十中(文))函数/(x)=lnx+ar2_2在区间内存在单调递增区间，则实数。的取值范

围是()

1

A.(-oo,-2)B.——,4-00

8

C.(-8,+oo)D.(-2,+oo)

2

2.（2021•广州市天河外国语学校高二期中）已知函数/（》）=0*（/_加）出€夫）在区间1,2上存在单调递增区间,

则实数b的取值范围是（）

A.（-°o,|）B.（-00，'|）C.（弓令D.（|,+oo）

3.（2021•广东高三月考）若函数〃（x）=lnx-；M-2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数。的取值范围为（）

A.—,+oo^B.（-l,+oo）C.D.卜。位）

考点四：不单调问题

1.（2021•全国）若函数〃x）=x3-12x在区间（"1次+1）上不是单调函数，则实数上的取值范围是（）

A.（-oo,-3]u[-l,l]u[3,+oo）B.（-3,-l）u（l,3）

C.（-2,2）D.不存在这样的实数々

2.（2021•奉新县第一中学高二月考（文））若函数/3）=/+（2-〃）X2+1》+1在其定义域上不单调，则实数。的

取值范围为（）

A.。<1或。>4B.或〃之4C.1<Q<4D.1<«<4

3.（2021•山西运城•（理））已知函数/（x）="+lnx+3在区间（1,2）上不单调，则实数Q的取值范围为（）

4.（2021•天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数/。）=$3-2+5-5在区间[-1,2]上不单调，则实数。

的取值范围是（）

A.（-8,-3]B.（-3,1）

C.[1,+8）D.（…，-3]U[1,+8）

5.（2021•银川三沙源上游学校（理））已知函数/（x）=lnx-ax-2在区间（1,2）上不单调，则实数。的取值范围

为（）

6.（2021・全国高二课时练习）若函数/"）=3工+（。-2）111》不是单调函数，则实数。的取值范围是（）

A.（7，；[B.[2,+8）C.（0,+a?）I）.（-8,2）

7.（2021•江西上高二中高二月考（文））己知函数/（x）=x+8lnx在区间（0,2）上不是单调函数，则b的取值范

围是

A.（—oo,0）B.C.（—2,0）D.（—2,+8）

3

第15讲导数的应用(导数与函数的单调性)

1.函数的单调性与导数的关系

函数y=/(x)在区间(”,b)内可导，

(1)若/'(x)〉0,则/a)在区间(a,b)内是单调递增函数；

⑵若/'(x)<0,则/a)在区间伍力)内是单调递减函数；

⑶若恒有/'(x)=0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.

注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则

2.求函数单调区间的步骤

(1)确定函数的定义域

(2)求导数/'(x)

(3)解不等式/，(x)>0,广(力<0

(4)结合定义域下结论。

3.已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数/(x)在区间。上单调递增，则在区间〃上/'(x)20恒成立；

(2)已知可导函数/(x)在区间〃上单调递减，则在区间，上/'(x)K0恒成立；

⑶已知可导函数/(x)在区间。上存在增区间，则/'(x)>0在区间。上有解；

(4)已知可导函数/(x)在区间〃上存在减区间，则/'(x)<0在区间〃上有解.

考点一：求函数的单调区间(不含参)

1.(2021•江苏仪征•)函数夕=X3-/一》_1的单调递增区间为()

A.卜,£|-1)

C.(-8,-1),],D,[8,一；),(l,+8

')

【答案】D

【详解】

由题得y'=3x2-2x-l,令V>o得：X>1或,故单调递增区间为：,

故选：D.

2.(2021•东台市第一中学高二月考)函数〃力=xlnx的单调递减区间是().

A.g,+8)B.GJC.(e,问D.(唱

【答案】D

【详解】

解：/(x)=^lnx,XG(0,+OO)

贝ij/'(x)=kix+l,

4

由((x)<0得0<x<L

e

故选：D.

3.(2021•中宁县中宁中学(理))函数/(x)=-lnx+2/的递增区间是()

A.卜别和(K)B.3别呜,+8)

C.卜别。•紧)

【答案】D

【详解】

由/(x)=-lnx+2x2,得f\x)=--+4x-———-0)

xx

令八x)>0,即4/一1>0,解得x>:

2

所以函数/(x)=-lnx+2x2的递增区间是

故选：D

4.(2021•安徽金安•六安一中高二月考(理))函数/(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为()

A.(-a),3)B.(-oo,!)C.(1,+«))D.(1,2)

【答案】B

【详解】

对于函数/(x)=x+ln(2-x),有2-x>0,可得x<2,

所以，函数〃x)的定义域为(f,2),广(力=1+一二==，

x-2x-2

由/'(x)>0,因为x<2,解得x<l.

因此，函数/(x)=x+In(2-x)的单调递增区间为(-8,1).

故选：B.

5.(2021•清远市清新区凤霞中学高二期中)函数/。)=犬-21nx的单调递减区间是()

A.(0,1]B.1,+8)

C.(-«,-1]D.[-l,0)U(0,l]

【答案】A

【详解】

由题意知/'(x)=2x-2=W二由f(x)40,得0cxW1.

故选：A

6.(2021•安徽镜湖•芜湖一中高二期中(理))已知函数八口=/-12*,若/(x)在区间(2〃?,机+1)上单调递减,

则实数机的取值范围是()

5

A.［—1,1］B.(—1,1］C.(fl)D.［—1,1)

【答案】D

【详解】

详解：因为/'(x)=3/-12=3(x+2)(x—2),

令/'(x)VO可得-2WxW2,所以要使函数f(x)在区间(2加,加+1)上单调递减，

则区间(2加，帆1)是区间卜2,2］的子区间，

2m>—2m>—1

所以m+142,求解不等式组可得：^<1,

m+\>2mtn<1

解得TW冰1,所以实数加的取值范围是［-U).

故选：D

7.(2021•黑龙江甘南•高二期中(理))若函数〃x)=；--91nx在区间［。-1,可上单调递减，则实数。的取值

范围是()

A.1<a<3B.a>4

C.-2<a<3D.l<tz<4

【答案】A

【详解】

函数/(x)=-91nx,(x>0).

则广(X)*2=±2,

XX

因为/(X)在区间［a-1，上单调递减，

则广(x)40在区间［a-1,a］上恒成立，即/一940,

所以0<x43在区间4］上恒成立，

fa-l>0

所以《―，解得

［a<3

故选：A.

8.(2021•山东兰陵四中)若函数〃x)=gx2-161nx在区间:上单调递减，则实数。的取值范围是()

A-(qB.(*)C.(圜D.

【答案】D

【详解】

《)=》_F7二九>0),

当了'(力40,解得：0<x<4,

6

由条件可知c(O,4],

17

所以j解得：—<a.

22

a+—<4

2

故选：D

考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围

1.(2021•陕西省洛南中学高二月考(理))若函数/口)二米-Inx在区间(1,+8)单调递增，则左的取值范围是()

A.[1,4-00)B.1]

C.(l,+oo)D.(-oo,-2]

【答案】A

【详解】

由题意得，"X)的定义域为(0,+8),f\x)=k--,

x

因为/(X)在(1,+8)上单调递增，

所以/'(X)±0在(1,+⑼上恒成立，

即左之[,乂函数在(1，+8)上单调递减，

XX

所以左21.

故选：A

2.(2021•渭南市尚德中学高二月考(理))已知/。)=丘3-、2+；依-16在及上是增加的，则％的取值范围是

()

A.k>\B.k>\C.4>1或4<-1D.左21或

【答案】B

【详解】

由题意得函数的导数大于等于0,可得f(x)=3履2-2x+g后20在H上恒成立，

>>0,

vk^>k>\,

A=4-4x3Ax(y)<0,

故选：B

3.(2021•黑龙江佳木斯一中(理))如果函数/(x)=2/-alnx在引上单调递增，则。的取值范围是()

A.a<1B.a>1C.a>1D.a<1

【答案】I)

【详解】

因为函数/(x)=2x2-qlnx,所以/<x)=4x-(,

7

因为函数〃x)=2x2“lnx在(g,+8)上单调递增，

所以/'(x)=4x-q20对xw(；,+8)恒成立，即4x?±a对xe(g,+8；恒成立，

所以a4(4x2)*=1.

故选:D

4.(2021•全国)若函数/(xlEW-ax+qe1在区间(-1,0)内单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(—8,3]B.[3,+oo)C.[1,4-00)D.

【答案】D

【详解】

由/(x)=(f-Qx+@寸得f'^x)=ex[x2+(2-〃)x]=xe*(工+2-〃),

由于函数/*)=(f-办+a)e'在区间(-1,0)内单调递减，

即/'(x)40在(-1,0)上恒成立，即x+2-aNO,

即得aJ+2在(-1,0)恒成立,所以aVl,

故选：D.

5.(2021•陕西长安一中高二期末(理))若函数/(x)=x2-〃?lnx在(0J上为减函数，则实数机的取值范围是()

A.[2,+co)B.(2,+co)C.(-oo,2]1).(-oo,2)

【答案】A

【详解】

由题意得，/'(x)=2x--<0^xe(0,l]匕恒成立，所以机W2/在xe(0,l]上恒成立，因为2/在(0」的最大值为2,

X

所以

故选:A.

6.(2021•全国高二单元测试)已知函数/(x)=Ax-21nx在区间(1,+8)上单调递增，贝心的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(1,+8)C.[2,+co)D.[1,+ao)

【答案】C

【详解】

因为/(x)在区间(1,转)上单调递增，

故/'(X)=4--20在区间(1,+8)上恒成立.

即A在区间(1,+8)恒成立.

故％”

故选：C.

考点三：存在单调区间问题

8

1.(2021•江西南昌十中(文))函数/(x)=lnx+af-2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范

围是()

A.(一孙—2)B.(-W'+s)

C.(-8,+8)D.(-2,+oo)

【答案】C

【详解】

由题意得，/'(xhT+Z",

因为函数/(x)=Inx+“储-2在区间,2)内存在单调递增区间，

所以存在xe(%2卜吏得r(x)=:+23>0成立，即a>(-*)=-8.

故选:C

2.(2021•广州市天河外国语学校高二期中)已知函数/(x)=，，_bx)(beR)在区间1,2上存在单调递增区间，

则实数b的取值范围是()

o5452

A.(-«>,-)B.(-00,-)C.D.(-,+<»)

3o2o3

【答案】A

【详解】

•.•函数/(x)在区间1,2上存在单调增区间，

•••函数/(可在区间1,2上存在子区间使得不等式/'(x)>0成立，

ff(x^=ex[x2-\-(2—b)x-b},

设〃(x)=x2+(2-b)x-b,

贝同2)>0或吗)>0,

即4+2(2-6)-6>0或;+g(2-6)-6>0,

得或

36

Q

则b<会

故选：A.

3.(2021•广东高三月考)若函数〃(x)=lnx-；加一在口,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为()

9

A.--,+oojB.(-l,+<»)C.［-l,+<»)D.,+ocj

【答案】B

【详解】

1i?

因为〃(x)在［1,4］上存在单调递减区间，所以/(x)=--ax-2<0在［1,4］上有解，所以当xe［1,4］时a>士有解,

XXX

而当xe［l,4］时，-L--=(l-l)2-l,［4--|=7(此时x=l),所以a>-l,所以。的取值范围是(一1,物).

XXX\XXJmin

故选:B.

考点四：不单调问题

1.（2021•全国）若函数〃x）=x3-12x在区间（左-1次+1）上不是单调函数，则实数上的取值范围是（）

A.（-co,-3]u[—1,1]U[3,-KO）B.（―3,—

C.（-2,2）D.不存在这样的实数左

【答案】B

【详解】

由题意得，/'（X）=3》2_12=0在区间优-1,左+1）上至少有一个实数根，

而/'（刈=3--12=0的根为》=±2,区间+的长度为2,

故区间（人-1,%+1）内必含有2或-2.

：.k-\<2<k+\^k-1<-2<k+\,

，1<女<3或一3<左<一1,

故选：B.

2.（2021•奉新县第一中学高二月考（文））若函数/（x）=x3+（2-a）x2+^x+I在其定义域上不单调，则实数。的

取值范围为（）

A."1或a>4B.或a24C.1<a<4D.1<a<4

【答案】A

【详解】

由题意，函数/（x）=x3+（2-a）x2+Wx+l,可得:（x）=3x2+（4-2a）x+g,

因为函数/。）=/+（2-4）/+£》+1在其定义域上不单调，

即/■'（x）=3x2+（4-2a）x+W=0有变号零点，

结合二次函数的性质，可得△=（4-2a）2-4“>0,

即。2一54+4>0，解得。<1或〃>4,

所以实数。的取值范围为（-8,1）。（4,小）.

10

故选：A.

3.(2021•山西运城•(理))已知函数/(x)=ax+lnx+3在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为()

【答案】C

【详解】

由/卜)=。+,=竺里，①当。20时函数〃x)单调递增，不合题意；②当”0时，函数〃x)的极值点为x=-L

xxa

若函数/(X)在区间(1,2)不单调，必有1<」<2,解得

a2

故选：C.

4.(2021•天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中)函数〃x)=3Jx2+aL5在区间[-1,2]上不单调，则实数a