专题08基本不等式（六大题型）（原卷版）

专题08基本不等式【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值（2）常规凑配法求最值（3）消参法求最值（4）换元求最值（5）“1”的代换求最值（6）条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．2、由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，．所以，（当且仅当时取等号“=”）．知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．【典例例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2023·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（

）A．， B．， C．， D．，例2．（2023·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（

）①已知，则成立；②已知且，则成立；③已知，则的最小值为2；④已知，，则成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，的最小值是C．当时， D．当时，的最小值为1题型二：利用基本不等式比较大小例4．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若实数满足，则称x比y远离m．(1)解不等式(2)若比远离，求实数x的取值范围；(3)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．例5．（2023·全国·高一专题练习）若，且，试找出2，2ab中的最大者．例6．（2023·高一课时练习）某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价；方案丙：第一次提价，第二次提价.其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？变式2．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）（1），比较与的大小；（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.变式3．（2023·高一课时练习）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？题型三：利用基本不等式证明不等式例7．（2023·高一课时练习）证明：（1）；（2）.例8．（2023·全国·高一假期作业）已知，求证.例9．（2023·全国·高一专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：变式4．（2023·高一单元测试）若，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）；（2）；（3）.题型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值例10．（2023·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）若，，且，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．8 D．9例11．（2023·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，则的最大值为（

）A． B．25 C．36 D．49例12．（2023·云南·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．5变式5．（2023·江苏连云港·高一期末）设，，且，求的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．变式6．（2023·广西桂林·高一统考期末）设x，，且，则的最小值为（

）A．10 B． C． D．18（2）常规凑配法求最值变式7．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12变式8．（2023·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值变式9．（2023·天津蓟州·高一校考阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．C． D．变式10．（2023·高一课时练习）若，则的最值情况是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2（3）消参法求最值变式11．（2023·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式12．（2023·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式13．（2023·全国·高一课时练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．（4）换元求最值变式14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.变式15．（2023·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.变式16．（2023·全国·高一单元测试）若正数a，b满足，则的最小值是__．（5）“1”的代换求最值变式17．（2023·高一校考课时练习）已知，，，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．5变式18．（2023·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．1 C．9 D．变式19．（2023·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（

）A．23 B．26 C．22 D．25变式20．（2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）若正数，b满足，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10变式21．（2023·河南安阳·高一统考期末）若，，且，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．4变式22．（2023·河南洛阳·高一校考阶段练习）正实数，满足，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．变式23．（2023·青海玉树·高一校联考期末）若实数，满足，则的最小值为（

）．A．4 B．3 C．2 D．1变式24．（2023·江西吉安·高一永新中学校考期中）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式25．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A．20 B．32 C． D．变式26．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知，若，则的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．变式27．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．（6）条件等式求最值变式28．（2023·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例13．（2023·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是______________．例14．（2023·广东深圳·高一深圳市宝安中学（集团）校考期中）不等式，（）对恒成立，实数的取值范围是__________．例15．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为__________．变式29．（2023·贵州遵义·高一遵义四中校考阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______．变式30．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若不等式对于任意正数成立，则实数的最大值为___________.变式31．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）若，则a的取值范围为___________.变式32．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习），，且恒成立，则的最大值为__．变式33．（2023·江苏苏州·高一常熟中学校考期中）若实数满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是________.题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16．（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．(1)请根据基本不等式，证明：；(2)请利用（1）的结论，证明：；(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?例17．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？例18．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．变式34．（2023·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?变式35．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁忽略不计）.问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.【过关测试】一、单选题1．（2023·高一课时练习）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2023·河南信阳·高一校联考期中）设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南·高一桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（

）A． B． C． D．5．（2023·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．1 C．9 D．6．（2023·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）某工厂过去的年产量为，技术革新后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则（

）A． B． C． D．8．（2023·高一课时练习）若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（

）A． B．2 C． D．1二、多选题9．（2023·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高一专题练习）已知.若，则（

）A．的最小值为10 B．的最小值为9C．的最大值为 D．的最小值为11．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最大值为112．（2023·湖南株洲·高一统考阶段