第12讲幂函数（原卷版）

第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。例如，，等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A．B．C．D．【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（）A．B．C．3D．【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（）A．2B．C．D．考点三：幂函数的定义域问题例3．函数的定义域为（）A．B．C．D．【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①，②，③B．①，②，③C．①，②，③D．①，②，③【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，考点五：幂函数图象过定点例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（）A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，（2）在（1）条件下，求时的值域.【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．（1）求的值；（2）解不等式．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A．B．C．D．2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A．偶函数，单调递增区间B．偶函数，单调递减区间C．偶函数，单调递增区间D．奇函数，单调递增区间4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（）A．B．C．D．5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A．是幂函数B．是指数函数C．是对数函数D．不是二次函数6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A．B．C．D．7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A．图像必过点B．可能是非奇非偶函数C．都是单调函数D．图像不会位于第四象限8．已知幂函数的图象经过点，则的值为________．9．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.10．已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.11．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.12．已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．（1）求的解析式；（2）若，求实数a的值．13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.（1）求m和n的值；（2）求满足不等式的a的取值范围.1．下列函数中不是幂函数的是()A．B．C．D．2．下列函数是幂函数的是（）A．B．C．D．3．若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．不具有对称性4．在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（）．A．B．C．D．5．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（）A．奇函数B．偶函数C．在单调递减D．定义域为6．函数的图像可能是（）A．B．C．D．7．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（）A．B．C．D．8．已知幂函数的图像过点，则=______.9．若函数是幂函数，则当时的函数值为______．10．已知