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文档简介
第5讲集合与集合间的关系【考点分析】考点一:子集的概念如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A是集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A)用图形表示为考点二:真子集的概念如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作用图形表示为考点三:集合相等的概念如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B考点四:子集的性质①任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.考点五:空集的概念定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为Ø.规定:空集是任何集合的子集.考点一:简单集合间关系的判断【精选例题】【例1】设集合,则下列关系中正确的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】将集合化简,即可由集合间的关系求解.【详解】由,所以,故选:B【例2】已知集合,下列式子错误的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】求出集合A,即可依次判断.对A:利用元素与集合关系判断;对B:“”表示元素与集合之间的关系;对C:是任何集合的子集;对D:判断与是否为包含关系.【详解】,.与是两个集合,不能用“”表示它们之间的关系,故B错误.故选:B【例3】已知集合和,那么()A.B.C.D.【答案】C【详解】由,得到,所以,又,所以,故选:C.【例4】集合与之间的关系为()A. B. C. D.不确定【答案】C【详解】由于集合,中的元素均为的整数倍,且、(、)都可表示出所有的奇数,因此.故选:C.【例5】已知集合,,,若,,则A. B. C. D.以上都不对【答案】B【详解】由题知,是非负偶数集,是非负奇数集,是由4的倍数加1构成的非负集合;又,,是奇数;故,,与的关系不确定.故选:B.【例6】已知集合,,则下列关系正确的是(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】若,解可得,或或,所以.若,则,所以,所以.故选:B.【跟踪练习】1.下列集合关系中错误的是(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】对于A:集合为点集,含有元素,集合含有两个元素,,所以不包含于,故A错误;对于B:,故B正确;对于C:,故C正确;对于D:因为,所以,故D正确;故选:A2.设集合,,则(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】解:集合,则,x是6的倍数,且为正整数,可知x必是3的倍数,即,所以,则,又,所以.故选:C.3.已知,,则集合A与集合B之间的关系为(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】由集合间的基本关系判断即可.【详解】,,因为,所以为奇数,所以⫋.故选:B.4.下列表述错误的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据集合与集合的关系确定正确答案.【详解】A选项,空集是任何集合的子集,A选项正确;B选项,任何一个集合都是它本身的子集,B选项正确;C选项,是实数,,C选项正确;D选项,是一个只有一个元素的集合,不是空集,不正确.故选:D5.已知集合,则下列选项中说法不正确的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】确定A的元素,根据元素和集合的关系以及集合间的关系判断各选项,即得答案.【详解】由题意知集合,即,故,正确;,错误;,正确;由于A中元素,故,正确,故选:B6.已知集合,.则集合M,P之间的关系为(
)A.M=P B. C. D.【答案】B【分析】化简集合,根据集合的关系即得.【详解】因为,,所以.故选:B.考点二:集合之间的关系注意:空集的基本概念,空集是任何集合的子集【精选例题】【例1】下列各式中:①;②;③;④;⑤;⑥.正确的个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系,故错误;②两集合中元素完全相同,它们为同一集合,则,正确;③空集是任意集合的子集,故,正确;④空集没有任何元素,故,错误;⑤两个集合所研究的对象不同,故为不同集合,错误;⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系,故错误;∴②③正确.故选:B.【例2】(多选题)下列关系中正确的是(
)A.B.C.D.【答案】BCD【详解】选项A:空集中没有元素,故A错误;选项B:中只有一个元素,故B正确;选项C,D:空集是任意集合的子集,故C,D正确故选:BCD【跟踪练习】1.有下列关系式:①;②;③;④;⑤;⑥.其中不正确的是(
)A.①③④ B.②④⑤ C.②⑤⑥ D.③④【答案】D【详解】对①:因为集合元素具有无序性,显然①正确;对②:因为集合,故正确,即②正确;对③:空集是一个集合,而集合是以为元素的一个集合,因此,故③不正确;对④:是一个集合,仅有一个元素0,但是空集不含任何元素,于是,故④不正确;对⑤:由④可知,非空,于是有,因此⑤正确;对⑥:显然成立,因此⑥正确.综上,本题不正确的有③④,故选:D2.以下六个写法中:①;②;③;④;⑤;正确的个数有(
)A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【详解】对于①:是集合与集合的关系,应该是,①不对;对于②:空集是任何集合的子集,,②对;对于③:是一个集合,是集合与集合的关系,,③不对;对于④:根据集合的无序性可知,④对;对于⑤:是空集,表示没有任何元素,应该是,⑤不对;正确的是:②④.故选:B.3.对于集合,下列说法错误的是(
)A.B.C.D.【答案】B【详解】对于A:因为自然数集是整数集的子集,故A正确;对于B:因为是自然数集,是由整数点构成的集合,故B错误;对于C:因为空集是任何非空集合的真子集,故C正确;对于D:因为0属于自然数,故D正确;故选:B4.已知集合M⊆{2,3,5},且M中至少有一个奇数,则这样的集合M共有()A.5个B.6个C.7个D.8个【答案】B【详解】若M有一个元素,则;若M有两个元素,则;若M有三个元素,则∴满足题意的集合M的个数为6个.故选:B.考点三:集合的子集、真子集①若集合中有个元素,则它的子集的个数为个,真子集的个数为个②空集是任何集合的子集【精选例题】【例1】已知集合,则集合的真子集个数为(
)A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素个数,再求真子集个数.【详解】集合,所以集合的真子集个数为:.故选:B.【例2】若2730能被不同的偶数整除,则这样的偶数个数有(
).A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【详解】因为,所以这样的偶数个数即为集合的子集的个数,共有个.故选:C.【例3】(多选题)下列说法正确的是()A.空集没有子集B.C.D.非空集合都有真子集【答案】BD【详解】对于选项A,因为空集是任何集合的子集,所以空集也是它自身的子集,所以选项A错误;对于选项B,由,得到或,所以,所以选项B正确;对于选项C,因为,,所以,所以选项C错误;对于选项D,因为空集是任何非空集合的真子集,所以选项D正确.故选:BD【例4】已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<6,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【详解】由A⊆C⊆B,则集合C中必有元素1,2,而元素3,4,5可以没有,可以有1个,或2个,或3个.即满足条件的集合C为:1,2,1,2,3,1,2,4,,,,,共8个故选:C【例5】已知集合满足,那么这样的集合的个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【详解】∵,∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中,共有4种情况,,故选:D【例6】已知集合,对它的非空子集,可将中的每一个元素都乘以再求和(如,可求得和为:,则对的所有非空子集执行上述求和操作,则这些和的总和是________.【答案】【解析】首先确定每个元素在集合的所有非空子集中分别出现个,在求和.【详解】因为集合,那么每个元素在集合的所有非空子集中分别出现个,则对的所有非空子集中元素执行乘以,再求和操作,则这些和的总和是故答案为:【跟踪训练】1.已知集合,且满足,则集合A的子集个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】根据给定条件求出a值,进而求出集合A即可得解.【详解】因为集合,,所以,解得,因此,,则A的子集有(个).故选:D.2.已知集合,,则集合的子集个数为(
)A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【详解】由解得或,所以,有两个元素,所以的子集个数为.故选:B3.已知则集合的子集的个数是(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】解:因为,所以,又,所以,所以集合,所以集合的子集个数为个.故选:B.4.(多选题)下列说法正确的有(
)A.集合有16个真子集 B.对于任意集合A,C.任何集合都有子集,但不一定有真子集 D.若,则【答案】BCD【详解】集合有4个元素,故其有个真子集,故A错误;空集是任何集合的子集,则,故B正确;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故C正确;空集是任何非空集合的真子集,若,则,故D正确.故选:BCD.5.满足条件的集合的个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【详解】因为,所以集合的个数即为的子集个数为,所以满足条件的集合的个数是4.故选:D.6.已知集合,,则满足条件的集合C的个数为________,满足条件B的集合C的个数为________.【答案】43【详解】解:,解得或,则,由,可得,满足条件的集合为或或或,共4个,满足条件B的集合为或或,共3个,故答案为:4;3.7.已知一个有四个数字元素的集合,的所有子集的元素和(空集的元素和认为是零)的总和等于,则的元素之和等于(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】设,列举出所有的子集,可知所有子集的元素和为,由此可求得的值.【详解】设,则的所有子集为:,,,,,,,,,,,,,,,,共个;则的所有子集的元素和的总和为,的元素之和为.故选:D.考点四:两个集合相等问题两个集合相等是指两个集合中元素相等,但元素顺序可以不同【精选例题】【例1】已知集合,则()A. B. C. D.【答案】C【详解】因为集合,集合,所以集合与集合都是奇数集,所以,故选:C.【例2】已知集合,,若,则(
)A. B.0 C.1 D.2【答案】A【详解】由题意可知,两集合元素全部相等,得到或,又根据集合互异性,可知,解得(舍),和(舍),所以,,则,故选:A【例3】(多选题)下面说法中,正确的为(
)A.B.C.D.【答案】ACD【详解】解:方程中x的取值范围为R,所以,同理,所以A正确;表示直线上点的集合,而,所以,所以B错误;集合,都表示大于2的实数构成的集合,所以C正确;由于集合的元素具有无序性,所以,所以D正确.故选:ACD【例4】若,则的值为()A. B.3 C. D.7【答案】C【详解】因为,所以,解得,所以.故选:C.【例5】(多选题)下列各组中表示相同集合的是(
)A.B.C.D.【答案】ABC【详解】对于A,集合M,P含有的元素相同,只是顺序不同,由于集合的元素具有无序性,因此它们是相同集合,A是;对于B,因为,则,因此集合M,P都表示所有偶数组成的集合,B是;对于C,,即,C是;对于D,因为集合M的元素是实数,集合P中元素是有序实数对,因此集合M,P是不同集合,D不是.故选:ABC【跟踪练习】1.已知集合,,(a,),若A=B,则a+2b=() A.−2 B.2 C.−1 D.1【答案】D【详解】∵集合,,且A=B,∴a+b=1−b,ab=1,或a+b=1,先考虑a+b=1−b,ab=1,解得a=b=13,此时,再考虑a+b=1,ab=1−b,解得,此时,B=0,0,1故选:D2.下列各组两个集合和表示同一集合的是(
)A. B.C. D.【答案】C【详解】解:A选项中集合中的元素为无理数,而中的元素为有理数,故;B选项中集合中的元素为实数,而中的元素为有序数对,故;C选项中因为,则集合,故;D选项中集合中的元素为0,1,而中的元素为1,故.故选:C.3.(多选题)下列选项中的两个集合相等的是()A.,B.,C.,D.,【答案】AC【详解】对于A,,,所以P和Q都只含有两个元素1,2,所以;故A正确;对于B,,而,所以;故B错误;对于C,,,所以;故C正确;对于D,集合P是数集,而集合Q是点集,所以.故选:AC.4.下列选项中两个集合相等的是(
)A.B.C.D.【答案】ACD【详解】A.因为,故两个集合相等;B.因为的元素是,的元素为0,故两个集合不相等;C.因为且,故两个集合相等;D.,故两个集合相等;故选:ACD5.下列说法正确的是(
)A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有4个子集C.集合D.集合【答案】BC【详解】对A,空集不是它自身的真子集,故A错误;对B,因为集合中有2个元素,所以有个子集,故B正确;对C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数,所以两个集合相等,故C正确;对D,因为,当时,,所以,但,故两个集合不相等,故D错误.故选:BC.考点五:简单集合之间的关系求参数注意:解决此类问题一定要考虑空集【精选例题】【例1】(2023新高考1卷真题)设集合,,若,则(
).A.2 B.1 C. D.【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论,运算求解即可.【详解】因为,则有:若,解得,此时,,不符合题意;若,解得,此时,,符合题意;综上所述:.故选:B.【例2】已知集合,,则使成立的实数a的取值范围是_____.【答案】【详解】因为,所以,解得,故实数a的取值范围是.故答案为:【例3】已知,,若,则实数取值的集合为() A. B. C. D.【答案】A【详解】因为,又,当时,方程无解,则,此时满足;当时,,此时,为使,只需或,解得或,综上,实数取值的集合为.故选:A.【例4】已知.(1)若,求a的值;(2)若,求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)或或.【详解】(1)由方程,解得或,所以,又,,所以,即方程的两根为或,利用韦达定理得到:,即;(2)由已知得,又,所以时,则,即,解得或;当时,若B中仅有一个元素,则,即,解得,当时,,满足条件;当时,,不满足条件;若B中有两个元素,则,利用韦达定理得到,,解得,满足条件.综上,实数a的取值范围是或或.【例5】已知为实数,,.(1)当时,求的取值集合;(2)当时,求的取值集合.【答案】(1);(2)【详解】(1)解:因为,所以当时,,当时,.又,所以,此时,满足.所以当时,的取值集合为.(2)解:当时,,不成立;当时,,,成立;当且时,,,由,得,所以.综上,的取值集合为.【跟踪练习】1.集合,,若,则由实数组成的集合为____【答案】.【详解】集合,,且,或或,.则实数组成的集合为.故答案为:.2.已知,,,则范围____________.【
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