第5讲集合与集合间的关系

第5讲集合与集合间的关系【考点分析】考点一：子集的概念如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)用图形表示为考点二：真子集的概念如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作用图形表示为考点三：集合相等的概念如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B考点四：子集的性质①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.考点五：空集的概念定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø.规定：空集是任何集合的子集．考点一：简单集合间关系的判断【精选例题】【例1】设集合，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解.【详解】由，所以，故选：B【例2】已知集合，下列式子错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合A，即可依次判断.对A：利用元素与集合关系判断；对B：“”表示元素与集合之间的关系；对C：是任何集合的子集；对D：判断与是否为包含关系.【详解】，.与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故B错误.故选：B【例3】已知集合和，那么（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由，得到，所以，又，所以，故选：C.【例4】集合与之间的关系为（）A． B． C． D．不确定【答案】C【详解】由于集合，中的元素均为的整数倍，且、（、）都可表示出所有的奇数，因此．故选：C．【例5】已知集合，，，若，，则A． B． C． D．以上都不对【答案】B【详解】由题知，是非负偶数集，是非负奇数集，是由4的倍数加1构成的非负集合；又，，是奇数；故，，与的关系不确定.故选：B.【例6】已知集合，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若，解可得，或或，所以.若，则，所以，所以.故选：B.【跟踪练习】1.下列集合关系中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，所以不包含于，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：A2.设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：集合，则，x是6的倍数，且为正整数，可知x必是3的倍数，即，所以，则，又，所以.故选：C．3.已知，，则集合A与集合B之间的关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合间的基本关系判断即可.【详解】，，因为，所以为奇数，所以⫋.故选：B．4.下列表述错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合与集合的关系确定正确答案.【详解】A选项，空集是任何集合的子集，A选项正确；B选项，任何一个集合都是它本身的子集，B选项正确；C选项，是实数，，C选项正确；D选项，是一个只有一个元素的集合，不是空集，不正确.故选：D5.已知集合，则下列选项中说法不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定A的元素，根据元素和集合的关系以及集合间的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合，即,故，正确；，错误；，正确；由于A中元素，故，正确，故选：B6.已知集合，.则集合M，P之间的关系为（

）A．M=P B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，根据集合的关系即得.【详解】因为，，所以.故选：B.考点二：集合之间的关系注意：空集的基本概念，空集是任何集合的子集【精选例题】【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【例2】（多选题）下列关系中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；选项B：中只有一个元素，故B正确；选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确故选：BCD【跟踪练习】1.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（

）A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④【答案】D【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D2.以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；对于②：空集是任何集合的子集，，②对；对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；对于④：根据集合的无序性可知，④对；对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；正确的是：②④．故选：B．3.对于集合，下列说法错误的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】对于A：因为自然数集是整数集的子集，故A正确；对于B：因为是自然数集，是由整数点构成的集合，故B错误；对于C：因为空集是任何非空集合的真子集，故C正确；对于D：因为0属于自然数，故D正确；故选：B4.已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B【详解】若M有一个元素，则；若M有两个元素，则；若M有三个元素，则∴满足题意的集合M的个数为6个.故选：B.考点三：集合的子集、真子集①若集合中有个元素，则它的子集的个数为个，真子集的个数为个②空集是任何集合的子集【精选例题】【例1】已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数.【详解】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B.【例2】若2730能被不同的偶数整除，则这样的偶数个数有（

）．A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【详解】因为，所以这样的偶数个数即为集合的子集的个数，共有个.故选：C.【例3】（多选题）下列说法正确的是（）A．空集没有子集B．C．D．非空集合都有真子集【答案】BD【详解】对于选项A，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A错误；对于选项B，由，得到或，所以，所以选项B正确；对于选项C，因为，，所以，所以选项C错误；对于选项D，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确.故选：BD【例4】已知集合A={x|x2−3x+2=0，x∈R}，B={x|0<x<6，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【详解】由A⊆C⊆B，则集合C中必有元素1,2，而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.即满足条件的集合C为：1,2，1,2，3，1,2，4，，，，，共8个故选：C【例5】已知集合满足，那么这样的集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中，共有4种情况，，故选：D【例6】已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：，则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________.【答案】【解析】首先确定每个元素在集合的所有非空子集中分别出现个，在求和.【详解】因为集合，那么每个元素在集合的所有非空子集中分别出现个，则对的所有非空子集中元素执行乘以，再求和操作，则这些和的总和是故答案为：【跟踪训练】1．已知集合，且满足，则集合A的子集个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据给定条件求出a值，进而求出集合A即可得解.【详解】因为集合，，所以，解得，因此，，则A的子集有(个).故选：D.2．已知集合，，则集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】由解得或，所以，有两个元素，所以的子集个数为.故选：B3．已知则集合的子集的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，又，所以，所以集合，所以集合的子集个数为个．故选：B．4.（多选题）下列说法正确的有（

）A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则【答案】BCD【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；空集是任何集合的子集，则，故B正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确.故选：BCD.5.满足条件的集合的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】因为，所以集合的个数即为的子集个数为，所以满足条件的集合的个数是4.故选:D.6．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为________，满足条件B的集合C的个数为________．【答案】43【详解】解：，解得或，则，由，可得，满足条件的集合为或或或，共4个，满足条件B的集合为或或，共3个，故答案为：4；3．7.已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于，则的元素之和等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，列举出所有的子集，可知所有子集的元素和为，由此可求得的值.【详解】设，则的所有子集为：，，，，，，，，，，，，，，，，共个；则的所有子集的元素和的总和为，的元素之和为.故选：D.考点四：两个集合相等问题两个集合相等是指两个集合中元素相等，但元素顺序可以不同【精选例题】【例1】已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合，集合，所以集合与集合都是奇数集，所以，故选：C.【例2】已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A【例3】（多选题）下面说法中，正确的为（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．故选：ACD【例4】若，则的值为（）A． B．3 C． D．7【答案】C【详解】因为，所以，解得，所以.故选：C.【例5】（多选题）下列各组中表示相同集合的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；对于C，，即，C是；对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.故选：ABC【跟踪练习】1.已知集合，，（a，），若A=B，则a+2b=（） A．−2 B．2 C．−1 D．1【答案】D【详解】∵集合，，且A=B，∴a+b=1−b,ab=1，或a+b=1,先考虑a+b=1−b,ab=1，解得a=b=13，此时，再考虑a+b=1,ab=1−b，解得，此时，B=0,0,1故选：D2.下列各组两个集合和表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；C选项中因为，则集合，故；D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．故选：C．3.（多选题）下列选项中的两个集合相等的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】AC【详解】对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；对于B，，而，所以；故B错误；对于C，，，所以；故C正确；对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．故选：AC．4.下列选项中两个集合相等的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】A.因为，故两个集合相等；B.因为的元素是，的元素为0，故两个集合不相等；C.因为且，故两个集合相等；D.，故两个集合相等；故选：ACD5.下列说法正确的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4个子集C．集合D．集合【答案】BC【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.故选：BC.考点五：简单集合之间的关系求参数注意：解决此类问题一定要考虑空集【精选例题】【例1】（2023新高考1卷真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.【例2】已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____．【答案】【详解】因为，所以，解得，故实数a的取值范围是.故答案为：【例3】已知，，若，则实数取值的集合为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，又，当时，方程无解，则，此时满足；当时，，此时，为使，只需或，解得或，综上，实数取值的集合为.故选：A.【例4】已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)或或.【详解】（1）由方程，解得或，所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.【例5】已知为实数，，．(1)当时，求的取值集合；(2)当时，求的取值集合.【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：因为，所以当时，，当时，．又，所以，此时，满足．所以当时，的取值集合为．（2）解：当时，，不成立；当时，，，成立；当且时，，，由，得，所以．综上，的取值集合为．【跟踪练习】1.集合，，若，则由实数组成的集合为____【答案】.【详解】集合，，且，或或，．则实数组成的集合为.故答案为：.2.已知，，，则范围____________.【