高中数学竞赛真题17其它综合类竞赛题（学生版+解析版50题）

竞赛专题17其它综合类竞赛题

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

I.（20⑼全国•高三竞赛）计算:岳（£）=.

2.（2019・全国•高三竞赛）设平1,2,3）,今（2,4,1）,小14,5）,中4,火+1,3）是空间中体积为1

的一个四面体的四个顶点.则k=.

3.（2019•全国高三竞赛）给定函数/（、）=J匚工（AW1）.则函数/"）与反函数尸⑴

交点的坐标为.

4.（2019•全国高三竞赛）把函数/（2=””的系数按其自然位置排成两行两列，记

cx^-d

为二阶矩阵A=「'j.其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记

"d）

..af（x}+h（a2+fx:）x+（ab+bd）

//.'）=[=1------Q-----1的系数所组成的二阶矩阵

c/（x）+”[ac+cd）x+'[bc+dj

卜5；"*/]为A的平方，即人一…卜”：：空,观察二阶矩阵乘

\ac+cdbc+cV/+bc+（rJ

法的规律，写出A3=A2XA=「""'I中的元素如=________.

l/l（122）

5.（2018•江西高三竞赛）“、/，为正整数，满足=盛，则所有正整数对何力）

的个数为

6.（2018•湖南•高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角

形，笫一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去

一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设A,,是第n次挖去的小三角形面积之和（如A是第1次挖去的中间小三角形面积，

&是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和

的值为______

边长为1的原等边三角形第一次第二次

7.（2018・湖南•高三竞赛）己知n为正整数，若与超二皿是一个既约分数，那么这个

〃-+6〃-16

分数的值等于.

8.（2019・全国•高三竞赛）设A•为常数.若对一切V«（）」），有

，+0+十大，则实数a的取值范围是—.

9.（2019・全国•高三竞赛）定义数列｛%｝：q,=〃'+4（〃eM）,令4=&".）.则4

的最大值为•

10.（20⑼全国•高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形48CQ,其中，

A8=I8,CD=6.若圆台的面为8,是下底面与A8夹角为60。的直径，则异面直

线PC、DQ所成角的余弦值为

'2x+），24,

11.（20|8.甘肃.高三竟赛）设反F满足7-”1.若z=<u+）只在点A（2.。）处取得坡

A-2V<2.

小值，则实数。的取值范围是

12.（2018•全国•高三竞赛）若函数.Y=/（x+l）的反函数为「=.广卜+1）,且

/（1）=3999,则满足/（〃）=〃的最小正整数”=.

13.（2018・全国•高三竞赛）方程4sin.v（l+cosx）=36的解集为.

14.（2018・全国・高三竞赛）已知一元二次方程

1an?6+sec?6）丁+2（tan2。-sin2，）x-cos2。=。有重根.则cos0的值是.

15.（2018・全国•高三竞赛）设/（x）定义在N.上，其值域且对任意”wN.,

都有」（〃+及/（/（〃））=3〃.则/（l（））+/（U）=.

16.（2018.全国•高三竞赛）已知+2.V+I,存在实数，，使得当时，

恒成立.则，”的最大值是

17.（2018•全国•高三竞赛）直用坐标平面上两曲线y=Y与人=./刚成的图形的面积为

18.（2019•全国•高三竞赛）已知关于•的方程/+（4-2010）》+“=（）（“工（））的两根均为

整数.则实数“的值为.

19.（2021•全国•高三竞赛〉若/（A）=1-2技前-F：-2j2O2O.d+2x-J2019,

则/（^2019+低元）的值为

2（）.（2019・全国•高三竞赛）不等式./+（|_.卬21的解集为---------

21.（2019•全国•高三竞赛）已知函数$=Y+6or-a与x轴有两个不同的交点

（小。）、卜。），并且（I+温?一（『6〃7$-）=&—,则，，的值是

22.（2019・全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2./+2f-5.u+x+.y+k=（）在平面直

角坐标系工。丫中表示两条相交的直线,交点为P,若点A、B分别在这两条直线上，且

I网=|方1=1,则可而=.

23.（2019.全国•高三竞赛）已知“、b、，是一个直角三角形三边之长，且对大于2的

自然数”，成立（〃'+〃"+/）2=2（,产+必+〃"）.则”=

24.（2（）18•山东•高三竞赛）已知“，beZ,且“+〃为方程V+依+。=0的一个根，则

b的最大可能值为

V3+y5=26

25.（2018・贵州•高三竞赛〉方程组｛•/.、＜的实数解为_____.

+.）•）=-6

26.（2018•全国•高三竞赛）已知，、B、，为方程5『-6『+7、-8=0的三个不同的

根，则俨++为+/）（/+/«+〃）的值为.

27.（2018・全国•高三竞赛〉使得方程d+3+&/=0①只有整数解的实数“的个数为

28.（2018・全国•高三竞赛）某人排版一个三角形，该三角形有一个内角为60。.该角的两

边边长分别为X和9.这个人排版时错把长X的边排成长x+1，但发现其他两边的长度没

变.则、=.

29.（2018•全国•高三竞赛）己知/（.r）=y-3V+3.r在区间,,可（〃>.）上的值域为

[«.*].则满足条件的区间团封为

30.（2018・全国•高三竞赛）30!末尾最后一个不为零的数字为.

31.（2018•全国•高三竞赛）平面区域

5=]（.v,y）x.yeQ,J,sii/x+sinx.siny+sinb《：（•的面积等于

i'j2J4----------

32.（201&上海•高二竞赛）分解因式：（0，+1）"+1）（「+1）+冲=.

33.（2021.全国•高三竞赛）若一个分数f（a,〃均为正整数）化为小数后，小数部分

b

2

出现了连续的“2020”，^1^1—=0.020202L,就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二

小的可能值为

二、双空题

34.（2018•全国•高三竞赛）阅读下蔺一道题目的证明，指出其中的一处错误.题目：

平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个

的最短边又是另一个三角形的最长边.证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，

可以得出15条边，记为4，%,…，生.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不

相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设《.第三步，由于“任何三

点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则《、

小、%组成的三角形的最长边的,也是%、出、处组成的三角形的最短边，命题得证.

这三步中，第步有错误，理由是.

三、解答题

35.（2019.全国•高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C,其起始位置分别

为4（4,6）、综卜有-2,-6-3）,G（6+69+&）,首先，A以B为中心跳到其对称

点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点

上，…依此类推.设A、B、C第n次跳到的位置分别为儿、8,,、C“,

的三边长分别为a、b、c,面积为S.证明：/+〃+I>300x17刈7s

36.（2019.全国•高三竞赛）设异面直线”、力成6■。角，它们的公垂线段为且

\EF]=2,线段A8的长为4,两端点A、8分别在“、〃上移动.求线段A8中点户的轨

迹方程.

37.(2018•全国•高三竞赛)求所有三次多项式P(x),使得对一切不)史0,均有

«+)，)2，(”+，(3•).

38.(2()18•全国•高三竞赛)已知多项式

/(x)=2纨d+(2-7“)/+(5“-3)M+(ll-7a)x+M-5,其中，“为实数.证明：对任

意的实数“，方程/。)=0总有一个相同的实数根.

39.(2018・全国•高三竞赛)给定正整数〃，求£(g一；，其中1Vl表示不超过实数•'的

最大整数.

40.(2018・全国•高三竞赛)试求所有的正整数”及实数使得

ntan工+与cot.v+均为有理数.

41.(2018・全国•高三竞赛)实数£占=£工=£n=1满足之丁^—,试求

1=))=1X|M+工内工

=上[=123)的值.

%

[a-tb+c,

42.(2018・氽国・高三竞赛)己知非零实数〃、。、，满足，/,,

(1)求证：二次方程&+，。-2<k-(6+/)(〃-C)=0①必有实根，且2c-〃-a是

方程的一个实根：

(2)当”=15,/>=7时，求c、/.

43.(2018•全国•高三竞赛)设“、〃为复数，0工/"1.求证：|“+邛引“『+|〃「：

44.(2019.全国•高三竞赛)己知非常数的整系数多项式/(x)满足

(A-1+4.v2+4.v+3)/(.r)=(x,-2v+2.r-l)/(x+l).QiE1!^：对所有正整数〃(〃28),

/(")至少有五个不同的质因数.

45.(2019.贵州•高三竞赛)我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方

体，上而分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面

骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计,一个“十进制骰”，使其掷一次能产

生0-9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问；你能设计出这样的骰子

吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.

46.（2019・全国•高三竞赛）设二元函数2=/（x,））=2x、3『-6.v的定义域是

I）={（.V,j）|3*+2）247M，,X.yeR）.

（1）求z=f（x,力（点（x,y）wD）的取值范围：

（2）求所有的实数使得在空间直角坐标系。-孙：中，曲面z=/（x,「）（点

（x.j）eD）与另一个曲面z=.\y+〃（x、ywR）相交.

47.（2019•全国•高三竞赛）设直线与函数「=.『-F+x的图像恰有两个不同的公共

点.求出所有这样的直线方程.

48.（2018•全国•高三竞赛）已知小事为实数，且人性1,对k={1,2,…川的子集

八={3、…，4}，定义S（A）=£,+%+…+%.其中，规定S（0）=O,问：从n个这样的

和中至多可以选出多少个，使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?

49.（2018•全国•高三竞赛）（1）若正整数n可以表示成“"（a、bwN.a、，*2））的形

式，则称n为“好数试求与2的正整数次塞相邻的所有好数.（2）试求不定方程

\2x-yX5：|=1的所有非负整数解（.r,）,,z）.

50.（2018・全国•高三竞赛）在9x9的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一

块由4个方格构成的2x2区域.其中由至少3个方格被染成红色.

竞赛专题17其它综合类竞赛题

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

I.（2019•全国高三竞赛）计算:目痣（；）=.

【解析】

【详解】

注意到，fc,，=（】+.r）".

两边积分得

1,

22C*A=2（1+x）ndx

E'O0

案为贵（d

2.（2019•全国.高三竞赛）设率1,2,3）金（2,4,1）,厚14,5）,乎4,A+1,3）是空间中体积为1

的一个四面体的四个顶点.则k=

【答案】-2或1.

【解析】

【详解】

四面体体枳为=|6仕-2）-2（*-7）卜6

=4=1

可产1«„+（eN）或-2.

故答案为-2或I.

3.（2019・全国•高三竞赛）给定函数则函数/（A）与反函数广（”

交点的坐标为

-1+757+小

【答案】（1,0）,（0.1）,

-2--2-

【解析】

【详解】

/(A)=1)的反函数为/ta)=1_/(*>o).

j=VT-7.①

联立方程

y=I-A\②

由式①得./=1-2A+A-3=2(I-.V)-(I-A-).

把式①、②代入上式，得y*=2y2-y,即（y*-.F）-（.、J-.v）=0

于是,y(y-l)(y2+y-l)=o.

解得.K=0,占=1：J-2=l.»\=().

y,=—!'J（舍去负值），与_1+有

~~2~

'-1+#-I+K

故答案为（1.0）.（0,1）,

22

4.（2019・全国•高三竞赛）把函数/卜）=黑9的系数按其自然位置排成两行两列，记

ab\

为二阶矩阵A=

cJ-其中,每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记

cif(x)+b(a2+be)x+(ab+bd)

/(/(》))=

JJ----—~r,一R■的系数所组成的二阶矩阵

(/(•')+〃(ac+cd)x+(bc+df

a2+abah+P(i\.一-一，a2+heab+、，▼

W+/为A的平方,即A?=AxA=fW

I-观察二阶矩阵乘

法的规律，写出A3=A：XA=中的元索%=

【答案】a2c+acd+be2+cd2

【解析】

【详解】

根据二阶矩阵乘法的规律，知川=中的“,应是A?中第i行的元素分别乘以

A中第j列对应兀素,的代数和.则“2inR/c+Ma+ec+c—kj/c+acd+仅2+＜小.

故答案为a'c+acci4-/?c2+c”

5.(2018-江西・高三竞褰)“、〃为正整数，满足，-；=焉，则所有正整数对，力)

ab2018

的个数为.

【答案】4

【解析】

【详解】

由=^111<«<2018.口.“〃+201&，-2018〃=0,

ab2018

于是(2O18-a)(2OI8+〃)=2018?=22.1009，.

ffi]O<2OI8-tz<2O18,2018+〃>2018.

因1(X)9为质数，数2，1009,所有可能的分解式为

1x2018，2x(2x|(X)92),4x1009、1009x(4x1()09).

其中每一个分解式对应于(“,〃)的一个解，故其解的个数为4.

故答案为4

6.(2018,湖南•而三竞赛)如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角

形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去

一个小三角形，保用它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设A”是第n次挖去的小三角形面积之和(如人是第1次挖去的中间小三角形面积，

&是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，则前n次挖去的所有小三角形面积之和

的值为________________________

A*会.

边长为1的原等边三角形第一次第二次

【答案】

【解析】

【详解】

原正三角形的而枳为手，而第k次哄挖去户个小二角形，4=若用.因此，

可以采用等比级数求和公式，得到答案为

2磊SY兽用-削

4

故答案为卦（牙

7.（2018・湖南•高三竞赛）已知n为正整数，若":+："-"）是一个既约分数,那么这个

〃-+6/2-16

分数的值等于.

【答案】F

【解析】

【详解】

因为正罚T蜀M，当〃-2=±1时，若（〃+8,〃+5）=（〃+5.3）=1,则

〃:+&T°是一个既约分数,故当〃=3时，该分数是既约分数.

n~-6”-16

O

所以这个分数为5•.

Q

故答案为言

8.（2019・全国,高三竞赛）设A为常数.若对一切刀、3七（0，1）,有

V+Jp，则实数*的取值范围是•

【答案】（-8,0].

【解析】

【详解】

注意到/+/--<*/4+++-*o（14）（1-/）2[1-5）（1-J）

ox\v4>IA,<0.

故答案为（-8,0]

9（2019全国•高三竞赛）定义数列｛%｝：a“="'+4（〃eN）令则4

的最大值为

【答案】433.

【解析】

【详解】

由义卜+4.(”+1)、+4).知"“卜广+4.3/+3"+1).

则〃“[-3(，P+4)+"(3"2+3”+1)],

且I。"？+3〃+1)=4,|(3，9+〃一12.3，/+3”+1)

=41(2〃+13、3，1+3〃+1)=4|(2”+13.33/?-2)

=41-2(33〃-2)+33(2〃+⑶]n4/433.

所以,⑷a4433.

易知，（/io，/u）=433.

从而，⑷a=433.

故答案为433

10.（2019.全国•高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形A8C7）,其中，

AB=I8,Q）=6.若圆台的高为8，也是F底面与A8夹角为60。的直径，则异面直

线PC、OQ所成角的余弦值为

Q

【答案】~

【解析】

【详解】

如图，设异面直线PC、Q。所成角为a,向量无、丽的夹角为伍以下底面中心

O为原点、A8所在直线为x轴建立空间直角坐标系.

则C（3O8）、仇-3,0,8）、心孚。

5一=’53与9出8、

于是4

\/

因此定•前=1.

而附=加.阈=必.

故ccsO=卷.

从而，COS<=COS0=—.

(2K+)：24,

11.(2018.甘肃.高三竞赛)设XJ满足Jx-”L若2=小+.丫只在点A(2.0)处取得最

(x-2y<2.

小值，则实数。的取值范围是.

【答案】-7<«<2

【解析】

【详解】

画出平面区域如下:

由数形结合可得即-g<“<2.

12.(2018•全国•高三竞赛)若函数)，=/(x+l)的反函数为)，=/T(x+l),且

/⑴=3999,则满足/(〃)=〃的最小正整数”=

【答案】2000

【解析】

【详解】

由条件得广(大+1)-/'1(”=-1,1=广(3999).

从而，/t(3999)-广(3998)=-1,/-,(3998)-/,(3997)=-1，…

/+(人.)=_］.

相加得1-广(A)=A-3999=广伙)=4*«0-A=/(4»0«-&)=A.

令400«-*=，则8=2000.

13.(2018•全国•高三竞赛)方程4sinMl+cosx)=3O的解集为

【答案】x=2E+殳AGZ)

【解析】

【详解】

原方程两边平方得27=16sin\r(l+co!ii)"=16(l-cos:.t)(l+2cosx+cos2x)

=16cos"x+32cos-32cos.v+11=0

=(2cos.v-l)2(4COS\r+l2cos.v+l1)=0

NCOSA=—=>.V=2^TE+—(A:GZ).

23、

14.(2018•全国•高三竞赛)已知〃一元二次方程

(tan28+sec?8)V+2pan28-siif8)x—cos28=0有重根.则cos0的值是------

［答案］

【解析】

【详解】

由于方程有重根，故△=(),即(〔an26-sin的J+CQS2d(laMe+scc帝)=0.

设d=cos监则

0.

故（小一3〃+1）。=0,

解得”=上正.

2

因此，COS0=殍.

15.（2018・全国•高三竞赛）设/（》）定义在N,上，其值域8±N,,且时任意“eN,,

都有/(〃+[)>/(〃)，及/(/(〃))=3〃.则/(10)+/(")=.

【答案】39

【解析】

【详解】

由/(/⑴)=3,知/(/(/⑴)卜/⑶.

若/(1)=1,则3=/(/。))=/⑴=1,矛盾.

因此，2</(1)</(2)5/(/(1))=3.

则/(2)=3,/⑴=2,/(3)=/(”2))=6./(6)=/(/(3))=9.

又6=八3)</(4)<〃5)</(6)=9,故/(4)=7,〃5)=8,/⑺=/(/(4))=|2,

/(12)=/(〃7))=21.

因为/(9)=/(/(6))=18,=⑵=21.所以，

7(10)=19,/(II)=20.

因此，/(⑼+/(")=39.

16.(2018•全国•高三竞赛)已知/("=.「+23+1,存在实数/,使得当叫时，

f(x+/)4x恒成立.则W的最大值是

【答案】4

【解析】

【详解】

[y=.V.

把/(')的图像向右平移T个单位，数形结合得川的锻大值是*=f(x+；)两个交点横

坐标的较大者.

由/(1+，)=I，解得，=-U=-3.

再由/(x-3)=x.得x=l(舍去)，x=4.

故，”的最大值是4.

17.(2018.全国•高三竞赛)直角坐标平面上两的线了=T与A=y'M成的图形的面积为

【答案】1.

【解析】

【详解】

因为两曲线分别关于原点对称，从而，只需计完两曲线在第象限围成的图形的面积

A.

当x＞i时，当0＜、＜1时，/＜近.

所以，两曲线在第象限有唯一的交点（U）.

乂A=j（\E-x）dr所以，两曲线围成的图形的面积为

2A=1.

18.（2019•全国•高三竞赛）已知关于、的方程/+（。-2010）.，+a=0（“=。）的两根均为

整数.则实数〃的值为.

【答案】4024

【解析】

【详解】

设方程的根为X、爸（内4占）.

由韦达定理得N+占=-（4-2010）,册》=a,则斗弓+$+.q=2010,RP

（内+1）（^2+1）=2011.

X,=0.[A;=-2012,

又因为2011为质数，所以，,”.八或（一故〃=。（舍）或a=4O24.

（x2=2010[丛=—2.

19.（2021，全国•高三竞赛）若/（.v）=.V6-272019A5-.v4+.v'-2^020.vJ+2.v-720）9,

则f（病历+与元）的值为

【答案】＞/2020

【解析】

【分析】

【详解】

研究二次方程丁-2j20I9.r-1=0和F-2^2020.r+1=（）,

H[J（.v-72019+72020）（A--＞/2019-V2020）=0

和(A-V2020+同向Q-V2O2O-^2019)=0.

因此％=A/2019+­^020两方程的公共根.

/(.r)=A4(X2-2>/2»l9.t-1)+A(A-2-2V2000.V+l)+(.r-J2019-,2020)+72020.

故/(回历+疝说)=,2020.

故答案为：V2020.

20.(2019•全国•高三竞赛)不等式的解集为---------

【答案】仅｝

【解析】

【详解】

令=〉，，则不等式化为/+r=1,./+y3>1.

故04『+./

=.r(.r-l)+r(y-l)

=(1-,V3)(A-1)+(1-A-2)(y-0

=-(./-i)(x-i)-(F-i)(y-1)

=-(I-.v)(1-y)(A-+,y+2).

因为I=Y+y2>X2,所以H4I.

同理，|)归1.

ifel±.v>0,l±.v>0,.r+y+2>0.

若x+y+2=0,x+I=y+1=(),不满足,d+./=I.因此，,t+y+2>0.

于是，不等式化为(l-x)(l-.y)40.

但1一A“，I-v>0.

故(l7)(l-y)=，.

解得(x.,y)=(l.O).(O」).

经检验，x=0或I都是原不等式的解.

故原不等式的解集为｛Q1｝.

故答案为｛04｝

21.（2019•全国•高三竞赛）已知函数y=.『+6".r-”与K轴有两个不同的交点

3

（00）、（.巧.0）,并旦=8〃-3,则〃的值是

(l+,r,)(l+.r,)(|一痴一NJ(]-6“一占)

【答案】y

【解析】

【详解】

由A36”'+4“>0,得a>0或“<一"-,

9

根据题意知

x2+6ta-«=(.r-xJ(x-.0)

则(1_xJ(l+xJ=/(_1)=1-7«.

(l-6«-x])(l-6</-x,)=/(l-6«)=l-7a

-3

于是，%cl=8“-3

1一7。

解得“=1或“=0（舍去）.

22.（2019•全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2.P+2f-5Ah+x+>+*=0在平面直

角坐标系XOF中表示两条相交的直线,交点为P,若点A、B分别在这两条直线匕且

西|=|“|=1,则丽.丽=

4

【答案】±J

【解析】

【详解】

由题设知，关于X、的一次多项式2/+2/-5.O+X+）+A=0可以分解为两个一次因

式的乘积.

因2x2+2y2-5.vy=(-2.r+y)(-x+2.y),

所以，2.v2+2y2-5.vy+x+y+k=(-2x+y+(i)(-x+2y+b),

其中，公，，为待定的常数.

将上式展开后比较对应项的系数得

ab=k,—a-2b=l、b+2a=l.

解得a=l,b=_JM=_l

f—2.r+y+1=0,]/、

再由|_r+2、，_i=0得两直线斜率为人=2,交点P。1).

设两支线的夹角为e(e为锐角).则

tan0=-^~—=—,cos^=—

\+k2k,45

故丽.丽=|尸A|M@cos，

n£|P/t|-|P»|cos(18()°-6>)=±|P4||PH|cos0=±^,

4

枚答案为±y

23.(2019•全国•高三竞赛)已知“、b、。是一个直角三角形三边之长，且对大于2的

自然数"，成立=2«八"+〃2"+户).贝lj"=.

【答案】4

【解析】

【详解】

./Iitnn

1乂X=)•=//，z=(W，何

0=2上产+庐+一”+〃"+c〃『=2(.v4+.v，+z4)-(.v:+y2+z:了

=x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2v12z2

=-(.r+y+z)(.r+y-z)(y+z-A)(z+x-y).(*)

不妨设c为斜边，Ijiijz>.v,2>y,可知.r+.v+z>0,y+2-x>0,z+.v-y>0.

：.(*)式等价于2='+丫，即(gj+4『=].

另一方面，<『+"=/成立，或(fj+JJ=1.

因为0<幺<1,0<々<】，)=(区丫+(2丫为单调减函数，仅在一个X点处取了=1.

CC、c)\CJ

因此，—=2>〃=4.

2

故答案为4

24.(2018山东•高三竞赛)已知“，bsZ,且〃+〃为方程F+at+/，=0的一个根，则

〃的最大可能值为.

【答案】9

【解析】

【详解】

由题设（“+〃）-+"（"+/，）+〃=0,则2（r+3ab+b2+/?=•.

因为〃，MZ,则△=%2-8炉+〃）=必-汕必为完令平方数.

设一汕="』（，〃€N）,则（〃一4?-m2=16.（〃一4+，〃）（〃一4一，〃）=16.

.4+，”=818-4+〃1=4、[。~4+，〃=一24+〃1=一4

所以｛,4C或k4,或｛//。或｛//A-

\h-4-m=2\h-4-m=4〃-4一，〃=一8|〃-4一，〃二-4

解得〃=9.8,-1.0,所以〃的最大可能值为9.

人'十=

25.（2S8・贵州•高三竞赛）方程组，,,\的实数解为^

.n（.v+y）=-6

[x=-1（x=3

【答案】、或,

【解析】

【详解】

t3+V'=26

因为‘tv（t+，）=-6'所以（x+）'+="+）'3+&0，（工+））=26-18=8，

即N+.y=2,代入.1丁（＜+），）=-6,得个=-3.

由产=；=PR"、：

xy=-3y=3[y=-1

26.（2,18♦全国•高三竞赛）已知。、0、/为方程5『-6丁+7\-8=•的三个不同的

根，则（a?+M+加）设+为+/乂/+建+£）的值为.

【答案】-翳

【解析】

【详解】

注意到，（标+矽+£2）（仍+所/乂/+纱+*=

八'等5（«-/7）界5（/"?-\/'）'!5厂（六斗a）

_6（a"2）-7（a/）6（旌/卜7（尸-7）6（y2＜）7（y-a）

5（a-/7）5（6-y）5（y-a）

」6（a+6）-7][6（夕+y）-7][6（y+a）-7]

5

记/(x)=5(x-a)(x-0(x-7)

则,2+的+夕2)(/+Py+72)(/+ya+a,=*j[^)=_J^.

27.(2018・全国•高三竞赛)使得方程F+<“+8”=0①只有整数解的实数”的个数为

【答案】8

【解析】

【详解】

设方程①有整数解，〃、〃(〃?4").则，"+〃=-〃.，”〃=&，.

于是，("?+8)(〃+8)=64.

解得，

(,",〃)=(—72.—9).(—40,—10).(—24,—12),(—16.—16).(—7,56),(-6.24).(—4.8).(0、0).

对应的〃=-("|+〃)=81,50.36,32,-49,-18,Y,0.共8个.

28.(2018・全国•高三竞赛)某人排版一个三角形，该三角形有一个内角为60°,该角的两

边边长分别为和9.这个人排版时错把氏.V的边排成长犬+1.但发现其他两边的长度没

变.则人=.

【答案】4

【解析】

【详解】

由二l=co$60°'得*'=4-

9

29.(2018・全国•高三竞赛)己知/(.*)=V-3.V2+3.v在区间[“，句0>”)上的值域为

卜句.则满足条件的区间[“问为

【答案】[0,1],[0,2],[1,2)

【解析】

【详解】

有/(K)=3F-6.V+3=3(K-1)‘，知除K=1外./，(x)>0.

故/(.r)在(-8.+8)上为增函数.

侬题意函数在了="取最小侑"，隹'=〃取最大值〃，则/(“)=“，/(。)=仇

这表明“、〃是方程/(.r)=.r的两个根.

注意到.P-B.F+S.mOA(A-1)(A-2)=0.解得.5=0,毛=1,-4=2.

故所求的区间为[()/],[0,2],[1.2].

30.(2018•全国•高三竞赛)30!末尾最后一个不为零的数字为

【答案】8

【解析】

【详解】

$lj30!=226x3Mx57x7*4x112x132x17x19x23x29

!)1|J=2'*x3'4x74X112X132X17x19x23x29

三2,9X314x74xl-X32x7x9x3x9(niodl0).

因为3,、7"模10均余I,且2」"模10余6,所以，券三23三8(modl0)

31.(2018・全国•高三竞赛)平面区域

S=■(工))X、)，€0,y,si/r+sinrsin)，+sin2,y4的面枳等于.

1

【答案】—

6

【解析】

【详解】

由2(sin\-sinx•siny+sin：v)=2-2cos(K+V)•cos(.v-.v)+cos(.v+、)-cos(x-y)

(x+F)+g-

=--2coscos(x-y)--^

24,

得cos(.r+y)+^•cos(.t-y)-^-

20,

x+.yM-px+y>—,

3

即3或

kT隹|x-.v|>

4

2)

71'

结合X、yw(吟.可得到如图的平面区域，其面枳为=--

6

32.(2018・上海•高二竞赛)分解因式：(.vy+l)(.v+l)(y+l)+.vv=

【答案】(xy+x+1)(xy+y+l)

【解析】

【详解】

0=

(xy+1)(xy+x+y+l)+xy=(xy+l)((xy+1)+(x+y))+xy=(xy+1)A2+(x+y)(xy+l)+xy=((xy+1)+x)((

xy+1)+y)=(xy+x+1)(xy+y+1)

33.(2021・全国•高三竞赛)若一个分数£(a,〃均为正整数)化为小数后，小数部分

b

?

出现了连续的“2020”,例如了=0.020202。，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二

99

小的可能值为

【答案】193

【解析】

【分析】

【详解】

我们总可以将一个"好数''适当乘一个10的方耗并减去其整数部分后使之成为一个小数

点后前四位是“2020”的此分数,Jii0.20202-<0.2021.

h

进而---4-------<------<-----

500b5476476

若5n—〃=1,Wj476<5/?<5(X)H=4(mod5),所以〃=99.

若5a-b=2,则952<5〃4l(X)0且。三3(mod5),所以/，=193.198.

若5a-〃之3,则5〃>1428,〃2286.

39

另一方面，益=020207是“好数”，因此。的第二小的可能值为193.

故答案为：193.

二、双空题(共。分)

34.(2018•全国•商三竞赛)阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误.题目:

平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个

的最短边乂是另一个三角形的最长边.证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，

可以得出15条边，记为，4，电，…，心.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不

相等的三角形”,因此，15条边互不相等不妨设《.第三步，由于“任何三

点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则叫、

%、出组成的三角形的最长边%,也是与、4、%组成的三角形的最短边，命题得证.

这三步中，第步有错误，理由是.

【答案】二或三第三步有错误，理由是：不能推H厂任取三条边都可以组成三角

形”或第二步有错误，理由是:不能推出

【解析】

【详解】

不能推出“任取三条边都可以组成三角形“，

比如，从六个点A、4、4、4、4、4中，记A、4的连线为4，记4、儿的

连线为4,记A、A的连线为％3、j,4互不相等）,

则%、明、/未必能组成一.角形，RP使组成三角形也不是本题所说的“三点两两连线”

所成的三角形.

第二步也有错误，理由是三点组成的“单个三角形”内部边长互不相等，

不能推出“多个三角形”之间边长互不相等，因而，飞＜生”中的也可能有

说明：虽然证明有错误，但结i仑是成立的，可把六个点“两两连线”的每个三角形最长

边染成红色，剩下的边染成蓝色，然后证叨必有同色三角形，

乂因为每个三角形都有红边，所以，同色三角形必有三边同红色的三角膨.这个三角

形的最短边便乂是另一个三角形的最长边.

三、解答题（共。分）

35.（2019・全国,高三竞褰）在直角坐标系中，有三只省姓A、B、C,其起始位置分别

为4（4,6）、8。卜6-2,-6-3）,品（6+石,9+五），苜先，A以B为中心跳到其对称

点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点

上，…依此类推.设A、B、C第n次跳到的位置分别为人“、外C„,AA如山刈

的三边氏分别为a、b、c.面积为S.证明：/+//+'2>300><172"”5

【答案】见解析

【解析】

【详解】

设优C.的三边长分别为可也.％,则由题意知

4“+4=2纥

•%+纥=2Cn①@③

C““+Q=24T

由式①得

将式④代入式②得

。=（—八+4）⑤

将武⑤代人式③并整理得

4心+34.2+54“+儿=0，

其特征方程为

万+3万_52+1=0，

即（"］）（万+401）=0.

解得々=1，4=_2+正，4=-2—石.

则A,=。+以：+7•'君⑥

O+E+F=(4,6)

0+^11.«+^1.厂=卜6-2,-百-3)24

在式④、⑤、⑥中令n=0,得

/)+1^.£+^^1=(6+逐.9+灼

解得”=(0,0).£=(1,2)/=(3,4).故

%O+W/,+>C：0

=W-c『+IC,-A-+|A-8j

p

-A”)+

=|A4~+；（A.i+A,）+^（AHI-A,）

=人/+1（|0|，|4。

又每只青蛙跳后,三只吉蛙所组成的二角形面积不变，

R|IS=SA,MI（.=75.

而同2=匠4"+/石T>25空+22（-1）",故

“，+//+<，=g|4oJ+如20”「

>2504+6灼（4+2广”+22

>5404+6网（4+2广S

=（70百+15，）（9+4不广“S

>300x|7-°"S

36.（20”•全国•高三竞赛）设异面直线“、/，成60。角，它们的公垂线段为《尸，且

\EF\=2,线段A8的长为4,两端点A、8分别在“、〃上移动.求线段A8中点/,的轨

迹方程.

【答案】：+卜=1

【解析】

【详解】

易知点P在过E/'的中点0,且与“、〃平行的平面。内.

如图所示，设〃、〃在a内的射影分别为“'、〃'，点A、8在a内的射影分别为4、

则乙4'08'=60。，且47『的中点即为A8的中点P.

于是，问题转化为求定线段49的两个端点分别在“'、8’上移动时，其中点P的轨迹.

如图所示，以/4'0斤的平分线为N轴，。为原点，建立白:角坐标系.不失•般性，令

|。81=〃，=在A/VO8中，nr+ir-mn=12.①

2."走（,"+〃）、

设A9的中点P的坐标为（内#,则j2