高考数学复习-立体几何练习试卷高考练习模拟题

高考数学复习一立体几何练习试卷

第I卷(选择题共50分)

一、选择题(10X5,=50')

1.如图，设O是正三棱锥P-ABC底面三角形力8C的中心，

过0的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记

为0、R、S,则」-+」-+」-)

PQPRPS

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等

D.是一个与平面位置无关的常量

2.在正〃棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是)

n-2〃一2〃一1

A.7C,7tB.----------71,7CD.九,-----n

nnn

3.正三棱锥P-48C的底面边长为2a,点&F、G、//分别是以、PB、BC、/C的中点，则四边

形EFGH的面积的取值范围是)

A.(0,+8)B.a2,-wC.42,+coD.6f2,4-00

4.已知二面角a-a-B为60°,点4在此二面角内，且点/到平面a、B的距离分别是/E=4,

/尸=2,若Bda,CWB,则△/BC的周长的最小值是()

A.4V3B.2V7C.4"D.2石

5.如图，正四面体/-8CO中，E在棱上，尸在棱CD上，

使得盘=WL=入(0<Xv+8),记/(入尸a、+6、，其中a'表示EF

EBFD

与NC所成的角，B-表示EF与5。所成的角，则()

A/(X)在(0,+8)单调增加

B.f(入)在(0,+8)单调减少

C/(X)在(0,1)单调增加,在(1,+8)单调减少

第5题图

D/(X)在(0,+8)为常数

6.直线a〃平面B，直线a到平面B的距离为1,则到直线a的距离与平面B的距离都等于1的

点的集合是()

A.一条直线B.一个平面C.两条平行直线D.两个平面

7.正四棱锥底面积为0,侧面积为S,则它的体积为()

A.—O(s2-02)B=JO(S2-Q2)

63

C.^Q(S2-Q2)D.g即

8.已知球。的半径为/?,A.8是球面上任意两点，则弦长|/8]的取值范围为()

A.[0,27?1B.(0,2R]C.(0,27?)D.[7?,27?]

9.已知平面aC平面0=/,机是平面a内的一条直线，则在平面B内()

A..一定存在直线与直线，〃平行，也一定存在直线与直线机垂直

B.一定存在直线与直线m平行，但不一定存在直线与直线m垂直

C.不一定存在直线与直线加平行，但一定存在直线与直

线”7垂直...—>

D.不一定存在直线与直线机平行，也不一定存在直线与

直线m垂直?......7A

10.如图为一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折：……上]\

叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为()

A.6B.7C.8D.9上

二、填空题(4X4'=16')第10题图

11.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为；推广到空

间，棱长为“的正四面体内任一点到各面距离之和为.

12.在△Z8C中，AB=9,AC=\5,Z5JC=120°,其所在平面外一点尸到4、B、。三个顶点的

距离都是14,则P点到直线BC的距离为.

13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面

体，并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是.

14.有120个等球密布在正四面体/-8CD内，问此正四面体的底部放有个球.

三、解答题(4X10'+14'=54')

15.定直线/i_L平面a，垂足为M,动直线b在平面a内过定点N,但不过定点M.MN=a为定值，

在八、/2上分别有动线段N8=6,CZ)=cAc为定值.问在什么情况下四面体N5CZ)的体积最大？最大值

是多少？

16.如图所示，己知四边形/88、E/OM和A/DCF都是边长为a的正方形，点P、。分别是

和NC的中点，求：

(1)丽与亚所成的角；

E

(2)P点到平面的距离；

(3)异面直线P/W与尸。的距离.

第16题图

17.如图，在梯形/8CZ)中，AB//CD,//£>C=90°,3/。=">3,28=2,£：是。。上一点，满足

DE=\,连结/£,将△。/E沿/E折起到的位置，使得/。/8=60°，设/C与BE的交点

为。

⑴试用基向量表示向量。

(2)求异面直线04与AE所成的角.

(3)判断平面。ME与平面Z8CE是否垂直，并说明理由.

第17题图

18.如图，在斜棱柱48C—481G中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所

成的角为60°，顶点Bi在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.

(1)求证：SiC±Ci/4；

(2)求二面角Gd&C的大小.

19.如图所示，在三棱锥尸-48C中，PA=PB=PC,BC=2a/C=%48=V?w点尸到平面48C的距

禺为aa.

2

(1)求二面角尸-4C-8的大小；

(2)求点8到平面刃C的距离.

第19题图

立体几何练习参考答案

一、选择题

1.D设正三棱锥2Z8C中，各棱之间的夹角为a,棱与底面夹角为B,〃为点S到平面PQR的距

离,则VS-PQR=^S^PQR••H?•sina)•PS♦sinB，另一方面，记O到各平面的距离为d,

则有ys-PQR=yo-PQR+Vb-PRs+Vo-PQ尸fS^PQR•d+?S.PRS•d+fS^PQS•t/=—,•PQ,PR,sina

+y-PR•sina+y«y*PQ-PS，sina.故有PQ-PR-PS«sin3=d(PQ*PR+PR'PS+PQ•PS),

即」一+」一+」一=包2=常量.

PQPRPSd

2.B设正n棱锥的高为6,相邻两侧面所成二面角为©.当人一0时，正”棱锥的极限为正n边形,

这时相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角0一口.

当〃f8时，正"棱锥的极限为正〃棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正〃边形的内角，即

0—生工£.故选B.

n

3.B如图，易知四边形£FG〃为矩形，当P-底面△/BC的中心。时，矩形EFG4一矩形昂尸iG”.

S矩形砧G/Z=EFI.F\G=a•-^-a=^-a2.

即S寿彩£FG//f4.当P-8时，$,彩EFGL0°.

3

--S"，矽EFGHW[^—a~,+x.故选B.

4.C如图，•.•。_1/瓦0_1_4/,，4，平面4£：?

设a交平面/EF于点G,则/£GF是二面角aB的平面角，Z£GF=60°,ZEAF=\20°，且易

知当△48C的周长最小时，BREG,CWFG.

设点N关于平面a的对称点为4,点/关于平面B的对称点为连结T,分别交线段EG

、FG于点、B、C,则此时△Z8C的周长最短，记为/.由中位线定理及余弦定理得

l=2EF=2742+22-2x4x2cosl20°=4耳.

5.D因为A5CD是正四面体，故/C_L8Z),作EG〃/C交8c于G,连结GF,则a万NGEF,

^CG_AE_CF

GB~~EB~~FD'

，GF〃BD做GF±EG,S.Bx=/EFG,：,f（X）=aA+px=90°为常数.

6.C这两条直线在距。为上的平面上，分布在。在该平面上的射影的两侧.

5

7.A设正四棱锥各棱长均为1,则0=1,S=6,此时，正四棱锥的高公与，

AV=—Qh=^~,WQ=\,S=VT代入选择支，知A正确.

36

8.B考虑小8两点在球面上无限靠近但又不重合，及/、8两点应为直径的两端点时的情况.

点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选A,球的最长

弦就是直径，但球没有最短弦.

9.C若〃?〃/,则B内必有与加平行的直线；若加与/相交，则B内无直线与加平行.

二不一定存在直线与直线机平行，排除A、B.又B内一定存在与机在B内的射影垂直的直线，

由三垂线定理知，B内一定存在直线与加垂直，故选C.

IO.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力，该多面体是正方

体切割掉一个顶点，故有7个顶点.

二、填空题

U.旦;《本题通过等积找规律.

23

12.工"分析P点到4B、C距离相等，故P点在平面Z8C上的射影是三角形42c的外

2

心，故可由△N8C的已知条件求出△ZBC外接圆半径，进而求得P点到平面的距离，及外心

到直线8c的距离，从而最终解决问题.

解记尸点在平面/5C上的射影为0,则40、BO、CO分别是RLPB、PC在平面Z8C上的

射影

PA=PB=PC,：.OA=OB=OC,

为△/8C的外心.

在△A8C中，BC=792+152+9x15=21

由正弦定理，2R=一--,：.R=1^

sin120°

/点到平面ABC的距离为J142-（73）=7.

0点到直线8c的距离O0=J（7石）2+（Tj=yV3（。为8c边的中点）

,.•。尸_1_平面/8C,OD±BC,：.PD±BC.

；.尸至IJ8C的总巨离PD=j72+（£j!）=yV7.

13.3如图所示，作CE_L/。，连结ER易证£7口_/。,

则/CM为面ADF和面ACD所成二面角的平面角.设G为

C。的中点，同理NZG8为面/CO和面8co所成二面角的

平面角，由已知

设底面△€1£)尸的边长为2a,侧棱AD长为》在△£口中,

■Jb2-a2-2a

CE-b=AG-2a,所以CE=AG'2a

在△Z8C中，易求得18=2

由△CEFs△/G8得辿

CF

b

解得b=&a,因此h=2时，2a=3,...最远的两顶点间距离为3.

3

14.36正四面体ABCD的底部是正△88,假设离8c边最近的球有n个，则与底面△8CO相切

的球也有〃排，各排球的个数分别为小〃-1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+…+〃=如四

2

个.由于正四面体各面都是正三角形.因此，正四面体内必有〃层球，自上而下称为：第1层、第2

层、…第〃层，那么第〃-1层，第〃-2层，…第2层，第1层球的个数分别是：

1八〃(〃+1)1I(n-l)n

1+24-•+«=———->1+24—•+«-1=-———,

22

1+2=2211

22

.n(n+l)(n-l)n1x2

••-----------1-----------F,—I-------

222

即—〃(〃+1)5+2)=120.

6

即M所"。尸。,.加8,因此正四面体内共有8层小球，其底部所放球数为等=36(个).

三、解答题

15.分析在四面体力8CO的基础上，补上一个三棱锥B-MCD.

解如图，连结MC、MD,则

•・・/A/_L平面MOC,平面

**•VA-BCD=VA-MDC-VB-MDC=—S^MDC*(AM-BM)

=-S^MDC*AB

3

第题图解

设"到。的距离为x,则品MOT-A15

9

••1^A-BCD=—义—exb=—hex

326

,:x&MN=a,：・当x=a时,

即为人与/2的公垂线时，乙88最大，它的最大值为工Me.

6

点评xWMN,包含x=MN,也包含x<MN,垂线段小于斜线段.

16.解建立空间直角坐标系，使得。(0,0,0),/(a,0,0),83,〃,0),C(0,a,0),M(0,0,a),£(a,0,a).F

(0,a,a),

则由中点坐标公式得P(气,0,1),0(《,彳,0),

(1)所以丽=(-2,0,色)，而(色,-色,-a),而•=(-^-)X+0+—X(-a)=--a2,

22222224

I-I-..k-..-j-

且|可|=/。,质|=叵”,所以(^丽屈0=上空=-4=_叵.

22\PM}\FQ\叵a、®。2

22

故得两向量所成的角为150°;

(2)设"=(x,%z)是平面EF8的单位法向量，即间=1,"l平面EF8,所以"J.赤，且"J.前，

A

X-3

x2+y2+z2=1,A

v

又七户=(・％,0),BE=(O,-a,a)，即有＜-办+少=0,得其中的一个解是＜z-3一

ay—az=0,五

z=

3

(冬冬叫丽呜呜)

设所求距离为4则d=\PE•川=乎.；

(3)设右⑶田⑷)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,

则由丽=1*0,方,双=信-5。)，

x；+y；+z；=1,

母苦，叫

得-色X|+2z|=0,求得其中的一个e=

2121

aa

~x\~—y\~az\=oA.

、N乙

而A/F=(0,a,0),设所求距离为加，则m=\MF]-e\=\-平用多.

17.解(1)根据已知，可得四边形N8CE为平行四边形，所以。为8E中点.

OD}=AD^AO=AD]+AE)=AD]--^AB-^-AE.

(2)55^=—-JE=1x72xcos45°-—x2xV2cos45°-—(V2)2=-l.

)2=(力55ZE)2=

.♦•I西I普.

1

.•.cos<函，标>=空港=-=-五,

\OD,\.\AE\®xg3

2

所以。。|与AE所成角为arccosl.

3

(3)设/E的中点为"，则=/。|/E.

•.•函•瓦=福•AB--AE•~AB=\X2Xcos600—Xy[2X2cos450=0,

22

，MD]±AB.

MD[•AE=7D[•AE-yAE2=72cos450-yX(77)2=0,/.西V~AE.

所以MD\垂直于平面ABCE内两条相交直线,...〃。|_1_平面ABCE.

而。iA/平面所以平面4)iE_L平面48CE

18.(1)解法一连结8G、CO,r8iO_L平面力8C,COLAB,：.B\CX.AB,

又：在菱形BBiGC中，5iC±fiCi,

；.8iC_L平面/8Ci,：.B\CLC\A.

(2)作G0,平面N8C于。点，连接N。，

.♦.NGC。是侧棱与底面所成的角，即NCCQ=60°,

在△GC。中，C2=£CG=/O,C\Q=与CCI,

由8C,BxCi，O。平行且相等,XVCOLAB,：.QALAB,：.C\ALAB,

ZQACi是二面角C\-AB-C的平面角，

在△/℃中，C\Q=AQ,：.ZQACi=45°

解法二(1)以。为原点，OC所在直线为x轴，45所在直线为y轴，建立空间直角坐标系,

如图，

：BiO_L平面/8C,

；./8由。是侧棱与底面所成角，二/98。=60°.

设棱长为2d则OB\=6a,BO=a,又CO为正三角形的中线，.二CO后a.

则Z(0,a,0)£(0,・a,0),C(>/Ta,0,0),5i(0,0,V?a),Ci(VTa,a,6a).

B(=(6a,0,-6a),C[A=(-Ka,0,-4a).

22

B{C•CjA=-3a+0+3a=0,/.B\CJLC\A.

(2)在48中，|。]川=而。，1BC]|=|(a,2a,75-a)|=Vio-a,\AB\=2a,

•*•S^C\AB=4^

作G。，平面NBC于。点,则0(石的,0).

・・・S△顼尸石次，设二面角CT-AB-C的平面角为。，

则COS0=&J互

SbC、AB2

二面角G-/18-C的平面角为45°.

19.(1)解法一由条件知△N8C为直角三角形，ZBAC=90°,

；R1=P8=PC,..