高中数学4-4-3不同函数增长的差异（学案）

4.4.3不同函数增长的差异

【学习目标】

课程标准学科素养

L尝试将实际问题转化为函数模型.1.数学建模

2.了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异.2.数学运算

3.会根据函数的增长差异选择函数模型.3.直观想象

【自主学习】

一.函数模型

一般地，设自变量为X,函数为丹并用X表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运

用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题,

实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.

二.三种常见函数模型的增长差异

函数类型指数函数对数函数一元一次函数

解析式y=ax(a>\)y=log„x(a>l)y=kx(k>0)

单调性在(0,+8)上单调______

图象(随X的增大)逐渐与y轴平行逐渐与X轴平行直线逐渐上升

增长速度夕的增长速度越来越y的增长速度越来越

歹值逐渐增加

(随X的增大)

增长关系存在一个配，当x>xo时，aX>kx>\og,aX

思考：已知函数/(》)=2、，g(x)=2x,/2(X)=log2X.

(1)函数/(x),g(x),/?(x)随着X的增大，函数值有什么共同的变化趋势？

(2)函数外)，g(x),//(X)增长的速度有什么不同？

【经典例题】

题型一根据函数的图象规律分析函数模型的增长趋势

例1某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.

c

o\38《年）

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；

②前三年产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变.

其中说法正确的序号是.

【跟踪训练】1在2h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间，血液中的药物含量呈

线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量。随时间t

变化的图象是（）

题型二函数模型的增长差异

点拨：三种函数模型的增长规律：

1.对于取函数y=x",当x>0,〃>0时，丁=短才是增函数，当〃越大时，增长速度越快.

2.指数函数与对数函数的递增前提是又它们的图象关于歹=x对称，从而可知，当a越

大，、=优增长越快；当a越小，j，=logax增长越快，一般来说，av>log„x（x>0,a>l）.

3.指数函数与寐函数，当x>0,〃>0,a>l时，可能开始时有x">/，但因指数函数是爆炸型

函数，当X大于某一个确定值Xo后，就一定有々*>乂，

例2四个变量y”方，为，以随变量X变化的数据如下表：

X151015202530

226101226401626901

2321024327681.05X1063.36X1071.07X109

心2102030405060

歹424.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于X呈指数函数变化的变量是—.

【跟踪训练】2(1)下列函数中，增长速度最慢的是()

A.y=6vB.y=log6%C.y=x6D.y=6x

⑵有一组数据如下表：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()

B.v=logJ-?t2—1

A.v=log2/2C.v=—D.v=2t~2.

题型三函数模型的选取

点拨：不同函数模型的选取标准

1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.

2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.

3.对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.

4.寐函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.

例3某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程

中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行

处理，并准备实施.

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排

污设备损耗费为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：

(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪

种方案？通过计算加以说明；

⑵若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

【当堂达标】

1.（多选）已知函数%=一,必=2，,％=x,则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（）

A.随着x的逐渐增大，X增长速度越来越快于当

B.随着x的逐渐增大，力增长速度越来越快于为

C.当时，yj曾长速度一直快于X

D.当x«O,e）时，%增长速度有时快于月

2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势（）

A.一次函数B.累函数

C.对数函数D.指数函数

3.下列函数中随x的增长而增长最快的是（）

B.y=lnxC.y=x10D.y=2x

4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍，需经过y年，则

函数丁=/（x）的图象大致是（）

5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的

生意是.（填序号）

□y=10xl.05x；□y=20+x1-5；□y=30+lg（x-l）；口尸50.

6.某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为歹=Hog2（x+l）,设这种动物第1年有100只,

则到第7年它们发展到只.

【参考答案】

【自主学习】

(a>1)递增快慢

思考:(1)函数/(x),g(x),力⑴随着X的增大,函数值增大

(2)各函数增长的速度不同，其中/(x)=2、增长得最快，其次是g(x)=2x,最慢的是//(x)=log以.

【经典例题】

例1②③解析：由tC[0,3]的图象联想到幕函数y=xa(O<a<l).反映了C随时间的变化而逐

渐增长但速度越来越慢.由tw[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以

②③正确.

【跟踪训练】1B解析：注射时间为2h,(0,2)内呈直线上升，当>2时呈指数衰减.A在(0,2)

内不是直线上升.D中，>2时，为负数，无意义.C衰减部分不是指数变化.故选B.

例2/解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y”丁2,

”，以均是从2开始变化，变量川，丁2,”，川都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量

户的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量又关于x呈指数函数变化.

【跟踪训练】2(1)B解析：对数函数的增长速度越来越慢.选B.

(2)C解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B,增长速度越来越快，排除A和D,

选C.

例3解：设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y”选择方案二的利润为yz，由

题意知

yi=(50-25)x-2x0.5x-30000=24x-30000.

Y2=(50-25)X-14X0.5X=18X.

(1)当x=3000时，yi=42000,y2=54000,

,.,yi<y2,•,•应选择方案二处理污水.

(2)当