高考数学复习常用逻辑用语

第一章集合与简单逻辑

1.2常用逻辑用语

”命题探究曾

1.关于存在性命题与全称命题：一般考查命题的否定.

2.充要条件：高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰

富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题.命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线

面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定.

*真题归纳

题型一•命题的真假判断

1.（2017•新课标I）设有下面四个命题

pi：若复数z满足工£R,则2金口：

Z

P2:若复数Z满足z2gR,则z£R;

〃3：若复数Zl,Z2满足Z1Z2WR,则21=药；

P4：若复数z£R,则

其中的真命题为（）

A.pi,P3B.pi,〃4C.P2,P3D."2，〃4

【答案】B.

【解析】解：若复数Z满足工CR,则z£R,故命题pi为真命题；

Z

P2：复数z=i满足z?=-1WR,则z£R,故命题P2为假命题；

P3：若复数zi=i,Z2=2i满足ZIZ2WR，但ZIH药，故命题P3为假命题；

P4：若复数ZER,则，=z£R,故命题P4为真命题.

故选：B.

2.（2016•新课标II）a,。是两个平面，加，〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果加_1_〃，机_La,〃〃仇那么a_Lp.

②如果m_La,n//a,那么加

③如果a〃0,机ua,那么《7〃仇

④如果加〃“，a〃|J,那么m与a所成的角和〃与0所成的角相等.

其中正确的命题是②③④（填序号）

【答案】②③④

【解析】解：①如果m_La,〃〃,不能得出a，。，故错误；

②如果〃〃a,则存在直线/ua,使，?〃/,由，w-La,可得那么故正确；

③如果a〃p,〃?ua,那么AW与。无公共点，则m〃p.故正确

④如果，“〃〃，a//p,那么〃?，〃与a所成的角和〃i,〃与p所成的角均相等.故正确;

故答案为：②③④

题型二•命题的否定

1.（2016•浙江）命题“VxGR,力PN*,使得〃*”的否定形式是（）

A.VA-GR,m〃GN*,使得B.VxGR,VnGN*,使得〃

C.HxeR,3nSN*.使得D.3xSR,VnEN*.使得〃</

【答案】D.

【解析】解：“VxCR,3nGN*,使得"寸”的否定形式是FxGR,VnSN*.使得〃</”

故选：D.

2.（2015•新课标I）设命题p：3/?eN,n2>2",则-'p为（）

A.VnGN,M2>2"B.劫GN,«2<2nC.V〃dN,n2<2«D.最GN,n2^2n

【答案】C.

【解析】解：命题的否定是：V/?eN,n2<2",

故选：C.

题型三.充分必要条件

1.（2021•天津）已知aGR,则“a>6”是、2>36”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A.

【解析】解：①：a>6,.•./>36,...充分性成立,

②•.,/>36,；.4>6或“V-6,...必要性不成立，

.,.a>6是a2>36的充分不必要条件，

故选：A.

2.(2019•浙江)若“>0,b>0,贝！|"a+匕*''是七区4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A.

【解析】解：Va>0,〃>0,：.4>a+h>2Vab，

2>>［ab,ab<4,即a+b<4=>ab<4,

若。=4,6=*，贝iJ〃b=lW4,

1

但a+b—4+-^>4,

即ab<A推不出a+b<4,

a+b<4是ab<4的充分不必要条件

故选：A.

3.(2021•北京)设函数f(x)的定义域为［0,1］,贝IJ“函数f(的在［0,1］上单调递增''是"函数f(x)在［0,

1］上的最大值为/(1)”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A.

【解析】解：若函数f(x)在［0,I］上单调递增，

则函数f(x)在［0,1］上的最大值为/(I),

若/(x)=(x-1)2,则函数f(x)在［0,1］上的最大值为了⑴，

但函数/(x)在［0,1］上不单调，

故选：A.

4.(2019•北京)设函数=cosx+bsiiu(b为常数),则*=0"是'了(x)为偶函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C.

【解析】解：设函数f(x)=cosx+〃sinx1为常数)，

则“八。0"/*)为偶函数”，丁(x)为偶函数"=*=0"，

函数/(X)=cosx+加iiv"为常数)，

则“=0”是，了(%)为偶函数”的充分必要条件.

故选：C.

5.(2021•浙江)已知非零向量；，b,c,则=%•+是吗=获的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】解：当Q1展且bl",则3・六=b•c=0,但［与b不一定相等，

故a•b=b•"不能推出之=b,

则％t是％=+的不充分条件；

,T—,T—T

由。=b,可得Q—b=0,

则(Q-/?)-c=0,即a-b=b-cf

所以Q=b可以推出Q•b=bc,

故"Q・C=b・c”是“a=b”的必要条件.

综上所述，ua*c=b•不是％=b”的必要不充分条件.

故选：B.

6.(2019•北京)设点A,B,6不共线,则“法与后的夹角为锐角”是“|成+品|>|品厂的()

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C.

【解析】解：点A,B,C不共线，

222

BC=AC-AB,：.BC=AC+AB-2AC-ABf

T2f2T2

当n与A的夹角为锐角时，AC-AB=AC+A^~BCX),

：.（iAB与扇的夹角为锐角"n斗市+AC\>\BC\',,

li\AB+后与正的夹角为锐角”,

设点4,B,C不共线，则“几与成的夹角为锐角”是“向+启>|而厂的充分必要条件.

故选：C.

7.（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线I,m,n.则m,〃共面"是in,〃两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】解：空间中不过同一点的三条直线/“，n,I,若mn,/在同一平面，则n,/相交或/“，n,

/有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行.

而若“〃?，n,/两两相交”,则“加，”，/在同一平面”成立.

故"?，”，/在同一平面”是"明,小/两两相交”的必要不充分条件，

故选:B.

8.（2018•浙江）已知平面a,直线施，”满足和ta,〃ua,则是"》t〃a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A.

【解析】解：，唇a,，丘a,

是""?〃a"的充分不必要条件.

故选：A.

9.（2016•天津）设｛〃”｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则七<0”是“对任意的正整数〃，如一1+〃2"<0”

的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C.

【解析】解：是首项为正数的等比数列，公比为q,

若"q<0”是"对任意的正整数n,“2”—1+42"<0"不一定成立，

111111

例如：当首项为2,q=时，各项为2,-1,-i,止匕时2+（-1）=1>0,-+（一力=>0；

而“对任意的正整数，7,前提是％<0”,

则“4<0”是“对任意的正整数n,“2"1+。2”<0”的必要而不充分条件，

故选：C.

10.（2021•甲卷）等比数列｛〃”｝的公比为q,前〃项和为S”.设甲：q>0,乙：｛5｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B.

【解析】解：若“1=7,q=1>则5"=M=-",则｛%｝是递减数列，不满足充分性;

••3尸言（1-八

则a+1=言（1-g"+l）,

1,.S„+i-S,,=言（/一q'*）=mq"，

若｛%｝是递增数列，

•**Sn+l~S”=aId'>0,

则ai>0,q>0,

满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：B.

题型四.逻辑推理问题

1.（2019•新课标H）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下:

甲：甲>乙.

乙：内>乙且丙>甲.

内：丙〉乙.

•.•只有一个人预测正确，

...分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确.

如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意.

如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，

则有丙〉乙，乙〉甲，

•乙预测不正确，而内〉乙正确，

.•.只有丙〉甲不正确，

二.甲〉丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.

不符合题意.

...只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，

甲>乙，乙>丙.

故选：A.

单选题（共6小题）

1.已知命题p：3«eN,2«>n2-1,则为（）

A.2〃=/一1B.3neN,-1

2

C.2ri>r^-1D.W几WN,2n<n-1

【答案】D.

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：2n>rr-1,则一1P为：V〃仁N,2n

故选：D.

2.已知命题“MCR,使4/+（。-2）乂+/£0”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.（-8,0）B.[0,41C.[4,+oo）D.（0,4）

【答案】D.

【解析】解：因为命题FxCR,使4/+（。-2口+]30"是假命题，

所以命题“VxWR,使4/+（a-2）x+今＞0”是真命题，

即判别式2\=（a-2）2-4x4x*V0,解得0＜«＜4,

所以实数〃的取值范围是（0,4）.

故选：D.

3.在ZiABC中，“A=60°”是“cos4=：”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C.

【解析】解：在MBC中，若“cos4=*”成立，则有“4=60。成立：

反之在NBC中，若％=60。成立则有“cosA=（成立，

所以，“A=60。”是“cosA=*”的充要条件.

故选：C.

4.已知■为非零向量，则%工＞0”是靖与7的夹角为锐角”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】解：：与「都是非零向量，则“向量；与,夹角为锐角反之不成立，可能同向共线.

因此G）＞0”是“向量:与％夹角为锐角”的必要不充分条件.

故选:B.

5.设/,〃?为两条不同的直线，a为一个平面，相〃a,则7J_a"是'7_1_加'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A.

【解析】W-：,：m//a,则“/_La”时,“/_LW成立,

时，I与a可能平行也可能相交,

故“La”是“U"?”的充分不必要条件

故选：A.

6.设xWR,若“log2(x-1)<1”是“x>2”2-1”的充分不必要条件，则实数机的取值范围是()

A.[-V2,V2]B.(-1,1)C.(-V2,V2)D.[-1,1J

【答案】D.

【解析】解：由k>g2(x-1)<1得0<x-1V2,即l〈x<3,

若“log2(x-1)<1”是r>2病-1”的充分不必要条件，

贝I」(1,3)9(02胆2-1,+8),

即27M2-1<1,得nr<\,得-

即实数，〃的取值范围是l-l,1],

故选：D.

二.多选题(共1小题)

7.下列说法正确的是()

A.命题p：Vx,yG(0,1),x+y<2,则-'p：mxo,y