高考数学复习16立体几何经典题型精练

微专题16立体几何经典题型精练

典型例题

例1.(2022•全国•高三专题练习)如图所示，三棱柱ABC-A4G中，所有棱长均为2,

ABAC=ZBAA,=ZC44,=60°,p,。分别在A8,AC上（不包括两端），AP=A.Q.

B

(1)求证：「。//平面3。£4；

(2)设与平面ABC所成角为夕，求sin。的取值范围.

例2.(2022•全国•高三专题练习)如图，在直三棱柱ABC—A4G中，AC±fiC,AC=8C=A4,,。为A4

的中点，G为⑨的中点,E为G。的中点，3尸=3AF,点P为线段3G上的动点(不包括线段BJ的端点).

(1)若EPH平面CFG,请确定点P的位置；

(2)求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值.

例3.(2022•辽宁•大连市一。三中学高三开学考试)如图，在四棱锥尸-ABC。中，BC=2,ADIIBC,E

为棱力的中点，BE//平面PCD.

1

p

(1)求4。的长；

(2)若PB=AB=BC=C：BE，平面PAB1•平面P8C,求二面角B-PC-O的大小的取值范围.

例4.(2022・全国•高三专题练习)如图，三棱柱ABC-A耳G的底面是边长为4的正三角形，侧面ACGA，

底面ABC,且侧面ACGA为菱形，/AAC=60.

(1)求二面角\-AB-C所成角0的正弦值.

(2)KN分别是棱AG，8c的中点，又2AP=B户.求经过M,N,P三点的平面截三棱柱ABC-AgG的

截面的周长.

2

过关测试

1.(2022•全国•高三专题练习)已知正方体

(1)若正方体的棱长为1,求点A到平面ARD的距离；

(2)在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达

到的空间的体积；

(3)在空间里，是否存在一个正方体，它的定点A、B、a。、A、4、G、R到某个平面的距离恰好为0、I、

2,3、4、5、6、7,若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由.

2.(2022•山东烟台•一模)如图，在四棱锥VT8CZ)中，底面N8CZ)为矩形，AB=2BC=4,E为CD的

中点，且△KBC为等边三角形.

(1)若夕求证：AE±VE；

(2)若二面角N—8C—忆的大小为30,求直线力忆与平面所成角的正弦值.

3.(2022•陕西•一模(理))如图，已知直三棱柱A8C-A4G，。，M,N分别为线段BC,网的

中点，P为线段AG上的动点，M=16,AC=8.

(1)若AO=gBC,试证GN1CM；

(2)在(1)的条件下，当AB=6时，试确定动点P的位置，使线段与平面88CC所成角的正弦值最大.

3

4.(2022•安徽•芜湖一中一模(理))如图所示，已知矩形438和矩形AOE尸所在的平面互相垂直,

AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线8£),AE上异于端点的动点，且8W=4V.

(1)求证：直线MN//平面CDE；

(2)当的长最小时，求二面角A-MN-。的余弦值.

5.(2022•天津•一模)如图，在四棱锥中，底面A8CD为直角梯形，其中AO〃BC,AD=3,

AB=BC=2,丛_L平面ABC。，且尸4=3,点M在棱PD上，点N为8c中点.

⑴证明：若DM=2MP,直线MN〃平面RW；

(2)求二面角C-PD-N的正弦值；

(3)是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为半？若存在求出老■值；若不存在，说明理由.

6.(2022•全国•高三专题练习)如图，四棱锥P—的底面/2CD是边长为2的正方形，PA=PB=3.

(1)证明：NPAD=NPBC；

(2)当直线PA与平面PC。所成角的正弦值最大时，求此时二面角尸一8—C的大小.

4

7.(2022•贵州贵阳•高三期末(理))如图，在四棱锥P-43C。中，底面ABCD是矩形，24,平面

ABCD,AFLPB,尸为垂足.

(1)当点E在线段BC上移动时，判断AEF是否为直角三角形，并说明理由；

(2)若「4=A8=2,EF〃PC,且PB与平面PAE所成角为30,求二面角C-PE-O的大小.

8.(2022•全国•高三专题练习)如图，四边形中，NAOC=],AD=2CZ)=4,AE=EC,沿对角线

/C将△/CD翻折成△AC。，使得BE_LC。'.

(1)证明：BD'=BC；

(2)若为等边三角形，求二面角。'-A8-C的余弦值.

5

9.（2022•江苏泰州•高三期末）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=2,PB=BC=4,PA=PC=AC=2y/3.

⑴平面/MCJ•平面ABC；

(2)点。是棱BC上一点，比＞=43C，且二面角B-PA—。与二面角C-P4-O的大小相等，求实数2的值.

10.(2022•江苏扬州•高三期末)如图，在三棱台N8C—/山Q中，底面△48C是等腰三角形，且8c=8,

AB=AC=5,。为8c的中点.侧面8CG8/为等腰梯形，且以。=。。=4,〃为8/G中点.

(1)证明：平面/8C_L平面ZOM；

(2)记二面角/—8C—8/的大小为仇当始吟，自时，求直线岫平面/4C/C所成角的正弦的最大值.

11.(2022•辽宁营口•高三期末)在三棱柱ABC-44G中，侧面的C。和侧面44由8是都是边长为2的菱

形，。是中点，BC=0ZGL4,=ZBM=60O

6

(I)求证：平面BCD；

(2)求二面角B-AC-A，的余弦值.

12.(2022•全国•高三专题练习(理))如图，四棱锥S-A8C。的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长

的五倍，P为侧棱上的点.

(1)求证：AC1SD；

(2)若SDJ.平面P4C,求二面角P-AC-S的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点£,使得BE〃平面B4C?若存在，求SC:SE的值；若不存

在，试说明理由.

13.(2022•浙江•高三专题练习)如图，4后_1平面4次》,。///424£>〃比1,

ADA.AB,AB=AD=\,AE^BC^2.

⑴求证：OE〃平面8C尸;

7

(2)若二面角E-8D-F的余弦值为求直线尸3与平面ABCD所成角的正切值.

14.(2022•全国•高三专题练习(理))如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2值，E、F分别为PB、PD

的中点，平面AE厂与棱PC的交点为G.

(1)求异面直线AE与尸尸所成角的大小；

(2)求平面AEGF与平面ABC。所成锐二面角的大小;

(3)求点G的位置.

15.(2022•山西运城•高三期末(理))在①AE=2,②ACJ.8D,@ZEAB=ZEBA,这三个条件中选择一

个，补充在下面问题中，并给出解答

如图，在五面体ABCQE中，已知,ACLBC,ED//AC,且AC=BC=2E£>=2,DC=DB=C.

(1)求证：平面ABEJ_与平面ABC；

8

(2)线段BC上是否存在一点尸，使得平面AM与平面ABE夹角的余弦值等于也，若存在，求黑的值;

43BC

若不存在，说明理由.

16.(2022•全国•高三专题练习)如图，四棱锥中，△PAB是等边三角形，底面A8CD是直角梯

形，AB//CD,ABLAD,AB=BC=2,ZABC=,F,G分别是PC,A。的中点.

⑴求证：FG〃平面PAB；

(2)若PC=3,求直线FG与平面PBC所成角的正弦值.

17.(2022・全国•高三专题练习)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，AABD为

底面圆。的内接正三角形，且边长为石,E在母线PC上，且AE="CE=1,EC，BD.

⑴求证：平面阴%)J_平面AB£＞；

(2)设线段PO上动点为M,求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值.

18.(2022•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PADJ_底面ABCD,

E,尸分别为PA8。中点，PA=PD=AD=2.

9

(1)求证：EF〃平面PBC；

(2)求二面角£一。尸—A的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在一点G,使G/_L平面切产？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.

10

微专题16立体几何经典题型精练

典型例题

例1.(2022・全国•高三专题练习)如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2,

ABAC=ABAA,=ZCAA,=60°,p,。分别在AB,AG上(不包括两端)，AP=\Q.

(1)求证：尸。〃平面BCGM；

(2)设P。与平面ABC所成角为凡求sin。的取值范围.

【解析】

(1)作PD//AC,交BC于点。，设＞Q=AP=fe(O,2),则BP=2T,

"D"：哭嗯,即等号一日2"

PD//QQSLPD=QC\,连接DC,,

所以四边形GQPD为平行四边形，.•.PQ〃CQ,

,/PQ(Z平面BCCM,且G。u平面8CC圈，

二PQ"平面

(2)取AC中点M,连接AM、BM、\B,

1

VAM=^AC=],M=2,"AM=60。，

根据余弦定理得：A.M1=+AM1-2AA,-AM-cos60o=4+l-2x2xlx1=3,

AM=6,则4例J_AC,

ABC是等边三角形，ABMLAC,

'：\MryBM=M,；.AC,平面ABM,ACu平面ABC

平面ABC_L平面48M,

在△ABM中，AM=BM=K,AB=2,

作交BM于点H,因为平面A3。平面43M=BM,

所以A”，平面ABC,

如“=誓=历=叵卢，3呼，

•；AQ〃平面ABC,所以点Q到平面ABC距离〃=A"=哈，

QP=Q\+AA+AP,

QP'=(Q\+\A+AP^

2

=t+4+r+2QA]-AiA+2AiA-AP+2QAi-AP

+2xfxfx

=尸+4,

；•QP=4+4.

2V2

.八环20

sin0=二一=——==

J-+4百•5/产+4

Vre(0,2),.•.〃+4e(2,+2@,

2

例2.（2022•全国•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—A4G中，AC±BC,AC=BC=AA,,。为4心

的中点，G为例的中点，E为G。的中点，8F=3AF，点P为线段BQ上的动点（不包括线段BQ的端点）.

D\

（1）若EPH平面CrG,请确定点P的位置；

（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值.

【解析】

如图，连接叨，

BBX=2AG,BQ=2AF,：.Rt^FAG^Rt^DB.B,

NBDB、=ZAFG,

,/.ZBDB、=NABD,

ZAFG=ZABD.：.GFUBD,

「GFu平面CPG,平面CFG,80〃平面CFG,

若EP〃平面CFG,又由EP,8。＜=平面8。和，

平面CFG与平面8CQ相交，必有EP//BD,

又；。£=比；，.・.尸为86；的中点；

（2）因为AC,BC,CR两两垂直，

我们可以以C为坐标原点，向量0，CB，CC方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐

3

标系，

不妨设AC=4,可得各点坐标如下：

C(0,0,0),A(4,0,0),8(0,4,0),C,(0,0,4),G(4,0,2),尸(3,1,0).

设BP=ABC1(0<2<l),有BP=4(0,-4,4)=(0,-42,44),

又由CP=C8+8P，有CP=(0,4,0)+(0,-4%4/1)=(0,4-42,42),

设平面CFG的法向量为，〃=(x,y,z),

m-CF=3x+y=0

由C尸=(3,1,0),CG=(4,0,2),有

m-CG=4x+2z=0

取x=l,y=-3,z=-2＞可得平面CPG的一个法向量为，〃=(1,-3,-2),

设直线CP与平面CFG所成的角为6,

由CP•机=-3(4-4X)-84=42-12,

|CP|=^(4-42)2+16/12=4,2万-2/1+1,时=加，

京inoJbT|<3],

'|CP|-|/M|Vi4x4V222-2x+l旧x，2万-22+1'

设”=3+'(-3<'<-2)‘有、由二收」；.2(,+3*'

.kii

sin0n=————/=■=-------.=

V14xj2/+10f+13历*F+：+2'

由二次函数的性质可知，当1=-整时，f=W，

t265

]Q?_________।__________V182

4=3-■=£时，sin。的最大值为r—/4xl3x2-10014

55VUxJ------------------

V4x13

例3.(2022•辽宁♦大连市一0三中学高三开学考试)如图，在四棱锥尸-ABCD中，BC=2,AD//BC,E

为棱以的中点，BE//平面PCD.

4

p

(1)求的长；

(2)若PB=AB=BC=OBE，平面PABL平面P8C,求二面角5-PC-D的大小的取值范围.

【解析】

(1)如图所示：

过E作EM//AO,交PD于点M,连接CM,

因为8E//平面尸CO.8£u平面BCME,

平面PCD平面BCME=MC,

所以BE〃MC,

又因为EM"AD,AD"BC,

所以,

所以四边形8cMe是平行四边形，

所以3c=EM,又因为EM=JAD,

所以A£)=28C=4.

(2)因为PB=AB=BC=6BE，E为棱阳的中点，

所以且/ABE=%,

4

所以AB_L3P,又因为平面平面尸8C,平面尸ABc平面P8C=8P,

所以A3L平面P8C,

又因为BCu平面P8C,

所以A8_L8C,

5

则以点8为原点，分别以84,8c所在直线为x,y轴，以经过点8且垂直与平面/8CD的直线为z轴建立

空间直角坐标系，如图所示：

则C(0,2,0),D(2,4,0),CD=(2,2,0),由题意设P(O,a,b),a2+b2=4,as(-2,2),6w0,

则CP=(O,a-2,b),设平面CDP的一个法向量为质=(x,y,z),

CDm=O[2x+2y=0

则，即(in，

CPm=O(a-2)y+te=0

令y=b,得z=2-a,x=-b,则m=（_/?也2_“）,

易知平面8c尸的一个法向量为3=（1,0,0）,

4-/

plljlcos/w,n\l=।-]

刈\；|H-H依+(2-a2-4a+12

因为“€(-2,2),

所以卜。5

7T37r

所以二面角8-PC-。的大小的取值范围是

例4.（2022・全国•高三专题练习）如图，三棱柱ABC-AAG的底面是边长为4的正三角形，侧面ACG4,

底面ABC,且侧面ACGA为菱形，ZAAC=60.

（1）求二面角A-A8-C所成角，的正弦值.

（2）M,N分别是棱AG，4G的中点，又2Ap=8尸.求经过M,MP三点的平面截三棱柱A8C-A耳G的截

6

面的周长.

【解析】

(1)。为AC的中点，连接。A，侧面ACGA为菱形，ZAAC=60。，

.•.△447为正三角形，，4。，4<^,

侧面ACC|A，底面ABC,侧面ACGA底面ABC=AC,A|Ou侧面ACC|A，

A。，底面ABC,

底面ABC为正三角形，。为AC的中点，二80,AC,

以。为坐标原点，分别以0B，0C，04的方向为x轴，》轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系.

底面ABC是边长为4的正三角形，

.•.0(0,0,0),A(0,-2,0),8(2百,0,0),C(0,2,0),4(0,0,2折，

AB=(2百,2,0),/L4,=(。，2,2扬，BC=(-2百,2,0),

设平面AA3的一个法向量为n=。,y,z),

n-AB=02岳+2y=0x=l

由得《r-'令y=-上,得

=0[2y+2任=0Z=1

・,・与=(1,-31),

又易知。4=(0,0,26)为平面ABC的一个法向量.

cos0=|cos〈OA，〃〉卜

网同2V3XV555

所以二面角A-AB-c所成角e的正弦值为管.

(2)连接MN,MA,NB,M,N分别是棱AG，4c的中点，二,

又因为4g//AB,.•.MN//A5,.・.经过M,N,尸三点的平面截三棱柱A3C-4耳G的截面即为平面MNB4,

其中MN=gA耳=g48=2,AB=4,在^AA.M中,因为三棱柱ABC-4旦6的底面是边长为4的正三角形，

7

侧面ACGA为菱形，幺AC=60。，

22

由余弦定理得AM=yl(AAt)+(AtM)-2AAtxAtMxcos120°=2近,

取AB的中点b,连接M”，.•.四边形仞NBH为平行四边形，=BN,

又因为侧面4CCA为菱形，-LCA，△CAC为两个全等的等边三角形，

连接用C,8二例(：_144，又因为40〃4。，，吹_14。，

又因为侧面ACGAJ•底面ABC,且侧面AC£A底面ABC=AC,.•.MCL平面ABC,

又。7勺平面4861,.,.知(7_1〃(;，

又因为，MC=2瓜CH=2+,AMH=«MCy+(CH，=,12+12=2C,

即BN=MH=2",所以截面的周长为：/=6+2(6+77).

过关测试

1.(2022•全国•高三专题练习)已知正方体ABCD-A4G0.

(1)若正方体的棱长为1,求点A到平面A3。的距离：

(2)在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达

到的空间的体积；

(3)在空间里，是否存在一个正方体，它的定点A、B、C、D、4、B,C「。到某个平面的距离恰好为0、1、

2、3、4、5、6、7,若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由.

【答案】(1)理

8

(2)104——")

(3)存在，棱长为

【解析】

【分析】

(1)利用等体法：匕-W=匕一曲即可求解.

(2)求出小球在正方体的8个顶点以及12条棱处不能到达的空间，利用球的体积公式以及柱体体积公式即

可求解.

(3)设平面a为符合题意的平面，夕过点C,延长分别交平面a于点及F,G,由题意可得

G£:3G:87：Z)C:R£:AG：A尸=123:4:5:6:7,设正方体的棱长为4〃，根据分一四=@£＞，求出点C1

到平面a的距离，进而得出正方体的棱长.

(1)

正方体的棱长为1,设点A到平面AB。的距离为加，

由匕-A/D=^At-ABD，

则§SABD.%=]SABD,AA,,

EP—X—X5/2XV2X=—X—xlxlx1,

32232

解得〃邛.

(2)

在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，

小球不能到达的空间为：8厂中争1讣8-午，

除此之外，以正方体的棱为一条棱的12个1x1x8的正四棱柱空间内，

小球不能到达的空间共12Ixlx8-l(^xl2)x8=96-241，

其它空间小球均能到达，

故小球不能到达的空间体积为：8-：4乃+96-24/=1047-611(5？)

(3)

设平面。为符合题意的平面，a过点C,

延长D£，AB"B分别交平面a于点E,RG,

由图可知，点C，G，8,81,£),£)|，A，A

与平面a的距离分别应为0、1、2、3、4、5、6、7,

因为〃瓦4尸，。仁46互相平行，所以它们与平面。所成角相等，

9

故由比例关系得GE：8G:4/：。C：2E:AG:4尸=1:2:3:4:5:6:7.

设正方体的棱长为4a,则C、E=a,BG=2a,B、F=3a,

用几何方法可解得£尸=26〃，EC=y/ila,CF=y/^a,

故S=2V2T6Z2,

由CG，平面AgCQj知CG为四面体C-EG尸的底面EG尸上的高,

所以由^Cy-ECF=%-£C|F，算得点G到平面a的距离，

,SECFJCC][2a2,4ci4V2T

Cl=----------=--]—c=----Q,

SECF2同？21

实际上已知d=l,所以生旦〃=1,从而可得。=叵，

214

所以正方体的棱长为4〃=夜T，由图可知，该正方体存在.

2.(2022•山东烟台•一模)如图，在四棱锥MT8C。中，底面488为矩形，AB=2BC=4,E为CQ的

中点，且△"(?为等边三角形.

(1)^VBLAE,求证：AE±VE-

(2)若二面角N—8C—V的大小为30,求直线“产与平面-8所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】

(1)先证明线面垂直，再证明线线垂直即可；

(2)建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线工厂与平面河⑦所成角的正弦值.

(1)

因为E为8的中点，所以AO=DE=2,所以△ZOE为等腰直角三角形，

10

所以ZAED=45.同理，NBEC=45°.所以

又因为且VBcBE=B,VBu面"E,BEu面PBE,

所以1后,面VBE.

因为V£u面gE,所以

⑵

取8c中点。，NO中点G、连接。G,VO,则OGLBC.

又△〃C为等边三角形，所以9J_8C,

所以NGOU为二面角/一8。一修的平面角.所以NGOV=30

以08，G。方向分别作为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系。一平.

(3

于是4(1,—4,0),C(—1,0,0),D(—1,—4,0),V05——,

3⑸,AV=(-1,-,—

0c=(0,4,0),CV=

‘一"[22J

令〃=（x,y,z）为平面-CZ）的一个法向量,

4y=0

n-DC=0

则,即nn＜3y/3，令z=2,得〃=(一百,0,2).

n-CV=0X-----VH-------Z=0

22

设直线/厂与平面-C。所成的角为c,则

|AV."|2G夜

sina二卜os(AV,n

|AV|.|/?|"V7X^/8"IT'

故直线与平面-CD所成角的正弦值为叵.

14

3.（2022•陕西•一模（理））如图，已知直三棱柱A5C-ABC，0,M,N分别为线段8C,4A，BB1的

中点，P为线段AG上的动点，M=16,AC=8.

11

A

(1)若A0=；8C,试证GN1CM；

(2)在(1)的条件下，当AB=6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面88CC所成角的正弦值最大.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)P为AG的中点时，sin0取得最大值:

【解析】

【分析】

(1)先证A3,平面ACC0,得AB_LCM,结合已知条件得出CM_LMN,根据八勘〃：三△AMg及

勾股定理的逆定理，得出CM_LGM,进而得出CM,平面GMN,即证GNJ.CM.

(2)建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，

在利用二次函数的性质即可求解该问题.

(1)

在A3C中，

•••。为BC中点且AO=；BC,

AB1.AC.

,/平面48c1平面ACG4交线为AC,

：.A8，平面ACC；A..".AB1CM.

'：M,N分别为憾，8月的中点，

MN//AB.

：.CMLMN.

在直角AMC和直角△MAG中，

VAM=A,M=S,AC=AG=8,

：./\AMC=/\\MCx,

：.CM=GM=J64+64=8及，

222

/.CM+CtM=128+128=16=CC；,

12

/.CM1C}M,MN\}C,M=M,

平面CMN,GNu平面GAW,

/.CM1C.N.

⑵

AA,_L平面ABC,由（1）得A3,AC,4A三线两两垂直，以A为原点,

以AB,AC,AA为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图，

则A（0,0,0）,8（6,0,0）,C（0,8,0）,C,（0,8,16）,M（0,0,8）,B,（6,0,16）,

ABC=（-6,8,0）,BBt=（0,0,16）,

设平面B8CC的一个法向量为"=（x，），z）,

-6%+8y=0

16z=

令x=4得y=3,〃=（4,3,0）,

设P（x,y,z）,AP=mAC］（<0<m<l）,则（x,y,z）=/n（0,8,16）,

/.P（0,8m,16w）,MP=（0,8/n,16m-8）,

设直线MP与平面BB℃所成的角为e,

ri•八24胴3m

则Sin6=-j—n--r=/^=~=—/.

5小64〉+（16加-8）25m2-4m+1

若〃2=0,sin，=0此时点P与A重合，

i.333

若…'令'=日训，则n="不

当f=2,即〃?=；,P为AG的中点时，Sin。取得最大值|.

4.（2022•安徽•芜湖一中一模（理））如图所示，已知矩形ABC。和矩形AOEF所在的平面互相垂直,

AD=2AF^2AB=2,M,N分别是对角线3Z）,A£上异于端点的动点，且=

13

E-E

^7D

(1)求证：直线MN〃平面CDE；

(2)当MN的长最小时，求二面角4-MV-。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)--

9

【解析】

【分析】

(1)利用线面平行的判定定理即可证得；

(2)建立空间直角坐标系，利用两点之间距离公式求出MN的长最小时，各点的坐标，再利用空间向量求

面面角，即可得解.

(1)

过N作NN，"AD与ED交于N'点、,过M作W//AD与8交于“点，连接UN'.

由8M=AN,易知NN'=MM：

又NN'11ADIIMM\则四边形MNN'M'为平行四边形，

所以MNUN'M'

•：MN<t平面CDE,M'N'u平面CDE,

⑵

由平面平面AOE/L平面ABC。平面ADM=AD,

又AFu平面ADEF,AF1AD,AF±¥ffiABC£>.

以A为原点，分别以AB,AD,AF为%,%z轴建立空间直角坐标系，

过/点作MG,AD,垂足为G,连接NG,易知NG_LAD,设4G=a(0<a<2)

14

E

可得何，\MN\=

可知当。=1时，MN长最小值为也.

2

此时呢,1,0),N(0,lij,又4(0,0,0),£>(0,2,0),

2

MN=,DM=(-p-l,0

设平面/MN的法向量为m=（X|，M，ZJ,

m-AM=0一5玉+,=0

由，可得《।，令演=2,可得m=(2,-l,2)

mMN=G

---X.H---Zi=0

I2121

设平面MND的法向量为"=（々，必,z2）,

|x2-y2=0

几DM=0…

由，可得；,令12=2,可得"=(2,1,2)

nMN=0

_产+/=0

乙N

m-n7

.・.cos(m,n)=-=

rrFT99

7

易知二面角A-MN-O为钝二面角，则二面角4-削-£＞的余弦值为-工.

5.（2022•天津•一模）如图，在四棱锥P-A8CE）中，底面A8CZ）为直角梯形，其中AO〃8C,AD=3,

AB=BC=2,P4_L平面438,且尸A=3,点〃在棱尸。上，点N为BC中点.

15

⑴证明：若DM=2MP,直线MN〃平面PA8；

(2)求二面角C—PD—N的正弦值；

(3)是否存在点"，使M0与平面PC。所成角的正弦值为正？若存在求出现值；若不存在，说明理由.

6PD

【答案】(1)证明见解析

喈

⑶存在，器裳或器=1

【解析】

【分析】

(1)利用面面平行证明线面平行；

(2)利用坐标法求二面角余弦值与正弦值；

(3)设PM=2PD，可表示点"与MN，再根据线面夹角求得义的值.

如图所示，在线段AD上取一点2,使4Q=gA。，连接MQ,NQ,

DM=2MP,

:.QM//AP,

又AD=3,AB=BC=2,

：AQ吵,四边形48NQ为平行四边形，

NQ//AB,

16

又NQMQ=Q,AB\AP=A,

所以平面MNQ〃平面"8,

.MNu平面MNQ,

MN〃平面PAB：

如图所示，以点A为坐标原点，以A8为x轴，AO为丫轴，AP为z轴建立空间直角坐标系,

则8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,3,0),尸(0,0,3),

又N是8C中点，则N(2,l,0),

所以PZ)=(O,3,-3),CD=(-2,1,0),ON=(2,-2,0),

设平面PCD的法向量用=(3,y,%),

则［普3令…则”0,2,2),

CD-4=-2玉+y=0

设平面PM)的法向量对工吃,为〜)，

PD-=3v,-3z,=0人.e/…

则［。M〃；=2；「2%=。’令则〃2=0」」），

1+2+25立

所以COS〈4，〃2)=

2229-

71+2+2-VP+1

则二面角C-PO-N的正弦值为_V6.

一9’

(3)

存在，也=1或生=】

PD3PD

假设存在点"，设P制M=义，即尸加

="O，

由(2)得。(0,3,0),H(0,0,3),N(2,l,0),且平面PCD的法向量％=0,2,2),

17

则PZ)=(O,3,-3),PM=(0,32,-32),

则M(0,32,3-3/1),

W=(2,1-32,32-3),

)

sine=kos(MN,"]'=2+2(1-34)+2(34-3

>/12+22+22-^22+(1-32)2+(32-3)2一6

解得2=g或4=1,

故存在点A1,此时万方=§或万万=1

6.(2022・全国•高三专题练习)如图，四棱锥尸一"BCD的底面48co是边长为2的正方形，PA=PB=3.

(2)当直线PA与平面PC。所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—C的大小.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据直线与平面位置关系，把问题转化为全等三角形问题即可证明：

(2)用等面积法建立二面角与线面角关系，当线面角满足正弦最大时，即可求二面角大小.

(1)

证明：分别取A8,CD的中点E,F,连接PE,EF,PF,

因为PA=P8,所以PE_LA8,

又因为ABCD,所以C£>_LP£,

又因为COD,PEcEF=E,所以。£>，平面尸£尸，

因为PPu平面PEF,所以C£>_LPF,

在PCD中,因为尸尸垂直平分CD,所以PC=P£),

又因为PA=P3,AD=BC,所以PADSPBC,

从而可得NPAD=NPBC；

⑵

18

解：由（1）知，NPEF是二面角P-AB-C的平面角，设NPEF=a,aw（O,%）,

在PEF中，PF-=PE2+£F2-2-PE-£Fcosa=12-872cosa,

过点E作EG_LPF于G,则EG'=(PE.唱sina『=象

rr3—202cosa

因为CO_L平面PEF,COu平面PC。，所以平面PC£>,平面PEF,

又因为平面PC。i平面PE尸=P/LEGLPF,EGu平面PM,

所以EG，平面PC。，

因为AB平面PCO,所以点A到平面PC。的距离等于点E到平面PC。的距离，即为EG,

FG1

设直线PA与平面PCD所成角为。，所以sin*启=§EG,

令Z=3—20cosa，re(3-2及，3+2夜)，

8sin2a8—(3—ty..L.

则EG1-------------=6-(/+y)„4,

3-2V2cosa

71

当且仅当f=l,即a=：时，EG有最大值2,

4

EG1

此时直线PA与平面PCO所成角为6的正弦值sin9=果=彳EG最大,

PA3

TT

所以当直线尸4与平面PCO所成角的正弦值最大时，二面角尸-AB-C的大小为二.

7.（2022・贵州贵阳•高三期末（理））如图，在四棱锥P-中，底面A8CO是矩形，平面

ABCD,AF±PBf尸为垂足.

19

(1)当点E在线段BC上移动时，判断A"是否为直角三角形，并说明理由；

(2)若尸A==〃尸C,且PB与平面R4E所成角为30，求二面角C-尸的大小.

【答案】(1)AE5是直角三角形，理由见解析

⑵30

【解析】

【分析】

(I)利用线面垂直的判定定理证明平面P8C,即可得结论；

(2)建立空间直角坐标系，先根据心与平面P4E所成角为30，可求得8c的长，再根据空间向量的夹角

公式即可求得答案.

(1)

AM是直角三角形.

丛1.平面A8CD,

：.PA1BC,

又「底面A8C。是矩形，

.-.ABA.BC,且PAAB=A,

.•.3。_1_平面248,又AFu平面PAB,

：.BC1AF,

又AFLPB,且PBcBC=B,

A尸，平面PBC,又EFu平面P8C,

AF1EF,即ZAFE=90,

,当点E在线段BC上移动时，AEF是直角三角形.

⑵

因为A4=A8=2,则F为PB的中点，

20

因为EF//BC,

所以点E是8c的中点.

%_1_平面488,且平面438是矩形,

所以建立如图所示空间直角坐标系，

设BE=a,则3C=2a,

所以A（0,0,0）,B（0,2,0）,P（0,0,2）,E（a,2,0）,D（2a,0,0）,C（2a,2,0）,F（0,l,l）；

则尸8=（0,2,-2），尸E=（a,2,-2）,AP=（0,0,2）,

“.AP—0

设平面PAE的法向量为机=5,丫0,々））,则由|,

m-PE=0

[2z=0

即《（），

l^o+2>'o-2zo=O

令%=1,则%=-£,z（）=0,所以机=（1,4,0）；

依题意得PB与平面R4E所成角为30，

所以，£（2,2,0）,D（4,0,0）,C（4,2,0）

则PC=（4,2-2）,PE=（2,2,-2）,PO=（4,0-2）,

设平面PCE的法向量为〃=（X1,y,zJ,

J〃-PQ=0j4x,-2z,=0

由<即<