高考数学二轮复习讲义五第四讲大题考法-函数与导数的综合问题

第四讲大题考法——函数与导数的综合问题

题型(一)

主要考查不等式恒成立有关问题或不等

利用导数解决与不等式有关的问题

关系证明的问题.

[典例感悟]

[例1](2018・镇江期末)已知函数«r)=xlnx,1)(4为常数).

(1)若函数y=/(x)与函数y=g(x)在x=l处有相同的切线，求实数2的值；

(2)若且证明：©Wg(x)；

(3)若对任意xd[l,+8),不等式y(x)Wg(x)恒成立，求实数力的取值范围.

[解](1)因为/(x)=lnx+l,

所以，(1)=1,

因为/(l)=g'(1)且g'(x)=2〃，

所以g'(1)=22=1,解得2=1

(2)证明：设函数h(x)=J(x)—g(x)=xlnx—；(9—1),

则(x)=lnx+1—x(x^1).

设p(x)=1nx+1—x,从而p'(x)=1—1<0对任意+8)上恒成立，

所以p(x)在[1,+8)上单调递减，

因为p(l)=0,所以当xG[l,+8)时，p(x)W0,即//'(x)W0,

因此函数〃(x)=xlnx—於2-])在口，+8)上单调递减，

即/i(x)W/i(l)=0,

所以当x2l时，段)Wg(x)成立.

(3)设函数H(x)=xlnx—2。2—1)(x21),

从而对任意尤G[l,+~),不等式”(x)W0=，(l)恒成立.

又H'(x)=lnx+l-2",

In五+1

当a)=lnx+l—2〃W0,即「一W22恒成立时，函数”(%)单调递减.

“Inx+1—,Tn%)八

设/<》)=---(x》l),则r(x)=7W0,

所以r(x)max=r(1)=1,即22N1,解得力N].

当％WO时，//'(x)=lnx+l-2a>0恒成立，此时函数H(x)单调递增.

于是，不等式"(x)2H(1)=0对任意工£［1,+8)恒成立，不符合题意;

当Ovk)时，设q(x)=H'(x)=lnx+l—2/U,则/(x)=,-22=0今天=』>1,

Z.X，儿

当XG0,时，q'(x)=：—2A>0,此时虱x)="'(x)=lnx+1—2Zx单调递增,

所以//'(x)=lnx+l-2Zr>/7,(1)=1-2z>0,

故当xG(l,给时，函数H(x)单调递增.

于是当x€(l,与时，H(x)>0成立，不符合题意.

综上所述，实数2的取值范围为;，+8)

［方法技巧］

利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法

(1)分离参数法

将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值

第一步口问题

第二步H利用导数求该函数的最值

^~T~

第三步T根据要求得所求范围

(2)函数思想法

［第1步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题

|第1步卜：利用导数求该函数的极值(最值)i

二二二二二二二二二二二二二二二二二；

第三步|—：构建不等式求解

［演练冲关］

1.(2018•苏锡常镇一模)已知函数<尤)=(;<:+1)111》一以+4(。为正实数，且为常数).

(1)若贝X)在(0,十8)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)若不等式。一1次x)20恒成立，求实数a的取值范围.

解：(1)因为y(x)=(x+l)lnx—ax+a,

所以fa)=mx+；+1—〃a>o),

若共x)在(0,+8)上单调递增，则/(工)20,

即〃Wlnx+；+l在(0,+8)上恒成立，

设g(x)=lnx+^+l(x>0),

x-1

贝Ig'(x)=—^~

当x>l时，g'(x)>0;当0<x<l时，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以gQ)min=g(l)=2,

故0<aW2,即实数”的取值范围为(0,2].

⑵当0V/W2时，

由(1)知，当xG(0,+8)时，氏0单调递增.

又用)=0,

所以当xG(0,l)时,；(x)<0;

当xG(l,+8)时，<x)>0.

故不等式。-1)/020恒成立.

xlnx+(l—a)x+1

当a>2时，/(x)=:

x

设p(x)=xlnx+(1-a)x+1,

则p'(x)=lnx+2~a.

令p'(x)=lnx+2—a=0,得x=e"-2>].

当xG(l,e"-?)时，p'(%)<0,p(x)单调递减,

则p(x)<p(l)=2-a<0,

则/(》)="<0,

所以当xG(l,e"")时，«r)单调递减，

则当xe(l,eC)时，4》)勺⑴=o,

此时(x—iy(x)<o,不符合题意.

综上，实数”的取值范围为(0,2].

2.(2018•无锡期末)已知函数人箝=仇3》-2),g(x)=a(x-2),其中a,xCR.

(1)若对任意xGR,有Kv)Ng(x)恒成立，求a的取值范围；

(2)若存在唯一的整数次，使得式xo)<g(xo)，求。的取值范围.

解：(1)由题意,对任意xWR,有e，(3x—2)2a(x—2)恒成立，

小1L、以31一2)

①当xe(—8,2)时，心;2

43彳-2)

即

x—2max.

e”(3x2-8x)

令F(x)=-^£2—,则F'(x)=

。一2)2

令尸(x)=0,得x=0.

当x变化时，F'(x),F(x)的变化情况如表所示:

X(一8,0)0(0,2)

尸'(X)+0一

广(X)极大值

所以尸(X)max=b(O)=l，故此时

②当x=2时,«r)2g(x)恒成立，故此时干2R.

〜./(3%一2)

③当工e(2,+8)时，点一，

*3x-2)

即aW

x—2

8

令Fa)=o,得x=g,

当X变化时，Ff(X),尸(x)的变化情况如表所示.

8

X

3g+8)

F'(x)—0+

如)极小值

F(x)min=/7(j)=9e^,故此时Q<9”，

综上，lW〃W9e3,即实数。的取值范围是［1,9』

(2)由7U)<g(x),得或3/一2)<〃。一2),

由⑴知ae(—8,i)u(9e：+8)，

人e*(3x—2)一

令&x)=；_2(尤#2)，

当x变化时，F'(x),F(x)的变化情况如表所示.

(2与8

X(—8,0)0(0,2)

3(i+8)

尸(X)+0一一0+

尸(X)极大值极小值

e*(3x—2)

当x£(—8,2)时，存在唯一的整数xo使得yUo)<g(xo),等价于av-二^-存在的唯一

整数xo成立，

因为尸(0)=1最大，F(—1)=卷，F(l)=—e,所以当。弓时，至少有两个整数成立，所

以同»・

当xC(2,+8)时，存在唯一的整数均使得式xo)<g(xo),

等价于“总铲存在唯一的整数的成立,

因为您)=9/最小，且尸(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当«>5e4Bt,至少有两个整数成立,

当aW7e3时，没有整数成立，所以ae(7e3-5e，.

综上，。的取值范围是值，I)u(7e3,5e4］.

题型(二)

利用导数解决与方程的解(零点)有关的问题主要考查利用导数及零点存在性定理以及函

数的性质研究复杂函数的零点问题.

［典例感悟］

［例2］(2016•江苏高考)已知函数次幻=。'+/7'(。>0,匕>0,“W1,历勺).

⑴设。=2,b=3

①求方程yu)=2的根；

②若对于任意xWR,不等式喊x)—6恒成立，求实数"2的最大值.

(2)若OVQVI,b>l,函数g(x)=/a)—2有且只有1个零点，求"的值.

［解］⑴因为。=2,所以外)=2计2了

①方程氏0=2,即2<+2r=2,

亦即(2')2—2乂2*+1=0,

所以(2、-1)2=0,即2*=1,解得x=0.

②由条件知人2丫)=2"+2。=(2'+2")2—2=々动2-2.

因为负2%)》何历)-6对于xER恒成立，且式x)>0,

所以机W他彩乜对于xGR恒成立.

於)

(©))2+44/4-

而皆厂=/)+而2勺益而=4,

当且仅当产(x)=4,即大x)=2时等号成立，且汕需==4,

所以机W4,故实数m的最大值为4.

⑵因为函数g(x)=yU)-2=〃+”—2有且只有1个零点，而g(0)=A0)—2=d+M—2

=0,

所以0是函数g(x)的唯一零点.

因为g'(x)=arlna+bx\nb,

又由OVaVl,b>\^lnt/<0,ln/?>0,

所以/(x)=O有唯一解xo=log/—器)

a

v22

令h(x)=g'(x),则Ia)=Slna+Wn»=a(lna)+//(lnb)f

从而对任意工£R,h'(x)>0,所以g'(x)=/?(x)是(一8,十8)上的单调增函数.

于是当工£(一8,沏)时，grM<gf(xo)=O;

当x£(xo,+8)时，gf(x)>gf(xo)=O.

因而函数g(x)在(一8,Xo)上是单调减函数，在(沏，+8)上是单调增函数.

下证xo=O.

若x0<0,则xo<y<O,于是g(3)Vg(O)=O.

又g(log„2)=alo&,2+/2Iog(-2-2>«log<,2-2=0,且函数g(x)在以登和log„2为端点的闭

区间上的图象不间断，所以在食和log„2之间存在g(x)的零点，记为xi.

因为所以10gH2<0.

又£<0,所以为<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.

若刈>0,同理可得，在T和logB2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯

一零点”矛盾.

因此xo=O.

于是一羽子=1,故ln“+ln6=0,所以“b=l.

［方法技巧］

利用导数研究函数零点问题的方法

用导数研究函数的零点，首先利用导数研究函数的性质，再判断零点所在区间端点的函

数值正负，结合零点存在理论判断零点个数，这类问题解答题的做法不同于填空题，一般不

能用两个函数图象来说明零点个数.

［演练冲关］

1.(2018•苏州暑假测试)已知函数犬其中e是自然对数的底数，«SR.

(1)若/⑶是函数7U)的导函数，当。>0时，解关于x的不等式/(x)>e，；

(2)若兀v)在上是单调递增函数，求a的取值范围；

(3)当。=0时，求整数女的所有值，使方程火x)=x+2在［k,k+1］上有解.

解:(1/(x)=［ax2+(2a+1)x4-1］-e1.

不等式/(x)>e*可化为［ax2+(2a+l)x］.ev>0,

2q।］

因为e'>0,故有以2+(2〃+］)x>0,又a>0,解得x>0或x<—~~.

所以当a>0时，不等式/(x)>e*的解集是(一8,)U(O,+°°).

(2)由(1)得/(x)=［ax2+(2a+l)x+l］-e\

①当a=0时，/'(x)=(x+l)e',/(x)20在上恒成立，当且仅当工=一1时取等

号，故a=0符合要求；

②当a#0时，令g^na^+Qa+Dx+l,

因为/=(2a+l)2-4a=442+l>0,

所以g(X)=O有两个不相等的实数根X|,X2,不妨设X|>X2,因此凡x)有极大值又有极小

值.

若〃>0,因为g(—i>g(o)=—“<o,所以y(x)在(一1』)内有极值点，故负X)在［—1,1］上不

单调.

若〃<0,可知为>0>%2,因为g(x)的图象开口向下，要使y(x)在［一i,i］上单调，因为g(o)

=1>0,

g⑴三0，］3。+2》0,?

必须满足<即，所以一wWa<0.

8（-1）20,〔一“》0,3

「2

综上可知，a的取值范围是一§,0

⑶当a=0时，方程即为xe'=x+2,

由于ebO,所以x=0不是方程的解，

2

所以原方程等价于ev—1=0,

令/j(x)=ev—1.

2

因为/?'(x)=e'+苫>0对于xe(—8,o)U(O,+8)恒成立，所以〃(x)在(-8,0)和(0,

+8)内是单调增函数.

又力(l)=e—3<0,/?(2)=e2-2>0,ft(-3)=e-3-1<0,h(-2)=e~2X),

所以方程兀v)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间［1,2］和［一3,-2］上，

所以整数％的所有值为{-3,1}.

2.已知定义在R上的函数1x)的图象不间断，且其表达式为处0=

2~x,x<0,

,五+仍一44）必一（4b+"z）x+〃，0WxW4,（〃，b,m,n为常数,且〃WO）.

Ka（log4X-1）,x>4

(1)求加，〃的值；

(2)若4,6互为相反数，且应0是R上的单调函数，求〃的取值范围；

(3)若。=1,b£R,试讨论函数g(x)=y(x)+〃的零点的个数，并说明理由.

解：(1)依题意，/(0)=1,火4)=0,

〃=1,

即

64〃+16(〃-4。)一4(4〃+团)+〃=0,

〃=1,

解得(1

加=不

(2)因为y=是减函数，且式幻是上的单调函数,

2R

所以在)，=4(k)g4A—1)中，应该有y'=7irM^0,

故a<0.

y=ax3+(h—4a)x2—(4h+^x+1中，其中o+〃=0,

y'=3,/—10or+4a—导函数的对称轴为尸,，

故/=100”-12a(4a-；)wo,解得一专<“<0.

综上可知，a的取值范围是［一专，0).

(3)当。=1时，g(o)=y(o)+寸=1+4

g(4)=7(4)+方=4

①当〃>0时，(；)+b=0无解，

10g4X—1+/?=0即R)gM=l一人无解，

又g(0)=l+b>0,g(4)=b>0,

g(2)=y(2)+b=8+4S—4)—+1+b=~^―3/?<0,

方程g(x)=0在(0,4)上有两解，

可知方程g(x)=0在R上一共有两解；

②当6＜一1时，(；)+〃=0有一解：X=log[(一加，log4A-l+〃=0有一解：X=4'~b,

又g(0)=l+X0,g(4)=从0,

g(3=£)+T+；S-4)-如匕+£)+1+b=-%>0,

故方程g(x)=0在(0,4)上有两解.

从而方程g(x)=O在R上共有4个解;

V

③当一1＜。＜0时21'+6=0无解，logM—1+8=0有一解,

又g(O)=l+比＞0,g(4)=b＜0,

方程g(x)=0在(0,4)内只有一解.

可知方程g(x)=0在R上共两解；

④当匕=0时，有x=4和x=T两解,

⑤当b=—\时，有x=0,x=~~^x=16,3个解,

综上得，当b＞—1时，g(x)有2个零点;

当6=-1时，g(x)有3个零点；

当6W-1时，g(x)有4个零点.

题型(三)

主要考查利用导数解决在特定

函数新定义问题

情形下的函数的性质问题.

［典例感悟］

［例3］(2018.江苏高考河/(x),g'(x)分别为函数凡r),g(x)的导函数.若存在xo^R,

满足Kxo)=g(xo)且/(xo)=g'(xo),则称xo为函数於)与80)的一个“S点”.

(1)证明：函数1》)=苫与gNur+Zr—2不存在"S点”；

(2)若函数4此=办2—1与g(x)=lnx存在"S点”，求实数a的值；

be'

(3)已知函数,/(x)=—x?+a,g(x)=-p对任意。＞0,判断是否存在6＞0,使函数段)与g(x)

在区间(0,+8)内存在“S点”，并说明理由.

［解］(1)证明：因为函数")=x,g(x)=/+2x-2,

所以，(x)=l,g'(x)=2x+2.

由式x)=g(力且J(x)=g'(x),

x=x2+2x—2,

得＜此方程组无解,

l=2x+2,

因此式x)与g(x)不存在“S点”.

(2)因为函数,«x)=ar2-］,g(x)=lnx,

所以/(x)=2ar,g'(x)=(

设xo为式x)与g(x)的"S点”，

由7(xo)=g(xo)且/'Go)=g'(xo),

渥一1=lnxo,

l=lnxo,

即

得i2.王(2cuA=l,

1--

所以lnxo=­5,即xo=e2,

16

所以―r-=2-

2(e-02

当时，xo=e*满足方程组(*),

即xo为火x)与g(x)的“S点”.

所以。的值为奈

32

(3)对任意a>Of设7?(x)=A—3x—ax+a.

因为/7(0)=。>0,/7(1)=1—3—。+。=一2<0,且/i(x)的图象是不间断的,

所以存在必£(0,1),使得。。0)=0.

令b=一岁―7,贝”b>0.

exo(l-xo)

be'

函数式外二一必+凡g(x)=—,

.be\x-1)

则/(x)=—2x,g(x)=~'--.

由於)=g(x)且/(x)=g'(x),

be'

-x2+a=—,

x'

得.

hex(x—1)

f=/

2町e'

一炉+。=

exo(l-xo)x'

即

2x8e'(xT)

-2x=

exo(l一xo)x2

此时，xo满足方程组(**),即xo是函数段)与g(x)在区间(0,1)内的一个"S点”.

因此，对任意”>0,存在。>0,使函数火处与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”.

［方法技巧］

函数新定义问题的求解策略

对于函数的新定义问题，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义

与条件来确定解题的方向，然后准确作答.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把

握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下

的问题.

(演练冲关］

若在公共定义域。上，力(x)<y(x)〈及(X),则称函数式X)为函数力(X),力(X)的“。函数”.

(1)已知函数力(x)=*+2r+41nx,我(x)=/+2x+2,求证：在区间(0,+°°)_t,fi(x),

及(x)有“。函数”；

(2)已知〃eR,函数,/(x)=ar2+］n%,/i(x)=(a—l)x2+ax+(l—a2)lnx,力(x)=gx2+2ax.

若在区间(1,+8)上，大外为力(x),力(x)的函数”,求a的取值范围.

解：(1)证明：设K(x)=,6(x)—力。)=>2—41nx+2,下证K(x)min>o.

0,,、4(x-2)(x+2)

K(x)=L『―--

故K'(x)与K(x)随X的变化情况如下表:

X(0,2)2(2,+8)

K'(%)—0+

K(x)4-41n2

V4-41n2>4-41ne=0,；.K(x)24-41n2>0.

设A：x)=/i(x)+7(4-41n2),0<2<1,

则力(x)<-x)可(x).

二在区间(0,+8)上，力(x),力(%)有函数

(2)设H(x)=f\(x)—fix)=—x2+ax—a2\nx,

则在(1,+8)上，H(x)<0.

―2f+ar-a2

3(x)=-2x--+a=

x

(4x—〃)2+7。2

=_8x

・••在(1,+8)上，H'(x)<0,"(x)是减函数,

・・.”a)VH(l)=-1+aWO,・・・〃W1.

则在(1,+8)上，P(X)<O.

i4a

若4］，则5A，

《强)=1蜡

>0,矛盾.

„1,,1(x-V\［(2a—1)x~1J

若aW］,"：P'(x)=(2a-l)x+--2a=i-----------------------L,

...在(1,+8)上，p'(x)<0,P(x)是减函数，

二P(x)<尸⑴=一;一“W0.

42一；，

故所求a的取值范围为一;，:.

［课时达标训练］

A组——大题保分练

1.已知函数灰(“，Z?eR).

(1)设a=-1,若函数,/(x)在R上是单调递减函数，求人的取值范围；

(2)设匕=0,若函数y(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围.

解：⑴当a=~\时，./0)=--+9一法，

：.f(x)=-e*+2x-6,

由题意知，/(犬)=一^+2%—6・0对*61?恒成立.

由一e*+2x—bWO,得b2一e*+2x.

令尸(x)=—e*+2x,则F'(x)=—e'+2,

由尸'(x)=0,得x=ln2.

当xVln2时，F'(x)>0,Rx)单调递增，当x>ln2时，F'(x)<0,F(x)单调递减,

从而当x=ln2时，F(x)取得最大值21n2—2,

21n2—2,故〃的取值范围为⑵n2-2,+O°).

(2)当6=0时,段)=。=+/.

由题意知aer+x2=0只有一个解.

由ae'+x2=0,得一a=5,

令G(X)=17,则G'(犬)=吟丁"，

由G'(X)=0,得x=0或x=2.

当xWO时，G'a)W0,G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为［0,+«>)；

当0<x<2时，G'(x)>0,G(x)单调递增，故G(x)的取值范围为(0,4)：

当xN2时，G'(x)W0,G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为(0,4.

由题意得，一a=0或一a>±,从而a=0或〃<一*,

故若函数负»在R上只有一个零点，则a的取值范围为(一8,—*)U{0}.

2.已知函数危)=(1+m+-^—〃1门3>0)在亢=2。处取得极值.

(1)求函数7U)的单调区间；

(2)设函数8(九)=/—2cx+4—In2,当a=1时，若对任意的X］,X2^［l,e］都有人即)28(12)，

求实数c的取值范围.

242

解：⑴由於)=(1+6)4+二一alnx,a>0tx>0,

得，(x)=l+6一笔"一"

又於)在x=2a处取得极值，

所以/(2a)=l+b-；-；=b=0,

2〃2

所以«r)=x+：--olnxf

,2a2ax1—ax—la1(x+〃)(x—2a)

于«=!---；=一P一=一一，

又a>0,且函数y(x)的定义域为(0,+8),

所以由/'(x)>0,得x>2a;

由/(x)<0,得0<x<2a,

即函数40的单调递增区间为(2a,+8),单调递减区间为(0,2a).

2

(2)当〃=1时，Xx)=x+--lnx,xG(0,+0°),

由⑴知xG［l,e］时，危)在［1,2］上单调递减，在(2,e］上单调递增，所以危)min=A2)=3

—In2.

对任意的X|,X2^［l,e］都有y(Xl)2g(X2),

即“r)min》g(x),xG［l,e］恒成立.

即3—In22/—2cx+4—in2,［1,e］恒成立，

即2c2x+(,xe［l,e］恒成立，

令/7(x)=x+:,则"(x)=l-*0,xe［l,e］,

即/?(x)=x+:在［1,e］上单调递增，

故/©)鹏=恤)=6+：,所以c》!(e+0.

故实数c的取值范围为畀!，+8)

a-1

3.(2018•南京、盐城一模)设函数1x)=lnx,g(x)=or+—1—3(aGR).

(1)当。=2时，解关于x的方程g(e，)=0(其中e为自然对数的底数)；

(2)求函数[(x)=Ax)+g(x)的单调增区间；

(3)当。=1时，记〃(x)=/(x>g(x),是否存在整数人使得关于x的不等式有解？

若存在，请求出力的最小值；若不存在，请说明理由.

(参考数据：In2比0.6931,In321.0986)

解：(1)当。=2时，方程式/=0,即为2e，+"—3=0,去分母，得2(e*)2-3e'+l=0,

解得ev=1或e*=£,

故所求方程的根为x=0或x=—In2.

ci—1

(2)因为p(x)=/(x)+g(x)=lnx+or+—3(x>0),

加+工(。1)

所以“(x)=~+^

=卬一咚胆+%>。),

①当4=0时，由“(x)>0,解得x>0;

a—]

②当a>l时，由“(x)>0,解得%。；

③当0<a<l时，由，(x)>0,解得x>0;

④当〃=1时，由“(x)>0,解得Q0;

Q-1

⑤当。<0时，由夕'(x)>0,解得0令<---.

综上所述，当〃<0时，夕(x)的单调增区间为(0,-

当OWaWl时，夕。)的单调增区间为(0,+0°);

当时，9a)的单调增区间为(与1，+8).

(3)存在满足题意的工

当〃=1时，g(x)=x—39

所以/?(x)=(x—3)lnx,

3

所以/?'(x)=lnx+l—1在(0,+8)上单调递增.

因为/z'0j=ln|+l—2<0,

3

hf(2)=ln2+l-2>0,

所以存在唯一X()e(|，2),使得〃，(xo)=O,

3

即lnxo+1——=0,

当x£(0,&)时,h1(x)<0,

当x£(xo，+8)时，h'(x)>0,

6TA寸=644,

所以/2(x)min=/iUo)=Uo—3)lnxo=(xo—3)

记函数4x)=6—(x+3，由/(x)>0在d，3)上恒成立可得3在(I，2)上单调递增,

所以(lb“(xo)<42),

即〃(xo)e(-1，­£)(

3

所以222且2为整数，得220,

所以存在整数2满足题意，且2的最小值为0.

4.(2018•南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数yU)=x-〃sinM〃>°)・

⑴若函数y=/U)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

(2)设。=g,g(x)=fix)+Z?lnx+1(Z?GR,斤0),g'(x)是g(x)的导函数.

①若对任意的x>0,gr(x)>0,求证：存在xo，使g(M))v。;

②若gai)=g(X2)(Xl#X2)，求证：X|X2<4/?2.

解：(1)由题意，得/(x)=l—acosx20对x£R恒成立，

因为〃>0,所以(2cosx对x£R恒成立，

因为(COSX)max=1,所以从而

所以实数a的取值范围是(0,1].

(2)证明：①g(x)=x—；sinx+61nx+l,

所以/(x)=l—^cosx+K

若〃<0,则存在一与>0,使g，(―9)=-1—gcos(-9<0,不合题意，所以历>0.

3

取xo=e—g,则O<xo〈l.

3

此时g(xo)=x()—gsinM)+/?lnxo+l<l+g+Z?lne-+

b1=—2^0>0,使g(xo)〈O.

②依题意，不妨设0<X]<V2,令条=0则〉L

由(1)知函数y=x—sinx单调递增，所以忿一sinX2>xj—sin占.从而X2—xi>sinX2—sinx\.

因为双冗1)=总2),所以X]一；sinX]+b\nx\+1=X2-^sinX2+b\nX2+1,

所以一A(lnX2-InX\)=X2~X\一；(sinX2-sinxi)>^(X2-xi).

工一ii

所以一2b>>0.

In%2-Inx\

下面证明肃M际,即证明品M，只要证明ML导<°即可.(*)

t-1—(A//—1)-

设/z«)=ln1一工-(。1),所以(/)=—七/~<0在(1,+8)上恒成立.

所以力⑺在(1,+8)上单调递减，故人⑺<力(1)=0,从而(*)得证.

所以—2b>\]x\X2,即x\X2<4b2.

B组——大题增分练

13

1.函数J(x)=Inx+p-2+ax(a£R),g(x)=ex+2x2.

(1)讨论/U)的极值点的个数；

(2)若对于任意x£(0,+8),总有成立，求实数。的取值范围.

1X^~\~QX~\~1

解：(1)由题意得[(x)=-+x+t7=--------(x>0),令/(x)=0,即/+奴+1=0,A

=a2-4.

12+iZx+1

①当/=〃2—4W0,即一2W〃W2时，V+QX+I，。对第>0恒成立，即，(^)=-~~-——

20对4>0恒成立，此时yu)没有极值点.

②当/=砂一4>0,即QV—2或。>2时，

若〃<—2,设方程/+依+1=0的两个不同实根为即，X2,不妨设X1<X2,则Xl+l2=一

a>OfX\X2=1>0,故X2>X]>0,

当O<x<xi或x>X2B寸，/(x)>0;

当X\<X<X2时f(x)<0,

故的，X2是函数危)的两个极值点.

若〃>2,设方程/+ar+l=0的两个不同实根为13,X4,

则13+入4=—。<0,X3X4=1>0,故工3<0,工4<。.

・••当Q0时，/(%)>0,故函数«¥)没有极值点.

综上，当。<一2时，函数段)有两个极值点；当。2—2时，函数式幻没有极值点.

x2

(2)J(x)^g(x)^e—Inx+x^axf

e"+%2—InY

因为x>0,所以aW--------对于Vx>0恒成立，

e^+x2—In

设(p(x)=

则9,(工)=

e\x—l)+lnx+(x+l)(x—1)

=，

Vx>0,，当x£(O,l)时，(pr(x)<0,9。)单调递减,

当x£(l,+8)时,(pf(x)>0,3a)单调递增,

・・・9(力2研1)=©+1,，aWe+l,即实数。的取值范围是(-8,e+1］.

^-_|_j^2JV<0

，、'其中常数“eR.

{ex—ax,x^O,

(1)当。=2时，求函数y(x)的单调区间；

(2)若方程八-x)+7U)=e'—3在区间(0,+8)上有实数解，求实数。的取值范围;

(3)若存在实数机，〃e［0,2］,且|团一川21,使得/(机)=75)，求证：1,二1We.

［―x3+x2,JC<0,

解：(1)当。=2时，抬尸"，》八

［e—2x,x30.

①当x<0时，/。)=一3炉+2%<0恒成立，所以火x)在(一8,0)上单调递减；

②当工20时，/(x)=er-2,可得./U)在［0,In2］上单调递减，在［ln2,+8)上单调递

增.

因为10)=1>0,所以/(X)的单调递减区间是(一8,0)和［0,In2］,单调递增区间是［ln2,

+°°).

(2)当x>0时，y(x)=eA—or,

此时一x<0,X-x)=一(—X)3+(—x)2=x3+x2.

所以y(x)+/(—x)=e"—3在区间(0,+8)上有实数解，可化为〃=12+工

3

在区间(0,+8)上有实数解.

3

记ga)=/+x+7%e(o,+8),

则g,(x)=2x+L,=aT)(2：+3'+3)

可得g(x)在(0,1］上单调递减，在U,+8)上单调递增，且g(i)=5,当Rf+8时，g(x)f

+°0.

所以g(x)的值域是［5,+8),即实数〃的取值范围是［5,+8).

(3)证明：当工£。2］时，«1)=^一公，

有/(%)=&"-a.

若aWl或a>e2,则y(x)在［0,2］上是单调函数，不合题意.

所以1<〃42,此时可得人x)在［0,Ina］上单调递减，在［In。,2］上单调递增.

不妨设0W加<lna<nW2,则人0)//(〃?)次Ina),且"n〃)勺⑼W/(2).

由相，[0,2],〃一〃?21,可得0WmW1W/1W2.

因为/("?)=/("),

l<a<e2,l<«<e2,

得《12e-a,

所以,旭)宓⑼宓1),

川2)宓〃)涿1),、e2—2a》e—

即e—1WaWe2—e,所以1W『.

3.(2018•苏北四市期末)已知函数/(x)=N+at+l,g(x)=lnx-a(aWR).

(1)当a=1时，求函数〃(x)=y(x)—g(x)的极值；

(2)若存在与函数应力g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围.

解：(1)当。=1时，/i(x)=y(x)—g(x)=jc2+x—Inx+2,

函数/z(x)的定义域为(0,+°°).

..,,1(2A—l)(x+1)

所以力'(x)=2x+1—~=-----------.

令〃'(x)=0得x=：(x=—1舍去)，

当x变化时，h'(x),/z(x)的变化情况如下表：

(o,1R+8)

X2

h'(x)—0+

h(x)极小值

所以当x=；时，函数/?(x)取得极小值；"+ln2,无极大值.

(2)设函数式》)上点(用，於D)与函数g(x)上点(X2,g(%2))处切线相同,

则f(xi)=g(X2)i丫,一.、

人I人2

看+g+1-(In必一。)

所以2xi-\~a=~

X2X1-X2

所以x\="—*代入"=一+以1+1—(In“2一〃)得右一去+ln也+5―a—2=0.(*)

ZA2乙X2ZA24

设F(x)=^7—^+lnx+^—a—2,

则尸'(x)=一芯+品T12x2+ax—\

2A3'

不妨设2x8+。沏-1=0(沏>0),则当Oa<xo时，F'(x)<0;当Qxo时，F'(x)>0,

所以尸(X)在区间(0,xo)上单调递减，在区间(沏，+8)上单调递增，

］11

代入a=-/^=］一2X0,可得FU)min=F(xo)=xg+2xo—~~+In沏-2.

XoXoXo

设G(x)=/+2x—；+lnx—2,

则G'(幻=21+2+己+：>0对x>0恒成立，

所以G(x)在区间(0,+8)上单调递增.

又G(l)=0,所以当(RxWl时，G(x)^0,

即当O<xoWl时，F(xo)^O.

又4+2=L—2助+2>0,所以当x=e"+2>i时，

M)

F(X)=/F7一概l+lne<,+2+^—a-2

=壮一沪0.

因此当0飙<1时，函数尸(x)必有零点，即当0令oWl时，必存在X2使得(*)成立，即存

在X］,X2使得函数应¥)上点(Xl,7UD)与函数g(x)上点(X2,8(无2))处切线相同.

又由y=；—2x,x£(0,l］得y'=-A—2<0,

所以y=：—2JC在(0,1］上单调递减，

,I,1-2xo1

因此a=~;-=7--2xo^［-1,+°°).

沏Ao

所以实数。的取值范围是［-1,+8).

4.对于函数兀1),在给定区间。，b］内任取〃+1(〃22,〃eN*)个数xo,xi,x»…，x〃