高三数学秋季期中冲刺培优版-不等式、三角、向量-教师版

教师姓名学生姓名年级高三上课时间

学科数学课题名称不等式、三角、向量

共线

共线与垂直

平面向量分解定理垂直

定比分点几何意义投影

数量积

向量夹角公式

零向量与单位向量向量的概念

线性运算

知识分析咨

知识梳理：

1.不等式（性质、一元二次不等式、分式、一元高次、绝对值、无理不等式）

（1）性质：

①可乘性：若a>b,c>0,则ac>bc,若c<0,则ac<bc

②可加性：若a>b,c>d,则a+c>b+d

（2）一元二次不等式：利用三个二次关系求解，注意分类讨论

①求根（因式分解、求根公式）

②画图（注意比较根大小）

（3）分式不等式：移项一一通分一一化整式

（4）一元高次不等式：常用“数轴标根法”，按“奇穿偶不穿”的原则

（5）绝对值不等式：去绝对值（分类讨论）、平方、几何意义

（6）无理不等式：平方（确保平方之前为正）

2.三角

三角比

（1）任意角的有关概念：正角、负角、零角；终边相同的角、象限角。

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(2)弧度制:

(3)相关公式：扇形面积S扇形=g〃=g|a|"2；弧长公式：/=

(4)任意角的三角比的定义：

(5)三角比在各象限的符合：

(6)在单位圆中经常用有向线段表示三角比的值，例如：正弦线、余弦线、正切线；

(7)诱导公式：公式可概括为：奇变偶不变，符合看象限。

(8)同角三角笔的关系式：①平方关系；②商数关系；③倒数关系；

(9)两角和与差的三角比公式：

(10)辅助角公式：asina+hcosa=yla^+b2sin(a4-,

其中sin0=了？,cos(p=-」,cp可以取[0,2%)内的一个角。

22j2,2

yja+hyla+b

(11)解斜三角形：①正弦定理；②余弦定理；③三角形面积公式；

三角函数

(1)函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的性质(定义域、值域、函数、奇偶性、最小正周期、单调性)。

(2)求三角函数最值问题常见类型。

①尸公山工十公%6。；

②y=Qsinx+bcosx,%w。；

@y=asin2x+/?sinxcosx+ccos2x.xeD；

@y=asin2x+/?sinx+c,xeQ；

(3)函数/Q)=Asin(0¥+0)"(x)=ACOS(5+0)的单调区间、图像变换、对称轴、对称中心。

(4)反三角函数的性质与图像：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx的(定义域、值域、奇偶性、

单调性、图像)

(5)常用关系式

①反正弦(1)arcsin(-x)=-arcsinG[-1,1]；(2)sin(arcsinx)=x,xe[-l,l]；

(3)arcsin(sinx)=x.xe；

_22_

②反余弦arccos(-x)-TI-arccosx,xe[-1,1]；

cos(arccosx)=X,XG[-1,1]；arccos(cosx)=X,XG[0,乃];

③反正切arctan(-x)=—arctanx,xeR；tan(arctarLr)=x,x£R；

2

/、(冗冗、

arctan(tanx)=x,xel-y,ylo

@arcsin%+arcco&x=^,arccos(sinr)=Vl-x2；

(6)最简三角方程的解集

sinx=«(|«|<1)解集为卜卜=攵万+(-1丫arcsina,攵eZ

cosx=a(|a|<1)解集为=2kn±arccosa,keZ]o

tanx=a解集为｛乂x=br+arctan”,攵eZ｝。

3.向量的加减法

（1）几何表示：

①向量的加法：平行四边形法则（共起点，对角线）；

三角形法则（首尾相连）：44+44"1—1■A；-,A>~'

②向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）。

注：i、向量加法的性质：交换律、结合律；a+Q=Q+a=a；5+（-5）=0；

ii、以,、B为邻边的平行四边形中，对角线分别为万+B、a-b,有：

①卜+田+心-心炯+麻）

②||a|-|fe||<|a±^|<|a|+1^|

其中，i）、2与B同向时，,+.=同+忖；

ii）、方与B反方向时，忖+同=卜司一卜|或卜一同=同+日。

出）、方与B不平行时，忖一忖<,±4〈同+忖。

（2）坐标表示：设X是一个实数，5=（%,%）石=（々,%），则

①之+3=（西+々，,+%）；a-b=（xl-x2,yl-y2）；

->

②若A（X[,y）,8（9,%），则AB=（w-％-X）；

③法=〃再,乂）=（疝|,例）；同=应+算;

-fx.—x

@a=b<^\127

Jl=丁2

注：i）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

ii）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

3.实数与向量的积：实数；I与非零向量）的积是一个向量，记作：A-a

⑴国=风洞；

（2）沏与方共线：当；1>0时，伤与方方向；

当九<0时，花与5方向；

当4=0时，然=,方向。

判断：①法与万的方向要么相同，要么相反。

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②行=0,则4=o。

（3）向量数乘的性质：结合律、分配律。

（4）两个向量平行的充要条件：（作用：判定线线平行（需说明不重合））

①向量坂与非零向量之共线o有且只有一个实数;I,使得坂=而

②若N=（X”X）石=（%,%），则<=>玉％一%2乂=0

注：共线向量推论：

->—>―►

对任一点0,点P在直线AB上<=>存在实数2,使OP=（1—/L）OA+；IO8

特别的：线段AB的中点公式（即点P是AB的中点）

I->1->->

当a=上时，OP^-（OA+OB）

22

作用：证明三点共线。

4.平面向量基本定理：

若4、&是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数4、4，

使得：方=44+4&。其中不共线的向量R、备叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

5.数量积：

（1）两个向量的数量积：

己知两个非零向量方与B，它们的夹角为夕，则万・坂=1之ITBicose.

其中IBIcos。称为向量日在不方向上的投影.

（2）向量的数量积的性质：

①若[=（%],y）,B=（%2，%）则e•H•e=IZIcos6）（e为单位向量）；

②垂直：。_1坂<=>。♦坂=0<=>4占+%必=。（。，日为非零向量）；

③平行：a//b。b=Aao5石=±同洞<=>玉％-％2乂=0

④模：同=yja-a=Jx；+y；

⑤夹角：3夕=笥=/」可产,

H-plA/玉

（3）向量的数量积的运算律：

a-b=b•a；（a+b）-c=a-c+b-c；（Aa）-b=A（a-b'）

6.P分有向线段两所成的比

设R、Pz是直线/上两个点，点P是/上不同于H、Pz的任意一点，则存在一个实数；I使丽=2两，

2叫做点P分有向线段PR所成的比。

当点P在线段懑上时，2>0；当点P在线段启或隔的延长线上时，2<0»

注：1）、若月）=4而；与尸,鸟的坐标分别为（再，/），（x,y）,（修，必）；

X.+/U,

x=------

则]1+2（2^-1）----------------------------分点坐标公式；

V一一+办2

[A1+几

4

X.+x

x=---9---

2）、①当丸=1时，P为线段的中点，BP：2--------------中点坐标公式；

I2

_X]+工2+工3

②A（%,y）仅々，为）C（X3，为），G为AABC重心，则，③一重心坐标公式。

y=-3—

7.平移公式：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形〃，

则把这一过程叫做图形的平移。

设点p（x,»）移到点产（x「y）,这样的移动唯一地确定了一个向量P产，设pp=（h,k）,则

(x'7,y'-y)=S,幻，则：[yf=x+][

y=y+k平移公式。

二、例题讲解:

L不等式

(1)设Q〉0b〉0,且4+0=1,求证：+，+//?+，1<2.

22

答案:

证法一:a>0力>0,a+b=1,二[a+g+g1<2=Q+〃+1+21(a+g)1(b+；1)<4

22

<=>^(«+1)(Z?+1)<1.由基本不等式，J(a+

H—)4—[(aH—)+(bH—)]=1,所以原不等式

2222

成立.

证法二:令x==J匕+；

由第三个不等式（“；田-KV+>2=尤+yvj2，+y2）

a>O,b>O,a+b=l

2[(a+；)+g+；)]=2

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(2)设0<a<l,0<b<l,0<c<l,证明：(l-a)b,(l-b)c,(be)a不能都大于工。

4

答案：

解：彳发设(1

444

(1—d)b(\—Z?)c(l—c)a>—.

64

(l-a)b(l-b)c(l-c)a

=[«(l-a)][&(l-^)][c(l-c)]

、力+久、八，，C,、

</(+----1-—--ay2(----I----)-2(/-C-+--1-—--C)-2(•/.-1.-a>0,1-/?>0,l-c>0r)>

222

=’(当且仅当a=b=c=>5■时，取"="号)

642

两式相矛盾，假设不成立，故原命题成立。

(3)若对一切a>b>c,不等式—I+'一I>-"-恒成立，求n的最大值.

a-bb-ca-c

答案：4

(4)设a,—eR,且1-a。=1,求证:a?+b2-1.

答案：证明：由平均值不等式，得

.五工1«型心,①

22

②

__________21j212t2

①+②，得aM-b?+,1-a2«a~+]―/r+/+1-。—=]③

22

由题设知③式中等号成立，其充要条件为

a=J1-〃,且力=dI—a2,a2+b2=1.

149

(5)已知无、y、z《R+,且x+y+z=l,求—I---1—的最小值.

xyz

答案：36

6

(6)已知不等式(3+》)(1+0)29对任意正实数恒成立，则正实数。的最小值为()

xy

A.8B.6C.4D.2

答案：C

(7)已知a、b曰?*,且a+6=1,求(a+.)?+(。+/产的最小值.

ab

25

答案：—

2

(8)求y=2/+2,(元〉0)的最小值；

x

(9)已知x+2y=l,x,yeR+,求的最大值.

答案：见解析

333IV

【解析】解：(1)y=2x2+-=2x2+—+—>332x2•—

x2x2xv2x

当且仅当2/=3即X=学时y*=3体

2x2-m,n2

(2),/x,yeR+,

A+233

/y=Lx*—4L(X+J+4)j3=1.(2•-)=2当％=4y,即％=2,y=L时取等号.

4-43432736

.•./y的最大值为Z.

16

(10)若a>b>0,求"9+-------的最小值

b(a—b)

答案：16句经

|b

(11)已知AC、3。为圆O：/+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为［/---------1

a

“(I,、汇卜则四边形ABCO的面积的最大值为o图6—1

答案：5

(12)如图6—1,为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从4

孔流入，经沉淀后从8孔流出，设箱体的长度为。米，高度为方米.已知流出的水中该杂质的质量分数

与a、人的乘积必成反比.现有制箱材料60平方米.问当“、人各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂

质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)？

答案：见解析

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【解析】解法一：设〉为流出的水中杂质的质量分数，则产上，其中左>0为比例系数，依题意，即

ab

所求的〃、人值使y值最小.

根据题设，有4/7+2。/?+2。=60(。>0,b>0)

300

得儿------(0<«<30)①

2+。

kk

ab30a-a2“640△64、

-a+32--------34-(a+2H--------)

2+aa+2Q+2

kk

>--------=—

3T(a+2)£18

64

当a+2=——时取等号，y达到最小值.

a+2

这时a=6,a=-10(舍去)将a=6代入①式得8=3

故当“为6米，人为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法二：依题意，即所求的“、6值使时最大.

由题设知46+2岫+2a=60(a>0,b>0)

即a+2b+ah=30(a>0,/?>0)

'：a+2b^2y[2ab：,2叵箍+abW3G

当且仅当a=2b时，上式取等号.

由a>0,b>0,解得0cHW18

即当a=2〃时，必取得最大值，其最大值为18.

；.2乂=18.解得。=3,a=6.

故当〃为6米，人为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

2.向量

(1)设E是不共线的两个非零向量，OM=ma,ON=nb,OP=aa4-pb,其中〃z,n,a,月均

为实数，〃?w0,n*0,若M,P,N三点共线，求证：？+2=l.

tnn

证明：由于M,P,N三点共线，则存在实数;l,使得股户=2AM,

OM+WNmAn丁

贝|JOP=a+---b,

1+21+11+2

8

a—•m-

由于3B不共线,则.1+2,则4+2=」-+」-=I.

Anmn1+21+2

Pn=:-r

1+A

(2)设M=6,w=10,.一q=4"，求“与坂的夹角°的余弦值.

a-b_20_1

答案：2

96=|<7-/?|=|rz|+|/?|-2ab=(4>/6)=96=>«-^=20,cos0=丽=何=5

(3)如图7-18,在Rt^ABC中，已知8C=a,若长为2a的线段产。以点A为中点.问户皆与就的夹

角6为何值时，丽•戈的值最大？并求出这个最大值.

解：由于通_1_/，则荏•*=0.由于Q=-而，BP=AP=AB,CQ=AQ-AC,

^i^-^=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC

-7iBAQ+ABAC=-az^AP(AB-AC)>=-dL+^PQ.

BC=-ci~+ct~cos0.

当cos6=l,即6=0,(风与4仁方向相同时)，游最小，即最大值为0.

(4)已知"BC中满足(而>=福•/+丽・册+5•函，a,b,c分别是A4BC的三边.试判断

△A8C的形状，并求sinA+sinB的取值范围.

解：由于(而>=福・前•册+而・丽，

(AB)2=AB(AC+CB)+CACB,^i(AB)2=ABAB+CACB,

叩画・。=0,"BC是以C为直角顶点的直角三角形，

则sinA+sinB=sinA+cosA=&sin+Ae(0,曰)，

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则sinA+sin3的取值范围为(1,收］.

(5)设边长为1的正ZXA&7的边长6c上有〃等分点，沿点B到点C的方向，依次为勺，P？,…，月I，

若s“=福•丽+丽;•砧+…+砧求证：s“=21心.

6/2

证明：设A月=",AC=b,BC=a,^-BC=p,贝U福=4月+8月=2+4,伙=0,1,2,…，n).其

n

中，A^=AB,AP^=AC.

22

则APk_x-APk=+(k-V)p^-(c+kp)=c+(2k-1)c-p+k(k-V)p.

又由于s“=丽・丽+丽•醺■+…+砾；祝,

叵(2"1)1•万+]基伏—1)

则S〃=nc2+P2

L"=lJL>=1

+])(〃-1)

=nc~2+〃2c-•-p+5p)

3

7—I/-\2F--H2-1f

=nc2+〃(?•(”)+----(np)=〃厂+〃<:•〃+-----a

3n3〃

又由于卜卜W=H=Lc与"的夹角为120。，

九2]_5/_2

则S=n—〃+

23〃6〃

(6)设£,B是两个不共线的非零向量(feR)

①记丽=£,OB=tb,OC=^+b),那么当实数,为何值时，A、B、C三点共线？

②若忖=忖=1且2与分夹角为120°,那么实数%为何值时限-词的值最小？

解：①A,B,C三点共线知在在实数4,使反=2函+(1-2)砺，

即g(a+5)=2a+(l-2)区，则2=：,实数f=；.

②〃.心即可归⑵嗔-3,

则忖-工匹『=2一+/.从-2》・£・万=*2+工+1,当x=-g时，卜-x可取最小值日■.

(7)设平面内的向量函=(1,7),05=(5,1),丽=(2,1),点尸是直线OM上的一个动点，求当

丽・丽取最小值时，。户的坐标及/4PB的余弦值.

解：设。户=(x,y).由于点尸在直线OM上，则。户与0瓶共线，而OA/=(2,1),

10

贝ijx-2y=0即x=2y,有丽=(2y,y).

由于⑸=函_而=(J2y,7-y),PB=OB-OP=(5-2y,1-y),

贝lj丽丽=(l-2y)(5-2y)+(7-y)(l-y)

=5/-20y+12=5(y-2)2-8.

从而，当且仅当y=2,x=4时，丽・丽取得最小值-8,

此时方=(4,2),丽=(-3,5),丽=(1,-1).

于是|闸=扃，卜@=也，雨.方=(-3)xl+5x(-l)=-8,

PAPB-84V17

则cosNAPS二

网•回用.近17

3三角

三角求值

(1)己知cos(x-?TC3兀,求sin[x-(

TF,Ae,sinx,cos2x的值

答案：-7/25

(2)如图，在平面上，点A(l,0),点6在单位圆上，ZA(9B=6>(O<6><7i).

①若点34求tan(26+?7c的值；

②若苏+为=无，四边形QACB的面积用Se表示，求跖+0配灰'的取值范围.

答案：①-31/17②0<与+%・%(亚+1

,八「心718

(2)已知]va<»,tana-cota=-§

①求tana的值；

②求sin2a—1的值。

4

答案：—3.和—

5

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值域、最值

⑴已知函数小)=G—+sin3x+冬求/⑴的最小正周期，并求小)在区间

7TTT

上的最大值和最小值.

_64.

答案：最大值为1+逝，最小值为出.

(2)已知函数/(x)=sin］cosW+J^cos2m.

①将/(x)写成Asin(5+。)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

②如果△ABC的三边a、b、c满足b'ac,且边b所对的角为x,试求角x的范围及此时函数/(x)的

值域.

答案：@x=-^--(ZreZ)®/(x)e［sin—+—,1+—］

22922

(3)已知函数/(%)=85(的+。)(。＞0,0«。＜乃)是口上的奇函数，且最小正周期为

①求夕和。的值；

②求g(x)=/(x)+6/(x+工)取最小值时的x的集合。

4

答案；.6?=2^=—”的集合为卜卜=左左+5,％ez}

(3)已知a为实数，函数/(6＞)=sin(9+a+3,g(6＞)=地二"(6eR).

sin6+1

①若/(0)=cos。，试求a的取值范围；

②若。＞i,求函数/(e)+g(e)的最小值.

答案：①a范围是［-3-夜,-3+忘］.②空土

2

单调性

(1)已知函数g(x)=』sin2x_3cos2x+l,xeR,函数,⑴与函数8⑴的图像关于原点对称

①求y=〃x)的解析式；

②求函数在［0,句上的单调递增区间.

答案：①f(x)--sin2x+—cos2x-l,XGR.②［0,2］和［二肛乃］.

221212

12

(2)已知函数/(x)=cos?(x+自)，g(x)=1+gsin2x.

(1)设X。是函数y=/(x)的一个零点，求g(x())的值；

(2)求函数〃(x)=/(x)+g(x)的单调递增区间.

57r7T

答案：(1)5/4(2)kit——,lai+—(ZeZ).

1212

三角图像

(1)若将函数片2sin(2户g)的图像向右平移［个周期后，所得图像对应的函数为

(A)片2sin(2x+~1)(B)片2sin(2x+可)(C)尸2sin(2x-彳)(D)尸2sin(2x--y)

答案：D

(2)已知函数/(x)=sin3x+e)3>0，M<g,x=-?为/(x)的零点，%=£为丁=/(幻图像

的对称轴，且/(X)在单调,则①的最大值为()

(A)11(B)9(C)7(D)5

答案：B

(3)函数y=Asin(3X+0)的部分图像如图所不，则

JIJLTT,,JI

(A)y=2sin(2x---)(B)y=2sin(2x---)(C)y=2sin(2x+—)(D)y=2sin(2x+—)

6363

答案：A

(4)已知函数/(X)=$1112皇+(5111口¥—>0),%£R.若/(X)在区间

(肛24)内没有零点，则G的取值范围是()

⑴用⑻吟U[|』)(C)(o,|j⑺畤吗|]

答案：D

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(5)定义在区间[0,3n]上的函数*sin2x的图象与尸cosx的图象的交点个数是▲.

答案：7

解三角形专题

(1)a、b、c分别是锐角△48C的内角4、B、C的对边，向量p=(2-2sin4cosJ+sinZl),

<7=(sin/l-cos/i,1+sinJ),且p//q.已知a=J7,面积为之/,求6、c的大小.

\b=3\b=2

答案：《或《

c=2[c=3

TT

(2)设三角形ABC的内角4B、。所对的边长分别是a、b、c,且3=—.若/XABC不是钝角三

3

角形，求：(1)角C的范围；(2)口的取值范围.

答案：(1)——(2)[1,41

62LJ

(3)在AABC中，a2+c2=b2+\/2ac_

(1)求的大小；

(2)求0cosA+cosC的最大值.

7T

答案：(1)—；(2)1.

4

国课堂练习■:I

1.设Q>0/>0,则以下不等式中不怛.至的是()

A.(a+b)(—+—)>4B.a3+Z?3>2ab2

ab

C.a~+h~+2N2a4-2Z?D.yj\ci—b\N-yju-y[h

答案：B

2.若关于X的不等式(1+/口〈24+4的解集是M,则对任意实常数女，总有()

A.2eM,OeMB.2gM,OgMC.2WM,OgMD.2任M,OeM.

答案：A

14

3.已知函数f（JC）=log“x（a>0,且aW1）,[0,+°°）.若为,忿《[0,+°°）,判断5[/（X））+f

（X2）]与）的大小，并加以证明.

答案：见解析

【解析】f（XI）+f（X2）=10gflX|+10^0X2=10g0X1,X2

*.*X|>0,X2>o,'.X\•X2W（-...-）2（当且仅当X1=X2时取"="号）

2

,L+X7c1M

当。>1时，loga（X）•X2）Wloga（-------二）',万log自1工2WlOg”--

即5[/（XI）+f（X2）]W/（X|2"）（当且仅当XI=X2时取"="号）

,X,+x^1X.

当0<4<1时t，log”（X1X2）2log”（--）2,；・5104出122log”-------

即;[/（XI）+f（X2）l河（%）（当且仅当汨=及时取“=”号）

4.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。

经测算，如果将楼房建为x（x>10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X（单位：元）。为了使

楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购

地费用，平均购地费用="鬟鬻）

建筑总面积

答案：见解析

【解析】解：设楼房每平方米的平均综合费用为y元，依题意得

〜八■、2160x10000....，10800.、）、....

y=（560+48%）+-----------=560+48o%+------（x>10,XGN）

.2000%x

Iinonn

解法1：y>560+2J48x-^^-=2000

当且仅当48X=U«2,即x=15时，“=”成立。

X

因此，当x=15时，y取得最小值，｛in=2000元.

解法2：y'=48-粤2,令y=0,即48-10800

=0,解得x=15

Xx2

当%>15时，y>0；当。<尤<15时，y<0,

因此，当x=15时，y取得最小值，八皿=2000元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

高中数学冲刺培优

5.已知定点A(0,I),-I),C(l,0).动点P满足：AP-BP=k\PC^.

(1)求动点P的轨迹方程.

(2)当人=0时，求|2丽+丽|的最大值和最小值.

解：(1)设动点的坐标为尸(x,