高三数学顶层设计前瞻函数与导数热点问题

顶层设计•前瞻

函数与导数热点问题

■■三年真题考情

核心热点真题印证核心素养

2019-III,20;2018.II,21;

利用导数研究函数的性质数学运算、逻辑推理

2018-I,21;2017-II,21

2019.II,20;2019•江苏，19:

利用导数研究函数的零点数学运算、直观想象

2018-II,21(2)

2019-I,20;2018-I,21;

导数在不等式中的应用数学运算、逻辑推理

2017-III,21;2017-II,21

■■热点聚焦突破

教材链接高考——导数在不等式中的应用

［教材探究］(选修2—2P32习题1.3B组第1题(3)(4))

利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.

(3)eX>l+x(xW0)；

(4)lnx<x<e'(x>0).

［试题评析］1.问题源于求曲线y=e”在(0,1)处的切线及曲线y=lnx在(1,0)处

的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数/U)=ex

—x—1与g(x)=x—Inx—1对以上结论进行证明.

2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.

在第(3)题中，用“Inx”替换"x”,立刻得到x>l+lnx(x>0且

X#l),进而得到一组重要的不等式链：e'>A'+1>X—l>ln

尤(x>0且xW1).//4/1

3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.

【教材拓展】试证明：ev—Inx>2.

证明法一设段)=eA—Inx(x>0),

则F(x)=e'—令夕(》)=厘一；,

则”(x)=e，+白>0在(0,+8)恒成立,

所以9(x)在(0,+8)单调递增，

即了(x)=e、一/在(0，+8)上是增函数,

又〃l)=e—1>0,/()=#—2<0,

.•./(x)=eT在&1)内有唯一的零点.

不妨设/(%o)=0，则e'o=；,从而无o=ln；=—Inxo,

X。4()

所以当X>X()时，，(x)>0;当0<X<A()时，/(x)<0.

.,./(jc)=ev—Inx在x=xo处有极小值，也是最小值.

.'.y(x)min=/(xo)=e*o-lnxo=1+xo>2,XO上,1

故ev—Inx>2.

法二注意到e、2+x(当且仅当x=0时取等号)，

x-121nx(当且仅当尤=1时取等号)，

.".e'+x—1>1+x+lnx,故e、-lnx>2.

探究提高1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点

尤0G(3，1)；(2)确定e%=(,xo=-Inxo的关系：(3)基本不等式的利用.

2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.

【链接高考】(2017•全国III卷)已知函数/U)=lnx+af+(2a+l)x.

(1)讨论处1)的单调性；

3

⑵当。<0时，证明兀T)W—Q—2.

(1)解危)的定义域为(0,+8),

1,,,(2QX+1)(X+1)

且f(x)=~+2ax+2a+1=----------------

若则当x£(0,+8)时，/。)>0,

故ZU)在(0，+8)上单调递增，

若a<0,则当xW(0,一/)时，/(")>0;

当尤七(一古，+8)时，/(x)<0.

故於)在(0,一切上单调递增，在(一表，+8)上单调递减.

⑵证明由(1)知，当。<0时，段)在尸一击处取得最大值，最大值为

M—刽T一卷

所以危)等价于ln(O_L》_12,

即

设g(x)=lnx—x+1,则g〈x)=:—1.

当xW(0,1)时，g'(x)>0；xW(l,+8)时,g，(x)<0.

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

故当x=l时，gQ)取得最大值，最大值为g(l)=0.

所以当x>0时，g(x)W0,

从而当。<0时，In(—=)+=+1<0,

3

故.*x)W一石一2.

教你如何审题——利用导数研究函数的性质

【例题】(2019.全国II卷)已知函数,*x)=(x—l)lnx—x—l.

证明：(1次x)存在唯一的极值点；

(2V(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

［审题路线］

判断求导数分析/'(4)单调递增求、

、极值,…突破、/'(,)在(°」+8市唯一零点却

研究\由(1)及零点存在定理

函数

在(%.+30)有唯一零点a

/U)

零点

关系7V%广>/(！)=喈N得)了

［自主解答］

证明(1)/U)的定义域为(0,+8).

x—1］

/(x)=~^~+lnx—1=lnx~~.

因为y=ln光在(0,+8)上单调递增，y=:在(0,+8)上单调递减,

所以/(X)在(0,+8)上单调递增.

1In4—1

又了(1)=一1<0,/(2)=ln2-2=—>0,

故存在唯一刘£(1，2),使得/(M))=0.

又当x<xo时，f(x)<0,八%)单调递减，

当x>xo时，f(x)>0,次幻单调递增，

因此，.於)存在唯一的极值点.

(2)由⑴知人必)勺⑴=-2,又4e2)=e2—3〉0,

所以/(x)=0在(祀，+8)内存在唯一根》=九

由a>xo>l得:

又m1_1_]=3=0

)aaa

故!是/U)=0在(0,xo)的唯一根.

综上，,*x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

探究提高1.利用导数研究函数的性质是历年高考的重点、热点，涉及的主要内

容：(1)讨论函数的单调性；⑵求函数的极(最)值、极(最)值点；(3)利用性质研究

方程(不等式).考查数学运算、逻辑推理、直观想象等教学核心素养.

2.本题求解的关键是明确函数的极值点与函数零点之间的联系，充分运用函数的

单调性、极值、零点存在定理综合求解，善于把函数的零点转化为方程根的问

题.

【尝试训练】(2018•全国I卷改编)已知函数,/(x)=：—x+alnx.

(1)试讨论函数兀r)的单调性；

(2)设XI,X2是的两个极值点，且X2>X”设y(X2)—(a—2)(X1—X2)，试

证明r>0.

⑴解危)的定义域为(0,+8),

x2—ar+1

7

x2

(i)若。<2,则/(©WO,

当且仅当。=2,x=l时/(尢)=0,

所以«x)在(0,+8)上单调递减.

(五)若〃>2,令/(%)=0得，

Q——4少—4

x=2或x=2•

当出0,伫坐三|u©p,y｝寸，/W<0；

当笆习时，3

所以加)在(0,匕唱习,件零三，+8)上单调递减，在

『当三，里雪习上单调递增.

⑵证明由(1)知，兀r)存在两个极值点时，当且仅当02.

由于火x)的两个极值点xi,X2满足f—ax+l=0，

所以X1X2=1.

又因X2>Xl>0，所以X2>1.

又Z=/(-Xi)-Xx2)-(a-2)(x1~X2)

=————(xi—%2)+«(lnxj—InX2)—(a-2)(xi—%2)

~X\+x2=~a~+21nX2-X2

设9(%)=1—%+21nx,x>l.

由第(1)问知，8(%)在(1,+8)单调递减，且贝i)=o,

从而当x《(l,+8州寸，9(x)v().

所以，+21nx2一12<0，故/>0.

满分答题示范——利用导数研究函数的零点问题

【例题】(12分)(2019•全国H卷)已知函数凡r)=lnx一—.

(1)讨论式X)的单调性，并证明人X)有且仅有两个零点；

(2)设项是_/(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(xo，Inxo)处的切线也是曲线y

=e*的切线.

[规范解答]

(1)解的定义域为(0,1)U(L+°°).

12

因为/(九)=1+4亍〉。,

所以/U)在(0,1),(1,+8)单调递增..............2,

e+1e2+1e2—3

因为式e)=l—u<0,Xe2)=2—/』==>0,

所以7U)在(1,+8)有唯一零点汨(e令I<e2),

即加i)=0...............4'

又。/[)=一也汨+三=|=-/0；1)=0,

人117A]1

故兀t)在(0,1)有唯一零点;.

综上，Hx)有且仅有两个零点..............7

(2)证明因为:=e,%，

人0

所以点B(—Inxo，§在曲线y=e*上..............8，

由题设知式xo)=O,即也次=岩，

1J_xo+1

故直线AB的斜率k="°丁'°="）一；10'

—inxo—x（）xo十1xo

-7—xo

x（）-1

又曲线了=&丫在点In•，处切线的斜率是(，曲线y=lnx在点A(x(),lnx())

处切线的斜率也是C，

所以曲线y=Inx在点A(x(),Inx())处的切线也是曲线y=ev的切

线...............12，

「高考状元满分心得］

❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导

正确，判断单调性，利用零点存在定理，确定零点个数；第(2)问中，由《期)=0

定切点求切线的斜率.

❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，

求出人处的定义域，/(幻在(0,十8)上单调性的判断；第(2)问中，找关系In配=

叫，判定两曲线在点8处切线的斜率相等.

出一1

❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第⑴问中，求导/(©

准确，否则全盘皆输，判定U=-Axi)=0.第(2)问中，正确计算以8等，否则

不得分.

构建模板

仓)...求/(,)的定义域.计算/'(.r)

I

...由/(.r)在(1.+」)上的单调性与零点存在定

,理.判断八才)在上有唯一零点

♦

……证明./什)=0,从而/(.r)在定义域内有两

个零点

山第(1)问,求直线AB的斜率k^—

*

i

求y=eJ在点八、B处的切线斜率A=’.得证

①0

I

检验反思.规范解题步骤

【规范训练】(2019•全国I卷)已知函数_/(x)=sinx—ln(l+x),/(x)为段)的导数.

证明：

(D/V)在区间(一1，翡在唯一极大值点;

(2求%)有且仅有2个零点.

证明(1)易知/(x)=cosX一，二，设g(x)=/(x)，

贝Ug(X)=COSX-R：g'(x)=—sinx+(1+x)2・

当xe(-1,1时，g(x)单调递减,而g@>0,g俳0,可得g(x)在(一1,野有

唯一零点，设为a.

则当1,a)时，g，(x)>0；当xe(a,劈时，g<x)<0.

所以g(x)在(一1,a)单调递增，在(a,哥单调递减，故g(x)在(一1,期存在唯一极

大值点，即/(X)在(一1，胃存在唯一极大值点.

(2)/0)的定义域为(-1,4-oo).

①当xG(-l,0］时，由(1)知，/⑴在(T,0)单调递增，而/(0)=0,所以当

%e(-l,0)时，/(x)<0,故7U)在(一1,0)单调递减.

又火0)=0,从而x=0是/U)在(-1,0］的唯一零点.

②当xG(0,方时，由⑴知，/(x)在(0,a)单调递增，在，，,单调递减，而/(0)

=0,用<0,所以存在蚱(a,，，使得/@=。，且当xG(。，6)时，/W>0;当

xC伍习时，/(x)<0.故段)在(0,夕)单调递增，在,，,单调递减.

又10)=0,福-)=1—ln(l+驾>0,所以当5时，“x)〉0.从而，段)在

(0,上上没有零点.

③当XG®兀时，/a)<o,所以加)在俘兀)单调递减.又局>o,加)<o,所以於)

在俘兀有唯一零点.

④当(无，+8)时，ln(x+1)>1.

所以/(x)<0,从而4x)在(兀，+8)没有零点.

综上，/(x)有且仅有2个零点.

■n热点跟踪训练

1.已知函数7(x)=lnx—or2+x有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

解令g(x)=lnx,h(x)=a)c-—x,

将零点问题转化为两个函数图象交点的问题.

当aWO时，g(x)和近幻的图象只有一个交点，不满足题意；

元+Inx

当«>0口寸，由\nx—co^+x=Q,得a=一孩一.

x+Inx

令4x)=f—,则r(x)的定义域为(0,+0°).

(1+3*—(ln龙+龙)-2xj21

则r'(x)=~一-——----------=—^—",易知41)=0,

当04<1时，，(x)〉0,r(x)是增函数，

x~\~Inx

当x>l时，，(x)<0,r(x)是减函数，且一p->0,

r(x)max=KD=l,所以0<a<l.

故实数”的取值范围是(0,1).

2.(2020・烟台检测)已知函数兀x)=n2e*—%2.

⑴若〃2=1,求曲线y=/(x)在(0,犬0))处的切线方程；

(2)若关于x的不等式y(x)2x(4—〃靖)在［0,+8)上恒成立，求实数机的取值范围.

解(1)当初=1时，.*x)=e*—x2,则./*(x)=ex—2x.

所以<0)=1,且斜率女=7(0)=1.

故所求切线方程为y—l=x,即x—y+l=0.

(2)由加e"—x22x(4一机e9得mev(x+1)x2+4x.

(/+4x)

故问题转化为当xNO时，加士(Y+1)L

人f+4元

令g(x)=e、G+1),

(x+2)(f+2x-2)

则g'(x)=

(x+1)2ex

由g'(x)=O及九20,得尤=小一1.

当x£(0,小—1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

当xe（小一1,+8）时，g，（x）<0,g。）单调递减.

所以当X=/—1时，g（X）max=g（S—l）=2e「q\

所以〃?22eL正即实数m的取值范围为［2/一/,+-）.

3.（2020-郴州模拟）已知函数兀r）=ex（ax1+x+a）（a20）.

⑴求函数4x）的单调区间；

（2）若函数人》）或8（加+2幻+1恒成立，求实数a的取值范围.

解（1）函数/U）的定义域为R，

且/（x）=（ax+a+1）（x+1）e”,

①当a=0时，/（x）=e'r（x+l）,当x>—1时，/（x）>0,当尤<—1时，/（x）<0,

所以函数7U）的单调增区间为（一1，+8）,单调减区间为（一8,—1）,

②当a>0时，/（x）=a（x+l）Q+若Je*,则方程/（x）=0有两根一1,一V，且

所以函数/U）的单调增区间为（一8,一然1）和（—1,+8）,单调减区间为

综上可知，当a>0时，函数_/U）的单调增区间为（一8,一吟口和（―1，+8）,

单调减区间为（一中，一1）;

当a=0时，函数y（x）的单调增区间为（一1,十8）,单调减区间为（一8,—1）.

（2）函数/^）^^（加+2%）+1恒成立转化为aWx+"在R上恒成立.

1e*—1

令/?（幻=%+£，则易知/i（x）在（0,+8）上为增函数，在（-8,0）

上为减函数.

/l（x）minh（0）=1>则aWl.

又由题设a20,

故实数a的取值范围为［0,

4.（2020-州调研）设函数（a—l）x—alnx.

(1)讨论函数yw的单调性；

(2)已知函数式X)有极值加,求证:〃2<1(已知lnO.5Q—0.69,ln0.6^—0.51).

ax2—(a~1)x~a(x+1)(x—a)

(1)解f8=x—(a—1)--=-="(x>0),

当aWO时，/(x)>0恒成立，所以./U)在(0,+8)上单调递增.

当a>0时，解/(x)>0得x>a,解./*(x)<0得0<v<a.

所以«x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

综上，当aWO时，/U)在(0,+8)上单调递增.

当a〉0时，«幻在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

⑵证明由(1)知，。>0时，的极值加=/(a)=—Jp+q—0na.

所以/(a)=-a—lna,/(a)=0有唯一实根记为ao.

因为ln0.5<—0.5,In0.6>-0.6,所以aoG(O.5,0.6).

且犬。)在(0，ao)上递增，在3)，+8)上递减.

所以，”=八。)。*幽))=-+a。一aolnao

<—^aS+6Zo+«S=^a8+tto<^XO.62+O.6=O.78<l.

故m<\成立.

5.已知,*x)=lnx—ax有两个零点X”X2.

⑴求实数a的取值范围；

(2)求证：xi-%2>e2.

A=11~ax

⑴解/(x)=~-a=—^(x>0),

①若aWO,则/(x)〉0,不符合题意；

②若a>0,令/(x)=0,解得x=[.

当xW(0,时，/(x)>0；

当尤eg,+8)时，/(*)<().

由题意知>U)=lnx—ax的极大值1>0,解得0<。<；.

Clc

所以实数a的取值范围为

⑵证明因为yu)=—a<0，所以1<X|<^<X2.

构造函数"(x)=£+x)-/Q-x)

=ln(}+x)-ln|1J-2g0尾

112a3f

9

H'(vx)=+-j-2Q-2->0

I.1-\-crx-

一a十九a-x

所以H(x)在(0,1J上单调递增，

故H(x)>H(0)=0,即x).

〜1公21

由1ale/<X2，知尤1>7

故加2)=©)=£0为))%+卜制))=6汨

因为巩X)在，，+8)上单调递减，

22

所以X2>~~Xl,即Xl+X2>~.

故InxiX2=ln九i+lnx2=a(xi+x2)>2,即xi-%2>e2.

6.(2020•北京东城区调研)设函数/(x)=xl