高三数学二轮复习18数列、不等式

易错点-数列、不等式

专题综述

数列在高考中可以是客观题，也可以是解答题，客观题一般突出小、巧、活，解答题一般

考查数列的通项与求和，难度不大；

不等式主要考查不等式的应用，一般为客观题，其中基本不等式也有可能与解三角形及解

析几何交汇出现在解答题中.

专题探究

Sn与an关系不清致错

求前n项和时项数不清致错

数列与函数的关系不清致错

对不等式基本性质理解不透致错；二71一

数列、不等式

等差数列、等比数列混合运算时致错

基本不等式应用不当致错

不理解数列的函数性质致错

探究1”,与％关系不清致错

易错警示己知数列｛%｝的前〃项和S",求通项％与sn的关系中,4=s„-S“T成

立的条件是〃22,求出的％中不一定包括%,而%应由q=S1求出，然后再检验％是否

在％在

典例12

（2021福建省福州市期中）若数列｛an｝的前n项和Sn=n-3n-l,则

册=___•

【规范解析】

当n=1

时，

解：根据题意,数列｛an｝的前n项和Sn=M—3n—1,

G二S1,

当n=1时，%=Si=1—3—1=—3,

当nN2

当n>2时，Qn=Sn一Sn_!

=n2—3n—1—(n—l)2+3(n—1)4-1=2n-4,

n=1时，的=-3不符合,

故斯={2n-4,n>2,故答案为：｛2n-4,n>2,

变式训练1（2021湖南省单元测试）数列｛an｝的前n项和是Sn，%=1,a-0,3Sn=

。九即+1+1，若郁=2020,则卜=

探究2:数列与函数的关系不清致错

易错警示数列的通项公式、前〃项和公式都是关于正整数n的函数,要善于从函数的

观点认识和理解数列问题.如求数列中的最值、利用函数单调性求解数列问题,要注意”的取

值不是连续实数，但考生很容易忽视〃为正整数的特点,或即使考虑了«为正整数,但对于〃

取何值时,能够取到最值求解;H错.

典例2

（2021辽宁省沈阳市期中）等差数列｛斯｝中，%>0,3a8=5的3，bn=

anan+lan+2'表示办的前n项和，当71取（）时％最大.

A.17B.18C.19D.20

【规范解析】

解：公差为d的等差数列｛an｝中，3a8=5的3,

整理得：3（%+7d）=5（的+12d）,

化简得的=-弓乙所以d<0，

所以的1=—yd4-(n-l)d=(n-20.5)d,

数列是自变量n

an+1=(n—19.5)d,an+2=(n—18.5)d,为正整数的函

数，求和的最

3

所以bn=anan+1an+2=(n-20.5)(n-19.5)(n—18.5)c;.

大值，关注项

由于dV0,bn=anan+1an+2fSn表示心的前几项和，的正负变化序

号，由n的值验

n<18时，bn>0,

证即可.

n=19时，与9=(-1.5)x(-0.5)x0.5d3=-d3<0,

33

n=20时，b20=(-0.5)x0.5x1.5xd=--d>0,

n>bn<0,且瓦9=-620，则S]8=S20>S19,

故当n=20或18时，S"最大.故选：BD.

变式训练2(2021江苏省扬州市单元测试)已知数列｛即｝满足：的=；，即+i=|即

4Z

1.

(1)求证数列｛即-2｝是等比数歹U：

(2)若数列｛九｝满足垢=2n+2,an,求｛,｝的最大值.

探究3:等差数列、等比数列混合运算时致错

易错警示在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的通项公式、前〃项和公式是

解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向.且若等比数列｛an｝的各项为实数，则

6,%,。5,…，42,1，…同号，。2，"4M6,…,…同号•

典例

3(2021江苏月考)在公差不为0的等差数列｛即｝中，的,a2,%,ak2,成公比

为4的等比数列,则&=()

A.84B.86C.

88D.96

把握等差数列、

【规范解析】

等比数列的通项

公式，解得基本

解：设等差数列｛即｝的公差为d，且____________

因为由,a2,akl,ak2,成公比为4的等比数列，

所以。2=4%,所以ai+d=4ai，得d=3的,L.

所以％=44al=256%,所以的4-&-l)d=256al

|即&-1)-3al=255%,解得自=86.

I____________________________________________________

故选：B.

变式训练3(2021辽宁省沈阳市期中考试)已知｛a"是公比为q的等比数列，且|53是

S],2s4的等差中项，则q=()

A--IC.-1D.1

探究4:不理解数列的函数性质致错

易错警示数列是特殊的函数，但函数的性质在数列中仍然成立，如单调性、周期性等,

把握数列的函数性质，可以解决数列的项、前“项和等问题.

典例4（2021福建月考）在数列｛Qn｝中，%=1,。2=2,an+2=an+1-anf则｛an｝的

前2021项和为

【规范解析】

解：数列｛即｝中，的=1,a2=2,。n+2=Qn+i一即，由具体项的

结果得到数

则：=。2—=1，

列具有周期

a4=a3—a2=-1,性，由此性

质解得数列

a5=a4—a3=—2,

的前2021

。6二曲一=—1，项和

Q7==1，•••

所以：数列的周期为6,且%+g+。3+。4++“6=

数列5｝的前2021项和为:

（%+。2+。3+。4+。5+a6）-----（@2011+a2012+a2013+£014

+。2015+02016）+。2017+@2018+a2019+a2020+a2021

=0+0+…+0++。3+。4+。5）=1+2+1—1—1.

故答案为：1.

（2021｛a｝=J,1=1

变式训I练4山东省淄博市单元测试）已知数列n的首项的即+-十，

/an

贝U@2021=

探究5:求前〃项和时项数不清致错

易错警示数列求和常用的方法有公式法、倒序相加法、分组（并项）求和法、裂项相

消法、错位相减法；含有（-1）”的数列求和，一般用分组（并项）求和法，且要分〃为奇数与

偶数进行讨论,对每一类的讨论要在前提条件下进行.用裂项相消法求和时,要对通项进行变

换,如：后为二=（听前一而，裂项后可以产生连续相互抵消的项,但抵消后并不一

定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.错位相减法的过程同学们

都会，但由于步骤繁琐，计算量大导致漏项或添项以及符号出错等.

典例

5(2021河南省郑州市单元测试)若等差数列Q｝的前n项和为之，a5=9,S5=

25.

(1)求数列｛即｝的通项公式及前n项和Sn；

n

(2)设垢=(-l)5n.求｛既｝的前项和

【规范解析】

解：(1)由题意，Ss=%止也=%至=5。3=25，即。3=5,

设等差数列｛an｝的公差为d，贝Q=q=三=2，

5-32

I

I

・•・Q=%+(九-3)•d=5+2(n—3)=2n—1.

n।

।

则a[=2X1—1=1，...s,=nU+(2n-l)]=九2.

含有(一1)的数列

(2)由(1)知，%=(-1)”朴=(-1)，2,求和，用并项求和

I法，且分〃为奇数

①当n为偶数时，Q=瓦+B+…+匕

与偶数进行讨论

=-I2+22-32+42--------(n-I)2+n2

=(22-I2)+(42-32)+…+[n2-(n-l)2]

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4—3)+4-[n+(n-1)][n-(fi

।_______

-1)]

Ql

I

=l+2+3+4+“・+(n-l)+n=

I

②当n为奇数时，及=瓦+⑦+…+%

=-l2+22-32+42--------(n-2)2+(n-l)2-n2

=(22-l2)+(42-32)+…+[(n-l)2-(n-2)2]-n2

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4—3)4-…+[(n-1)+(m-2)]^(n-1)—(n—2)—n2

1

=1+2+3+4+…+(TI—2)+(TI-1)一九2=—"｝i),

•1

J综上所述T可得严若段一

变式训练5(2021湖北七校联考卷)等差数列｛a,J的公差d不为0,满足。5=13,%,

心，成等比数歹U.数歹岫“｝满足氤+氤+氤+…+•=A

(1)求数列｛an｝与｛%｝的通项公式；

(2)若％=即%，求数列｛7｝的前几项和2.

探究6:对不等式基本性质理解不透致错

易错警示在判断不等式大小或解不等式时，对不等式基本性质中的条件没有准确理解,

造成错解，如很多条件是“正数不等式”，同向不等式不能相减、相除；高次不等式、分式

不等式、无理不等式等其它不等式在求解时注意它们的等价变形，不能漏解或增解.

典例6（2021江苏省无锡市单元测试）对于实数a,b,c,下列命题

是真命题的为（）根据不等式的

基本性质判断

A.若a>b,则，<2B.若,则42..儿2

选项，也可以

ah

代值检验

C.若a>O>b,贝ija2V—abD.若c>a>b>0,则

ab

---->-----

c-ac-h

【规范解析】

解：A根据。>人，取a=l,b=-l,则,<!不成立，故A错误;

ab

B.a>b,02..0..由不等式的基本性质知a/..尻工成立，故8正确;

C.由a>0>〃，取a=l,Z?=—1,则不成立，故C错误；

D.c>a>h>0,/.(a-b)c>0,BPac>bcf

：.ac—ah>hc—ab,即a(c-b)>b(c-a),

c—a>0,c—Z?>0,/.■a->---,故D正确.

c-ac-b

S：BD.

11

变式训练6（2021江苏省扬州市单元测试）能够说明“若a，则<-----=

a+l[ab+ijb

是假命题的一组非零实数a,b的值依次为

探究7:基本不等式应用不当致错

易错警示利用基本不等式求最值时需保证3个条件：一正二定三相等，特别是等号成

立的条件容易忽略，且多次使用基本不等式时要保证等号成立的条件一致.

41

典例7（2021江苏联考）已知实数m,〃£（0,也）且加+拉=1,则^——十—丁的最

3m+nm+3n

小值为.

【规范解析】

解：令3加+〃=尢，tn+3n=yf贝！Jx+y=4,

41411,41、，、4yA9

..------1------=—I—=—(—I—)(x+y)=-(5H----1—)..；―，

3m+nm+3nxy4xy4xy4

24

当且仅当％=2y,x+y=4,即x=§,y=§,

即6=25,〃=_IL时等号成立.故答案为：9r.

664

变式训练7（2021湖北模拟）已知正实数a,b满足a+〃=3.

⑴求y/2a+l+V2Z?+1最大值；

14

⑵若不等式02川-b-”,工+%对任意xeH恒成立’求m的取值范围.

专题升华

＞把握等差数列、等比数列的定义，等比数列的公比、基本不等式这些基本

概念、明白常见的陷阱点；

＞理解等差数列、等比数列的性质，数列求和方法，细心计算，注意题干特

殊条件，是避免出错的有效点；

＞重视“分类讨论”；

换元后满足基

本不等式应用

的条件

【答案详解】

变式训练1【答案】1347

【解析】•*,3Sn=anan+1+1,..・3sH_i=an_xan+l(n>2),

两式相减得：3an=an(an+1-即_力，n>2,

,:CLfiH0,Q〃+i—Q/—i=3,nN2,乂=1,3sl—CL^CL^+1,•*,02=2,

停产，九为奇数34_]-3k-2

•・•斯=八二“,田岭，由以=掌=2020,或以=答=2020,(kCN*)

为偶数2z

可解得：k=1347,故答案为：1347.

变式训练2

【解析】(1)证明：因为a“+i-2=|厮—3=|(即—2),«1—2=—^

所以数列｛%-2｝是以-彳为首项，以|为公比的等比数列,所以数列｛厮-2｝是等比数列；

(2)由(1)得即—2=-(|)-1，所以册=2一7(|)"T,

则%=2n+2[2-\•(|)n-i]=2n+3-14x371-1,

nnn-1nn+3n-1n+3n+2

因为“+i-bn=-14-3+2+4+14-3-2+3=2-28-3<2-3

=8-2n-9-3n<9(2n-3n)<0,(n6N*)

所以勾+1<%，即数列｛%｝为递减数列，所以幻的最大值为九=2.

变式训练3【答案】AD

【解析】因为是Si，2s4的等差中项，

所以2x|s3=Si+2s4,即3s3=Si+2s4,变形得：S3-Sj=2S4-2s3,所以a2+a3=2a4,

2

因为数列为公比为q的等比数列，所以上式可化为：a2+a2q=2a2q,

因为等比数列各项均不为0,所以l+q=2q2,解得：9=1或勺=一/故选：AD.

变式训练4【答案】-1

【解析an+1=1-7a-,

乙n

T1«31c.11

a2=1--=-1,a3=1--=2,a4=1

•••数列｛an｝是周期为3的数列，.••a2021=a673x3+2=a2=-l，故答案为:-1.

变式训练5

【解析】(1)由已知谖=的。6,又。5=13故(13-3d)2=(13-4d)(13+d),

解得d-0(舍去)，或d=3,an=a5+(n—5)d——3n—2,故。；，=3n-2.

1,2,3,,nnzrx

■:----------1------------1------------F•••H----------=—(1J

2002bllog2b2log2b3logzbn2

故当n=l时，可知—L_1=>lqb-2,

log2bl=2O"n1

当n22时，可知],+2+3+“.n-i=曰②

log2bllog2b2log2b3log2bn_127

n

①一②得肃f=1=*logzbn=2nbn=4

又瓦也满足e=4n,故当N*时，都有为=4n.

n

(2)由(1)知.=cunbn=(3n—2)x4>

故又=1x41+4x42+•••+(3n-5)x4人】+(3n-