高三数学二轮复习13导数中恒成立与存在性问题

函数与导数一导数中的恒成立与存在性问题

专题综述

函数中的恒成立与存在性问题是高考的考查重点，这部分试题涉及函数方程，逻辑联结

词，导数等知识，运用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想

等多种思想方法.结合导数考查恒成立与存在性问题，试题难度较大，但题型大致可分为：

①已知单调区间，或在某区间上存在单调递增(减)区间nVxe(a”)J'(x)NO(WO)

或土(a,。),/'(x)>0(<0):②利用单调性比较大小n同构思想将式子两则变形为相同

结构，构造函数利用单调性比较大小；③分离参数n构造函数求最值；④含参讨论求函数

最值；⑤图象法.对于部分存在性问题，可从正难则反的角度，将存在问题转化为恒成立问

题，或直接列出不等式解决.

专题探究

探究1:与单调性结合

1.已知单调性n转化为导函数恒成立问题

答题思路：

第一种:①己知函数”X)在区间㈤上单调递增(减)nVx«a,"),/'(x)20(W0)

第二种：②已知函数“X)在区间(。,与上存在递增(减)区间n

i)3x(«,Z?),/,(x)>0(<0)；

ii)转化为函数/(x)在区间(。力)上不存在递增(减)区间即Vxe(a,(x)<0(>0)；

第三种：已知V/q,9e(a,O),X1工々‘""'->加(<加)=>

%1一%2

V%,%e(a,b),不工与，"""'叫一"仇卜皿?]〉0(<0)n即函数

X]—％2

g(x)=,“x)-侬在区间(a㈤上单调递增(间)二>转化为第一种情况

2.已知不等式恒成立n转化为利用单调性解不等式问题

答题思路：同构法

第一步:将不等式两侧变形为相同结构；

第二步:构造函数/(X),则不等式即为./■"(》)]<；

第三步:判断/(x)单调性，得出g(x),〃(x)的关系，即为新的恒成立关系式.(专题1.3.10)

3.抽象函数：/'(X)与/(X)共存问题n构造函数g(x)=判断函数单调性，利用单调性解

不等式(专题1.3.6).

(2021江苏南京月考)已知对任意的工£(1,十8),不等式

h(e"+l)—(』+l)lnx>0恒成立，则正数后的取值范围是()

X

A.(4+8)B.(-,4-00)c.(一,c)D.(―,—)

【审题视点】

不等式中含有6米、Inx,且两部分结构分离，不等式可变形为依(6h+1)>(尤+1)1。%,

eah

联想到同构法的3种基本结构ae”<b\nb,一<---,e"±a<b±\nh，即可以利用同构

a\nh

法，构造函数，利用单调性求参.

【思维引导】

不等式变形为质(e"+l)>(x+l)lnx,再变形为"d'+l)>lnx(/n'+l),构造函数

/(x)=xG+l)，不等式即为丘)>/(lnx).判断单调性，得出质与Inx的关系.

【规范解析】

।1

:解：由％,(e八+1)—(—Fl)lnx>0,xG(1,-J-oo)।1.根据不等式结构确定方法：同

；X।

Ir--构法，选择积型ae"<Mnb；

\fct(*+D>inx(*'+l),i

i

i2.变形方式不唯一：

x

设/(x)=x(e+1),则不等式为f(kx)>/(Inx),①日(*+1)>山为卜巾+1)；

x

又(x)=e，+1+xe,②In"''(e"+l)>lnx(x+l).

当3>1时，/(%)>0恒成立

।

f(x)在R上单调递增，：.利用函数单调性，得出恒成立

11

1r不等式；

Vxe(l,4-oo),kx>\nxj即人>史32.分离参数构造函数求最值.

设g(>%得小)一等,

令g，(x)>0,则1cx<e

g(x)在(l,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

•，•gOOmax=g(e)=一，

e

则上

>g(x)11ml=1，

e

得实数人的取值范围是

故选B.

【探究总结】

同构法解决恒成立问题求参，应先观察不等式，尤其是不等式中含有e\Inx的结构，初步

ab

变形，再结合三种同构的基本模式4/<从口"e幺<心-,，±4<〃±也〃，变形为

aIn/?

y[g(x)]</[/?(%)],必要时涉及放缩.构造函数，利用函数单调性，得出g(x),/?(x)的

恒成立不等号式.

(2021安徽六安模拟)已知函数/(%)=已一，-x-alnx.

(1)当。=一1时，证明：/(x)>L—1有解；

e

(2)若对任意xe(1,+s),不等式/(x),,x"恒成立，求实数〃的取值范围.

探究2：转化为求一个函数最值

恒成立与存在性问题转化为求函数最值的思路：

第一种:分离参数:含参不等式转化为/(x)>g(a)(或f(x)<g(a)),求函数的

最值；

第二种:对不等式化简变形，转化为/(x,a)>0(<())的结构，含参讨论函数单调性，求出最

值；

(2021陕西西安月考)已知函数/(x)=^?(x>l).

(1)当a=0时，求函数“X)的图象在(e"(e))处的切线方程；

(2)若对任意xe(l,+8),不等式/(x).」nx+4恒成立，求实数a的取值范围.(其中e

为自然对数的底数)

【审题视点】

解答题中出现恒成立问题，首先选择分离参数，构造函数求最值；若构造的函数复杂，或

解导数不等式困难，则对不等式作适当变形，构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.

【思维引导】

HY4-4

对不等式二—2In无+4的结构进行变形，〃化分为整”变为

Inx

ar+4-(lnx)2-41nx>0；构造函数，分类讨论函数的单调性.

【规范解析】

解：(1)当a=0时，/(司=£,所以〃e)=4,

此时r(x)=-T4V，故尸,)=一4土

xlnxe

..・在点(e,7(e))处切线方程为y-4=—q(x-e),

4

即y=——x+8.

e

(2)由题意得0¥+4-1/x—41n尤..0对任意%£(1,+8)恒成立

令x=e,得a.1,

^(g(x)=ar+4-ln2%-41nx,xe(l,4-co)

,/、21nx+4构造的函数，一次求导，使参数和1

g⑸=ax，

-———:X分离，便于讨论

设Mx)=21n：+4,则〃(x)=-2(：.力<。，

/z(x)在X£(l,+oo)上单调递减，

/.0</z(x)<4,

①当a.4时，g[x）..O,则g（x）在（l,+oo）单调递增，

1----

参数。的讨论，以秋X）的范围，

g（x）>g⑴="+4>0

r---为依据两种情况讨论，函数单调

②当±,a<4时，存在厮>1使得。=网生吧，性，并求出最值

e/

即映=21nJQ,+4,

--------------------------------,

g（x）在（l,Xo）上单调递减，在伉,+8）上单调递增，

,———隐零点问题，设而不求

1

则g（彳鼠=g&）=%+4-In2X。-4In%..0,

2

所以21nx°+4+4-lnx0-4Inxo..O,

即以3+21na0,-4^lnxQ2,

即1<%,e2,

21nx0+4/,-i

a=---------,不

已知隐零点范围求参，将方程

g'(%)=0,转化为。关于x的

又/z(x)在XW(1,4-00)上单调递减,

函数，求值域

g

,»~a<4,

一更__________

综上所述：ae2,+8

_e-

【探究总结】

解答题中的恒成立问题，经常会构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.对不等式的变

形，尽量使分式化为整式，使函数变为/(/)+g(x)或/(lnx)+g(x)的结构，便于求导

及解导数不等式.

(2021广东广州联考)已知函数/(x)=xlnx+(l-a)x+a

(1)当。=0时，求曲线y=f(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若对任意xe(0,l),不等式/(力>0恒成立，求正整数。的最小值.

探究3：转化为求两个函数最值

1.恒成立或能成立的不等式，转化为上述两种形式，研究一个函数最值时，解导数不等式较

困难，无法明确函数单调性，可以将不等式转化为/(x)<g(x)的形式，转化为求两个函数

的最值进行比较：

2.“V”与“土'共存的命题：

①^^[a,b],Vx2[c,)>g(/)n/(x)^>g(x)1rax；

②％G[a,可，训[c,d],/&)>g(/)=/(x)而口>gGL；

③叫e[a,可，玉力&句,/(玉)>8(%2)=/(%)皿>目(%)；

④叫且区句,虫⑸皿；

V/[c,d],/(xJ>g(/)n/(x)1rax

r(2021湖北宜昌模拟)己知函数/(x)="+eT,其中e是自然对数的底数.

(1)若关于x的不等式〃矿(乃,，",+机-1在(0,内)上恒成立，求实数〃?的取值范围;

(2)已知正数。满足：存在小e[l,+oo),使得/(x0)<a(-x；+3x())成立，求正实数。的取

值范围

【审题视点】

两问都是恒成立或者存在问题，思考方向为分离参数、构造含参函数、比较两个函数最

值，根据不等式特点，选择适当的方法.

【思维引导】

(1)恒成立问题：分离参数构造函数求最值；(2)d+3x),由于

一d+3x符号不确定，排除分离参数；若构造函数丁="+"*—a(—d+3x),其导函数

较复杂，不利于判断单调性；不等式两侧的函数都是能够容易判断单调性的函数，故可转

化比较不等式两侧的函数的最值，求参.

【规范解析】

恒成立问题首先选择分离参数，

思路清晰.若参数前，含x的部

解：(1)由题意得Vxe(0,+oo),"+e*),,e-*+机-1恒成立,

分，符号确定，可以先分离参

数，构造不含参数的函数.函数

即〃?(e*+e-*-1),,e-,-1在(0,+8)上恒成立，

本身能够利用常规方法求最值，

xe(0,+oo),或对于导函数，能够解不等式，

或通过二次求导判断符号，判断

e'+ex-1>0,函数单调性，求出最值即可

即m,,e1对xg(0,k)恒成立.

ex+e~x-1

令"e\t>1),则叫，J7--对任意te恒成立,

r-r+1

IT_________r-1__[_1

t2-t+1+(f-l)+lf[।1।[3

当且仅当f=2时等号成立,

m£(-co,——].

思路：

(2)由题意得设/?(x)=+3x),1.对不等式作适当变形，观察不

等式结构；

X

则当X«1，”)时>/()nli„<心)1rax2.明确解题方法：单调性法、分离

参数、含参讨论、比较两个函数的

又尸(x)=e*-e-*最值，结合不等式结构，逐个排

除，选择合适的方法.

当x..1时，f(x)>0,

.•./。)在口,+0。)上单调递增,

・•・/(X)min="l)=e+:

令h(x)-。(一/+3x),"(x)=a(-3x2+3)=-3a(x2-1),

a>O,x.A,

.,.”(x),,0,即人(%)在X£[l,+o。)上单调递减,

，〃(力皿=〃⑴=2。

1c

H—<2。，

e

即ae(—+—,+oo).

22e

【探究总结】

恒成立与存在性问题求参，首先要根据不等式结构选择合适的方法，确定解题方向.将不等

式两侧“合二为一"时，难以判断函数单调性，则将不等式“一分为二”，若不等式左右

两侧结构一致，则利用同构法解决，若结构不一致，则分别求两个函数的最值.

2

KiNS3(2021江苏镇江模拟)己知函数/(x)=x+?g(x)=-x-In(-x)其中

(1)若x=l是函数/(x)的极值点，求实数4的值及g(x)的单调区间；

(2)若对任意的％现e[-3,-2]使得/(xj..g(x2)恒成立，且一2<。<0,求实

数〃的取值范围.

专题升华

利用导数解决恒成立与存在性问题，往往试题难度属于中高档题，题型涉及选择题、填空

题和解答题，方法灵活，综合性强，是高考的热点和难点.解题时，要善于转化恒成立与能

成立的不等式，才能“拨开云雾见天日”,从导数知识点的角度看：

导数的几何意义：求出直线与函数图象相切时的斜率.若题干不等式能够转化为

/（刈＜依+匕=数形结合，从图象的角度理解为函数/（X）的图象在直线丁=米+人的下

方，即求出直线与函数图象相切时的方程，从而求出参数的取值范围，作图时，需借助导

数判断函数单调性.

导数研究单调性：（1）导数的符号决定原函数的单调性，若已知函数/（x）在区间（a力）

上单调二＞转化为导函数的恒成立问题；若已知函数/（x）在区间（a,3上存在单调区间n

转化为导函数的存在性问题；（2）利用单调性比较大小：①抽象函数n利用了'（X）与

/（X）共存的不等式构造函数，判断单调性；②同构法n不等式变形为

/[g（切＜/]〃（初判断"X）的单调性,得出关于g（x）,7?（x）恒成立或能成立的不

等式.

f{x）＜a

利用导数求最值：恒成立或能成立的不等式=变形为（/（x,a）＜0,由不等式的形式

f（x,a）＜g（x）

灵活的选择适当的方法即分离参数构造函数求最值、含参讨论函数最值、比较两个函数的

最值，求出参数取值范围.

【答案详解】

变式训练1

【解析】(1)证明：•.•当a=—1时，f(x)=e-x-x+\nx(x>0),

^g(x)=ex-x-xex(x>0).

则g'(x)=e*-1-(x+l)e*=-xex-1<0,

g(x)在(O,+8)上单调递减.

又g(0)=l>0,g(l)=-l<0,

.•.%e(O,l),使得g(Xo)=O.

当XG(O,Xo)时，g(x)>。，则/'(X)>O,

当xe(Xo，+oo)时，g(x)<0,则/'(x)<0,

/(x)在(O,/)上单调递增，在(%,+o。)单调递减

・・•〃力2=/小)，故〃不)>〃1)=：一1，有解.

(2)解：对任意xe(l,〃)，不等式/(%),,/恒成立，即，、一不一。山匕£恒成立,

即e~x-x,,a\nx+xa,

即e-'-x,e"®*+〃Inx恒成立.

令力(x)=e*+x,则上式即为:/?(-%)„/z(tzlnx).

"(x)="+l>0,.-/(x)为R上的增函数，

,a\nx.

・「x>1,~~ciW-.

Inx

令f(x)=W",xe(l,+8),则/(x)=Mx

Inx(in%)'

当«力>0时，x>e

.■/(x)在区间(l,e)上单调递减，在区间(e,+8)上单调递增,

•,，(文小(…

:.a..-e,即实数。的取值范围是［—e,+8).

变式训练2

【解析】解：(1)当。=0时，f(x)=x\nx+x9

-，•/z(x)=lnx+2,/./'(I)=2，

又/⑴=1，

・•.所求切线的方程为y—1=2(X—1),即为2尤-y-l=0,

(2)当0<x<l时，〃x)>0即a>“nx；x,

A/、xlnx+x、x-\nx-2

令g(x)=-----—>则milg'(x)=—~'

x-1(x-1)

令h(x)=x-Inx-2,则hf(x)=1——,

x

当Ovxvl时，hr(x)<0,

.・./z(x)在区间(0,1)上单调递减

又〃(，■)=4-In1-2=4>0,/z(l)=—1<0

eee~e、/

・・・/z(x)在区间(0,1)上存在一个零点方,

则力(不)=”0-In%-2=0,即In%=x0-2,

・•.当Ovxv%o时,W>0