高考复习10-5抛物线（精讲）（基础版）（解析版）

10.5抛物线（精讲）（基础版）

思傩导由

定义，平面内5一个定点F和一条定直线1（1不经过煮F）的距离相等

的点的软诗

例题剖析

考点一抛物线的定义及应用

【例1-1］（2022.北京.高三开学考试）已知点尸（，",〃）为抛物线C:y2=4x上的点，且点P到抛物线C的焦

点F的距离为3,则加=.

【答案】2

【解析】抛物线C:9=4x的焦点为（1,0）,准线为犬=一1,

因为点P（m,n）为抛物线C:丁=4x上的点，且点P到抛物线C的焦点厂的距离为3,

所以〃?+1=3,得帆=2,故答案为：2

【例1-2】（2022•广西贵港）已知点尸是抛物线C:f=2刀（p>0）的焦点，P（%1）是C上的一点，

附=4,则2=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】由抛物线的定义可知，|PF|=l+5=4,所以p=6.故选：C.

【一隅三反】

1.（2022・河北）若点A（-3,y）在抛物线y2=-8x上，F为抛物线的焦点，则|心|=.

【答案】5

【解析】由题意，知抛物线的准线方程为x=2,力：4到准线的距离为2-（-3）=5,

因为点A（-3,），）在抛物线V=_8x上，故AF的长度等于点A到准线的距离，

所以|AF|=5,故答案为：5

2.（2022.吉林）抛物线V=4x上任意一点P到点M（5,O）的距离最小值为.

【答案】4

【解析】设P（m,〃），则|=J（m-5f+”2,

因为/=4"，所以归-51+/=J*-1OF+25+4〃?=，（加一3）2+1624,当a=3时取得最小值

4,

故答案为：4

3.（2022•河南）已知抛物线＞2=2x的焦点是F,点尸是抛物线上的动点，若A（3,2）,贝“必|+归目的最小

值为，此时点P的坐标为.

7

【答案】:（2,2）

【解析】易知点A在抛物线内部，设抛物线的准线为/,则/的方程为了=-；，过点尸作尸。，/于点。，则

附+阳=附+|叫，当丛_u,即A,P,。三点共线时，附+附最小，最小值为］+3=，此时

点P的纵坐标为2,代入V=2x,得x=2,所以此时点P的坐标为（2,2）.

7

故答案为：（2,2）.

考点二抛物线的标准方程

【例2-1】（2022•湖南）顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为.

【答案】/=+6x

【解析】由抛物线的焦点在"池上，设其方程为V=2内（〃彳0）,

因为通径长为6,所以12Pl=6,所以p=±3,所以所求抛物线方程为丁=±6九故答案为：y2=±6x.

【例2-2]（2022•全国•高三专题练习）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点4,B,交其

准线于点C,若CB=2BF,|AF|=3,则此抛物线方程为

【答案】/=3x

如图，作AE_L准线于E,BD_L准线于O,设忸由抛物线定义得忸4=忸耳=a,

|。用=2忸尸|=2"，故NBCZ）=3O,

在直角三角形ACE中，因为|A£|=|M|=3,|Aq=|AF|+|尸。=3+3匹所以3+3a=6,从而得a=1,

iQa

设准线与X轴交于G,则FG|=；|FC|=],所以0=；,因此抛物线方程为y?=3x.

故答案为：/=3%.

【一隅三反】

1.（2022•西藏）已知抛物线过点A（2,T）,则抛物线的标准方程为.

【答案】丁=8犬或/=-丁

【解析】：抛物线过点A（2,-4）,且点A在第四象限，,抛物线的开口向右或向下.

若开口向右，则设方程为V=2px（p>0）,

•.•过点A（2,-4）,0=4,.♦.抛物线的标准方程为V=8x；

若开口向下，贝D设方程为/=-2py（p>0）,

,••过点A（2,T）,

...抛物线的标准方程为V=-y.

综上，抛物线的标准方程为y2=8x或f=-y.

2.（2022北京）已知抛物线y2=2px（p>0）上一点”的纵坐标为T夜，该点到准线的距离为6,则该抛

物线的标准方程为.

【答案】y?=16x或y?=8x

【解析】由于抛物线的准线方程是彳=-5,而点M到准线的距离为6,所以点M的横坐标是6-当，

于是加（6-与-4夜），代入户2座，得32=2《6-£|,解得p=8或p=4,

故该抛物线的标准方程为/=16x或V=8A-.

故答案为：丫2=16彳或产=8才.

3.（2022.全国•课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为y?=8x的是（填序号）（写

出一个正确答案即可）.

①焦点在x轴上；②焦点在），轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离

为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为

【答案】①③（答案不唯一）

【解析】若要得到抛物线的方程为V=8x,则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选.

若选①③，由抛物线的定义可知1+5=3,得。=4,则抛物线的方程为y?=8x.

若选①⑤，设焦点尸1,0）（p>0）,A（l,—1）,砥「=可，％=-1,由心尸％=-1,得“解

得。=4,故抛物线的方程为y2=8x.

由④可知P=4,故还可选择①④.

故答案可为①③或①⑤或①④.

故答案为：①③（答案不唯一）

考点三直线与抛物线的位置关系

【例3】（2022.西安）已知抛物线的方程为V=8x,若过点Q（-2,0）的直线/与抛物线有公共点，则直线/

的斜率的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-1,O）U（O,1]

C.（―℃,—1]Vj[l,+oo）D.（-00,-l）u（l,+oc）

【答案】A

【解析】由题意知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=Z（x+2）,

代入抛物线方程，消去y并整理，得/x?+（4公-8）x+4/=0.

当A=0时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为0）,显然满足题意；

当&片0时，A=（4jl2-8）2-4Z:2-4jt2=64（l-jl2）>0,

解得一14%<。或.

综上，,

故选：A.

【一隅三反】

1.（2022•黄石市）（多选）过抛物线C:y?=4x的焦点厂的直线,与抛物线C交于A&,y）,8（孙功）两

点,若占+%+占々+%必=°，则直线/的斜率为（）

A.gB.2C.—D.—2

22

【答案】BD

【解析】设直线的方程为丫=上5-1）,联立/=4x得42/-（2&2+4）X+/=0,

所以，△=（2/+4）2-4/>0,x,+x2=^^l,x,x2=l,

k

22

由题得城=43，y2=4孙y：•y2=l6%-y•%=T后E=-4.

因为为+x2+x,x2+NM=0，

4

所以——+1-4=0,.'.2k2+4=3/c2,.\k=±2.

K

满足A>0.

故选：BD

2.（2022.贵州贵阳•高三开学考试（理））已知抛物线C:y?=2x的焦点为尸,4孙〃）是抛物线C上的一点,

若|AF|=|,则△Q4F（。为坐标原点）的面积是（）

A.gB.1C.2D.4

【答案】A

【解析】由题可得因为|AF|=>m+g,所以机=2,“2=4,

所以尸（0为坐标原点）的面积是gxgx2=g.故选：A.

3.（2022•广东高三开学考试）过点。（-1,-2）的两条直线与抛物线Gx?=4y分别相切于46两点，则

三角形为6的面积为（）

A.—B.3石C.27D.侦

22

【答案】A

【解析】抛物线C：x?=4y,即y=故y'=gx,

设AB两点的坐标为AG，X）,网孙力）,则有（用=艺丁整理得%+2y=4,

同理3+2%=4.

故直线A8的方程为x+2y=4,

9

因为点P（-L-2）到宜线AB的距离为〃=

々+22忑'

।927

故三角形PAB的面积为5x3形x不=耳.

故选：A.

考点四弦长

【例4-1］（2022.云南玉溪.高二期末）直线x-6y-l=0与抛物线）、=4x交于A,8两点，则|明=

（）

A.4石B.8C.85/3D.16

【答案】D

【解析】抛物线y2=4x的焦点为（1,0）在直线x-6y-l=0匕故A3是抛物线的焦点弦，则

由卜6”1=0得：/_］叙+1=0,所以，%+%,=14,所以，|M3+w+p=14+2=16

y=4x

故选：D.

【例4-2］（2022•广东•高三阶段练习）己知抛物线C:y2=©的焦点为尸，点A,B是抛物线C上不同两

点,且A,B中点的横坐标为2,则|AF|+|BF|=（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【解析】设A（±，X）,8（X2，%），由A,8中点的横坐标为2,可得％+X2=4,

所以|A尸|+|8尸|=占+1+/+1=6.故选：C.

【一隅三反】

1.（2021•江苏扬州•高三月考）直线y=x-l过抛物线0:/=2夕段5>0）的焦点£且与C交于4E两

点，则|AB|=

【答案】8

［解析】因为抛物线C：丁=2PHp>0）的焦点坐标为/整0），

又直线y=x-l过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F,

所以P=2,抛物线C的方程为V=4x,

［y=x-l,

由•{,”，得Y-6X+1=0,所以％+X&=6,

所以|48|=4+4+P=6+2=8.

故答案为：8.

2.（2021•全国高三（理））已知抛物线C:y2=2px（p>0）,过抛物线焦点厂的直线与抛物线C交于力、6

两点，交抛物线的准线于点尸，若b为9中点，且|AF|=乎，则14冽=()

A2四R40n

3333

【答案】D

【解析】如图，分别过力，6作准线的垂线，垂足