人教版八年级下册二次根式（共77张）

2015年11月北大附中关于《二次根式》的教学思考目录一、《二次根式》一章的教学地位二、《二次根式》一章的核心问题三、《二次根式》一章的教学建议1.在初中课程中的地位和作用？数与式的最终章运算工具性一、《二次根式》一章的教学地位2.对于数学的后续学习的帮助？一元二次方程求根公式二次函数判别式圆相似形锐角三角函数运算工具勾股定理2.对于数学的后续学习的帮助？高中数学函数数列三角函数解析几何立体几何导数算法……CompanyLogo关注章节顺序的变化旧教材新教材第一章有理数第一章有理数第二章整式的加减第二章整式的加减第十三章实数第六章实数第十五章整式的乘法与因式分解第十四章整式的乘法与因式分解第十六章分式第十五章分式第十八章勾股定理第十六章二次根式第二十一章二次根式第十七章勾股定理二、《二次根式》一章的核心问题核心问题1：如何使学生在本章学习中进一步体会代数学的基本思想和基本方法运算是整个代数学的根源所在。代数的基本思路：引入一种新的数，就要研究它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算律。线索：二次根式的概念（定义研究对象）—二次根式的性质—二次根式的运算（运算法则和运算律的应用）新课标老课标

了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．

了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）．课标分析核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养课标规定：了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。这里，“根号下为数的二次根式”的限定是最低要求。为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高运算能力，也为今后高中阶段的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，让那些学有余力的学生能学到“根号下为字母的二次根式”的运算。要注意

和

不是同类二次根式,

已经是最后结果了,对于同类二次根式概念不清的学生经常会得

，所以我个人认为，如果教学时间允许最好还是把同类二次根式的概念给学生，能够避免许多问题。有理化因式与分母有理化对于分母有理化的内容，教材中是安排在第二节二次根式的乘除中的一道例题中。虽然教材中并没有给出“分母有理化”这个名词，我们在教学中方便起见加上这个说法也是可以的，主要目的还是要学生掌握这种方法。本章的“训练点”在两个方面。1、“用二次根式的运算法则进行运算”，核心是有效地利用二次根式的性质和乘法法则、除法法则，其中将各式转化为最简二次根式是关键步骤；2、运算习惯的培养，与“数感”、“符号意识”等相关，具体可以从“先观察，后计算”、“先化为最简二次根式，后计算”、“利用乘法公式进行计算”等方面着手。核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养1、把抽象的公式具体化，具体习题抽象化培养计算的兴趣

这里的a可以代表哪些？通过课本中例题，习题，让学生体会到可以具体的数，也可以是单项式，多项式，甚至是分式，根式，把抽象公式具体化，让学生理解抽象公式中的丰富内涵（1）把积、商的算术平方根性质向和、差的算术平方根错误“推广”而导致错误例化简①②错解：①＝12＋5＝17；

②＝评析：因此在①的化简时，必须严格按照运算顺序先求出被开方数；而②中把被开方数中的加数4误当成因数直接开到根号外面，当然也是错误的。正解：①

②

＝＝＝核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养2、错中悟（2）运算顺序不清导致错误例计算:÷×错解：原式＝÷1＝乘除混合运算应该严格按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝

＝核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养2、错中悟（3）用公式时出错例、计算：错解:评析：完全平方公式是，此种类型的题易出现错解为，有时和平方差公式混淆.正解：核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养2、错中悟（4）在符号上出错例４、计算：错解：评析：去括号时，若括号前为负号，则括号里面的各项变号.正解：

核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养2、错中悟例计算解法一：解法二实际上就是“分母有理化”3、回归课本，抓好基础.用简单的题讲解方法.解法二：核心问题2：本章教学中如何以运算为核心，加强运算能力的培养三、《二次根式》一章的教学建议

二次根式

二次根式的化简与运算二次根式的乘除二次根式的加减1.本章知识结构图

2、内容安排

本章安排了3个小节和1个选学内容，教学时间约需9课时，大体分配如下（供参考）：16.1二次根式约2课时16.2二次根式的乘除约2课时16.3二次根式的加减约3课时

阅读与思考海伦—秦九韶公式（选学）数学活动约1课时小结 约1课时3.本章学习目标（1）了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。（2）了解最简二次根式的概念。（3）理解二次根式的性质。（4）了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算。（5）了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。4.教学片断案例

二次根式的概念生活是数学存在的土壤，需要是数学发展的动力，这种动力有可能是现实生活中问题解决的需要，也有可能是数学发展的需要。我们要尽力创造一些能让学生接受的情境，让学生产生一种解决问题的需要。片段1合作学习1.学校有学生1500名，每人订购一套校服，共花费m元，则每人花费_______元；若学校有学生n名，每人订购一套校服，共花费m元，则每人花费________元。2.若正方形的面积为b-3,则边长为________。3.一圆的面积为S，则其半径为___________。4.一长方形的长为a，宽为b，则其周长为________，面积为______。5.一直角三角形，两直角边分别为a和3，则其斜边为_________。方案1

从生活情景引入，感受到数学来源于实际生活的需要思考在这些代数式中，哪些是我们以前学过的呢？它们既不是整式，又不是分式，那是什么呢？仔细观察这三个代数式，它们的共同特征是什么？1、都表示算术平方根2、根号内都含有字母定义

像,，这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。

规定

为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。例如：也叫二次根式。思考是不是二次根式？02x要满足什么条件时，二次根式才有意义呢？完善二次根式定义例求下列二次根式中字母a的取值范围：1.加深对被开方数不小于零的理解。2.追问为什么（3）小题中无论a取何值，式子在实数范围内有意义？你还能举出几个这样的式子吗？为后面总结三个非负性做准备转化为列不等式（组）（1）4,16，，0，-64,2，a的平方根,算术平方根分别是什么?（2）哪些数有平方根、算术平方根？负数为什么没有平方根、算术平方根？自主回顾建构概念方案2a-a|a|02233片段2从特殊到一般的归纳从不同角度理解概念2.从取值范围来看,

a≥0 a取任何实数 1.从运算顺序来看,先开方,后平方先平方,后开方=aa(a≥0)3.从运算结果来看:-a(a＜0)==∣a∣计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律2x3=64x5=20=6=20片段3二次根式乘法a、b必须都是非负数！(a≥0,b≥0)请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律

类比分数运算法则的规定来感受二次根式乘法法则规定的合理性自然数中运算律

引入新数后，使得成立的运算律在更大的范围内继续成立，是数学推广过程的一个特征。复数丢了序，四元数集丢了乘法交换律保交换率不保分配率

感受法则的合理性，和谐性，一致性提高运算水平不是单纯背法则多做题就行，要加强算理的理解能否证明？1.观察下列各式及其验证过程：验证：⑵

针对上述各式反映的规律，写出n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式并进行证明.⑴按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变化结果并进行验证;改编自P20第10题片段4二次根式中的找规律问题借助计算器计算下列各题：（5）仔细观察上面几题及其计算结果，你能发现什么规律？针对上述各式反映的规律，写出n（n为任意自然数，且n≥1）表示的等式并进行证明.改编自P11第13题练习的着眼点？学困生开方运算二次根式的简单运算二次根式的非负性片段5关注中考2015年中考命题中涉及二次根式的题目,主要是针对概念及运算的考察，4题中3道都是结合勾股定理计算的，难度不大。2015年北京市中考题2015年北京市中考题2014年北京市中考题2014年北京市中考题

最简二次根式是今后学习二次根式加减运算的关键一步。要注意化简正确，并且要注意化简熟练和速度。教学时要注意把握层次。

A.B.D.C.P193.计算含字母的二次根式运算分母有理化二次根式与乘法公式二次根式与因式分解优秀生练习的着眼点？高中阶段函数单调性的探索，不等式和解析几何的化简常常要用4、把下列各式在实数范围内分解因式:化简并求值：其中解：原式代入a，b，原式=4

分母有理化.如：进一步练习：解：先将分母有理化降次的思想数学活动探秘纸张规格

问题的由来大家知道常用的复印纸型号有A4,A5,B4,B5等。有一天，我在中关村街上行走，突然在某大型复印机专业公司服务部的门面上看到以下广告：“本部承接超大型工程图纸复印业务，规格可达A1,B1大小……”好奇的我立刻联想到下面的问题，A1,B1的复印纸到底有多大？片段6关注生活中的数学问题用什么策略来解决问题1

收集A4,A5,B4,B5规格的纸张，观察，摆放，探究他们之间的关系。从身边的特例入手探索规律问题2

查阅纸张规格的相关资料，整理数据形成表格按照纸张幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列和C系列，幅面规格为A0的幅面尺寸为：841mm×1189mm，幅面面积为1平方米；B0的幅面尺寸为1000mm×1414mm，幅面面积为1.5平方米；C0的幅面尺寸为917mm×1297mm，幅面面积为1.25平方米；复印纸的幅面规格只采用A系列和B系列。自主查阅资料，改变学习方式A.同系列相邻规格纸张之间相等关系，2倍关系

B.同一系列长宽比为

C.同一系列相邻型号面积比为2：1

D．不同系列关系?问题3观察上表数据，你能发现什么规律？提出哪些问题？

关注数据中的规律问题4

我们已经有了A系列的幅面，为什么还要设计B系列幅面？关注事物之间的联系问题5：判断常用的数学作业纸是上述哪种规格，怎样检验？如果不用尺子量能否验证？学以致用拓展问题6我们类似的可以解决报纸、常见标准尺寸出版物的尺寸推算报纸K系列：手中课本32K，估算16K、8K、4K、2K、1K出版物尺寸照片大小纸币……问题7A4纸是使用最广泛的打印纸，你能说出A4纸为什么被广泛使用吗？为同学打开一扇窗传统数学教学联系生活少，强求一致多，发展个性少上一届传递给我们的6个案例远远不够，课本及相关材料现有能用的材料少学生知识储备不足北大附中数学探究课的课程建设探索

改变学生的学习方式，让学生主动参与数学实践活动。学生从活动中交流数学思维，从活动中获得数学知识，培养学生了的创新意识和实践能力。结合学生的身心发展情况，选择能激发学生兴趣的课题探究课学习素材选择标准有利于学生用数学的眼光观察世界的素材引导学生积累一些数学研究的基本套路，方法课堂合作探究背景知识介绍课后引申探究独立思考探究课模式第一PPT模板网，PPT素材下载/sucai/

《你的手机套餐合适吗》《设计制作包装纸盒》《从新闻数据中看环保问题》《设计科学营养食谱》《