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文档简介

§4.1DyfxDxfx)是曲线的纵坐标分量，微分dy是切线纵坐标对应的分量。

yTNPyTNPy=f(Mox0+xMPMN

定义1.1yf(x)在(ab)取x˛(ab),如果存在数ff(x+Dx)=f(x)+lDx+成立，则称函数fx)在点x可微，并称lDx为函数fx)在x点处的微分。记作dy或df(xdylDx。也记成dyldx。注意：这里的数与Dx无关，但可能与x有关。

定理1.1fx)x可微的充要条件是函数fx)x处可导,且l=fx).证明：（1）fx)在点x可微,因此存在使得DylDxo(Dx\Dy=l+o(Dx) \limDy=l+limo(Dx)Dxfi0 Dxfi fx)x可导,且l=fx)（2）fx)在点xlimDyfx)Dyfxa(Dx)Dxfi0a(Dx)fi

(Dxfi\Dyfx)Dx+aDx=fx)Dxo(Dx)\函数f(x)在点x0可微 且f(x)=综上可得：可 可微 l=f(定理1.2（微分的四则运算性质fx，gx)x可微d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(d(f(x)g(x))=df(x)g(x)+f(x)dg(d(f(x))=g(x)df(x)-f(x)dg(x)(g(x)„g( g2(yfx)有导数fdy=f(dy=f((2)若x是中间变量时,即另一变量t的可微函数x=t), (x)(t)dtdy=f(x)dxdy=f(x)dxx是自变量还是中间变量,函数x)的微分形式总是dyfx)的微分形式总是dyf一阶微分：df(x)=f'( （有形式不变性)= =二阶微分:dnfx)f(n

（没有形式不变性d2f=d(df)=d[f'(=f''(x)(dx)2=f''(d(c)=d(sinx)=cosxdxd(tanx)=sec2xdxd(secx)=secxtanxdxd(ax)=axlnadx

d(xm)=mxm-1dxd(cosx)=-sind(cotx)=-csc2xdxd(cscx)=-cscxcotxdxd(ex)=d(logax)

xlna

d(lnx)=11-1-1-d(arcsin1-

d(arccosx)=

例例ylnxex求2

1+2xex,

1+2xexx+

\dy

x+

例2ye1-3xcosx求解解dy=cosxd(e1-3x)+e1-3x d(cos\dy=cosx(-3e1-3x)dx+e1-3x(-sin例3(1yex,(2yexxt2d2解（1）d2y(ex)"dx2exdx22（2）d2y=(e

)"dt2=(2e

ex\d2y=2etdt2+et4t2dt2 dx2+exdx2注：该例 阶微分没有不变性dx2指 例例计算cos60o30的近似值设fx)cosx,\fx)sinxx为弧度 = Dx=p3 3p\f

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