第二章基本初等函数导数及其应用

第1函数及其表A，BA，Byf：A→BABf：A→BBf：A→By＝f(x)，x∈AxAy＝f(x)的定义域；yy＝f(x)的值域．x2ntan 判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打(4)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|AB的映射．(×)y＝f(x)x＝a2f(x)＝x2－2xg(t)＝t2－2t ＝x－1，其定义域为考点一1.1.[例

解析：要使函数有意义，需满足

33(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2x的定义域 解析：由

0≤x＜1，即函数定义域是2(3)(2016·合肥模拟)若函数f(x)＝ 2解析：2x＋ax－a－1≥0x∈R∴x2＋2ax－a≥0[[方法引航 简单函数定义域的类型及求①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x②对应f下的范围要一致

的定义域 解析：由

已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数 解析：f(x)的定义域是

22解得

2≤g(x)的定义域是

若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( 解析：R等价于对∀x∈R，x2＋ax＋1≥0)2,2]

考点二[例2] 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

1 2 即 ∴f(x)＝2x2

答案 1 2＝2xf(1－cosx)＝sin2xf(x)解析：f(1－cost＝1－cosxcos即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． 解方程组 f(x)＝2 答案 2 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝ 解析：设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，所以 1)．又因为f(x＋1)＝2f(x)，所以 答案 [方法引航 函数解析式的求3消去法：已知fx与f 另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出fx. 解析：

∴f(x)＝2x＋1答案：2x＋1 1 2考点三[例 已知函数

则f(x)－f(－x)＞－1 解析：①当－1≤x＜0∴f(x)－f(－x)＞－1x＜－1 0＜x≤12∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x＋2＞－1，解得x＜3，则0＜x≤1.2故所求不等式的解集为

[方法引航]该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值. ∴

解：0＜a≤1∴－a＋1＝aa＝1当－1≤a＜0时，f(a)＝－a－1＝a.∴a＝－1综上：a＝解：当－1≤x＜00＜x≤1时，－x＋1≥－1，∴x≤2，∴0＜x≤1.

[思想方法分类讨论思想解决分段函数问题——[典例

x∈R递减，则a的范围是

要求此函数的两段均为减函数，并且x＝1时第一段的函数值在第二段故 故

解得 ≤≤

88[答案 [回顾] [高考体验1．(2016·高考甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定 B．y＝lg＝ 1＝xRA，C；y＝lgxRBy＝1x域均为(0，＋∞) 卷)设

取值范围为

x解析：选D.∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋1＋a≥2＋ax＝1时取“＝”．f(0)f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，x∴a3．(2016·高考江苏卷)函数y＝3－2x－x2的定义域 解析：要使函数y＝ 3－2x－x2有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝

解析：

1 -2-

2 解析：因为x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，所以

，解得答案

6(2016· 卷)已知函数

(a＞0 a取值范围

3－xa的取值范围．因为函数f(x)在R上单调递减，3所 所

≤a≤ 33y＝|f(x)|，y＝2－x33由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解；在(－∞，0)上＝2－x同样有且仅有一个解，所以3a＜2，即a＜2综上可得 3a的取值范围是

A 基础演 解析：C.x＋1＞0x＞－1 A．f(x)＝x2－1g(x)＝B．f(x)＝xg(x)＝xC．y＝xy＝(D．f(x)＝x2g(x)＝3解析：B.A，CD的函数解析式不同，只有选项B中的函数表示同一函数．3) ＝21－4

则 42 42224解析：C.4

lg

的图象上，则 1解析：D.x≥1时，y＝x≥1A(a，－1)y＝lgx(0＜x＜1)的图象上，故－1＝lga，a＝1.

lg

，则 解析：f(－99)＝1＋99＝100f(f(－99))＝f(100)＝lg[－2,4] 解析：由题意知

(2)x＞0f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x＜0时，g(x)＝2－x，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车x(千米/时)满足下列关系：y＝200＋mx＋n(m，n是常数y(米)x(千米/时)的关系(1)yx(2)25.2 m＝1所以＝x2＋x x

70千米/B 能力突 已知函数f(x)满足

22 设函数 解析：由题意得

a≤

答案：(－∞， 解析： xx其中满足“倒负”变换的函数

11x

xxx

(2)1

解：(1)

1＝

原式第2函数的单调性与最x1＜x2f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上x1＜x2f(x1)＞f(x2)，那f(x)D数y＝f(x)Dy＝f(x)在这一区间上具有(严格的)Dy＝f(x)的单调区间．f(x)IMMM判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打

＝x

Rf(x)f(－1)＜f(3)f(x)Rf(x)，x∈Dx1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0Dy＝|x|R

考点一求函数的单调性(区间[例1] A．y＝x＋1 x＋1在＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故A正确；B项，函数＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)B错误；C

1，＋∞)D函数f(x)＝lgx2的单调递减区间 解析：f(x)是定义域为{x|x≠0}f(x)＝lg函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是f(x)＝ax(a＞0)x∈(－1,1) ＝则 ax1－ax2＝12 121221axx2－ax1－ax122112 1212＝x2－1x2－112 a＞0

x2－12a＞0[方法引航 判断函数单调性的方2利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函简称“同增异减”.1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( C．y＝ln 解析：B.RCA、D2．(2016·合肥检测)函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A 解析：选B.(数形

a＞0)f(x)在(0，a][a，＋∞)

证明：x1，x2

x1x20＜x1＜x2≤a时，0＜x1x2＜ax1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)在(0，a]当a≤x1＜x2时，x1x2＞ax1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在[a，＋∞)考点二[例 2x在[1,2]上的最大值和最小值分别是 ＝＝

1解析 1

在[1,2]4

所以 即

2＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( 解析：C.由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2∴f(x)f(2)＝23－2＝6.＝ ＝x 其中值域为R的函数有 B．2C．3 D．4解析：B.y＝3－x 1

R

，因此选考点三3.[例 (1)已知f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是 3.解析：∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，∴f(x)又∵f′(x)＝2x＋sinxx∈(0,1)f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)

(2)a

x1≠x2．

＞0解析：f(x)≤2 ，解得 a＜2，∴a的取值范围是≤2

除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值若本例(1)

－sinxf(0.6)，f(0)，f(－0.5)解：f(x)＝1－sinx，∴f′(x)＝1－cos

故 [易错警示定义域的请求——[典例 函数f(x)＝x2＋x－6的单调增区间 [正解 设 4令u＝x2＋x－6≥0，得f(x)的定义域为 函数，在[2，＋∞)y＝u在(0，＋∞)f(x)的单[答案 解题时不先求f(x)的定义域，误认为u＝x2＋x－6的增区间就是f(x)的增 [典例 的取值范围 [正解

2即2 [答案 得到“x＞2x－3”是错误的没注意定义域x∈[－2,3]．[警示 [高考体验1．(2016·高考卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是 ＝ 1＝

B．y＝cos 解析：D.A中，y＝1＝－1y＝－11 y＝1在(－1,1)B中，y＝cosy＝lnx1y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项D符合题意．2．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( (－1,1)∴y＝f(x)f(x)在(0,1)

解析：选A.f(x)＝1是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，A正确；f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，B错；f(x)＝x3是奇函数，C－x是非奇非偶函数，D 卷)函数f(x)＝x(x≥2)的最大值 解析：

2，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在∴f(x)在[2，＋∞)法二：∵f(x)＝

x－1＋1＝1＋1＝

x∴f(x)y＝111xxx∴f(x)在[2，＋∞)f(x)在[2，＋∞)f(x)＝1＋1∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜1∴1＜1＋1≤21＜

f(x)在[2，＋∞)

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围 解析：a值直接求分段函数的最值；②结合图象分类讨论求解．由当x≤a时，f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.y＝x3－3xy＝－2xa＝0a≥－1时，f(x)a＜－1时，y＝－2xx＞a时无最大值，且－2a＞(x3－3x)max答案 6．(2016·高考卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－2)，则a的取值范围是 ∴f(2|a－1|)＞f(－2)＝f(2)，∴2|a－1|＜2＝ A 基础演函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( x解析：D.依题意得1＜1x

xxx＞1函数f(x中满足“对任意x1x2∈(0∞)当x＜x2时都有f(x)＞(2)”的是( )

xf(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝ex是增函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．xf(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)a值范围是

1 解析：D.a＝0时，f(x)＝2x－3R上是单调递增的，故在4)aa≠0f(x)af(x)在(－∞，4)所以a＜0，且 4，解得 综上所述得 函数 在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 解析：

， 由函数在(－1，＋∞)有

∴1＞1或 ∴0＜x＜1y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间 解析：x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1](－∞－1) 解析：f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)t＞2时，f(x)在[t，t＋1]t≤2≤t＋11≤t≤2t＋1＜2t＜1 从而g(t)＝－8 (2)画出g(t)的图象如图所示，由图象g(t)的最小值为x－f(x)＝xx－aa＞0f(x)在(1，＋∞)a解：(1)＝则f(x)－f(x)＝x1－x2 ＝＋ ＋

x

a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴0＜a≤1a的取值范围为B 能力突设函数f(x)＝loga|x|在(－∞0)上单调递增则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( 判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．

2－lnx的单调递减区间为 解析：选B.y＝2x2－ln (x＞0)y′≤0∴函数的递减区间为(0,1]f(x)＝－x2－2x＋3，x＞0f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]成立，则实数a的取值范围是 2解析选A.作出函数f(x)的图象如图所示函数f(x)在R上为单调递减函数，[aa＋1]x＋a＜2a－x22[a，a＋1]a＋1＜aa＜－2.2 2解析：y＝log5(2x＋1)2x＋1＞0x＞－1u＝2x＋1222的单调增区间是

解：(1)f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0xx1，x2∈(0，＋∞)x1＞x2，则x2x＞1时，f(x)＜0fxf(x1)－f(x2)＜0f(x)在(0，＋∞)∴f(x)在[2,9] f(x1)＝fx 第3函数的奇偶性与周期f(－x)＝－f(x)yf(x)的最小正周期．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打f(x)RTnT(n∈Z，n≠0)f(x)f(x＋a)＝－f(x)f(x)2a(a＞0)的周期函y＝f(x＋a)y＝f(x)x＝ay(0,0)考点一[例 A．y＝ C．y＝cos 解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，为奇函数，故选

解析：A是奇函数，B是偶函数，C，D(3)f(x)＝)解析：由

x＝－3x＝f(x)的定义域为{－3，x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}[方法引航 判断函数的奇偶性的三种重要方图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷③“奇·偶”是奇，“奇÷

解得－1＜x≤1f(x)(2)

＞0⇒－1＜x＜1

考点二[例2] A．y＝sinx B．y＝|sinx| 解析：y＝sinxy＝sin(x＋1)T＝2π，BT＝π，Cy＝sin|x|函数，x∈(0，＋∞)x∈(－∞，0)(2)f(x)Rx≥0f(x＋2)＝－1f当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2017)＋f(2019)的值 解析：x≥0时，f(x＋2)＝－∴f(x＋4)＝f(x)4f(x)(x≥0)∴f(－2017)＝f(2f(2019)＝f(3)＝－1∴f(－2017)＋f(2 (1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换①f(x＋a)＝－f(x)f(x)②f(x＋a)＝1(a≠0)f(x)必为周期函数，2|③f(x＋a)＝－1f(x)必为周期函数，2|若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1”变为“f(x＋2)＝－f(x)f(－2f 解析：f(x＋2)＝－f(x)∴f(－2017)＝1，f(2∴f(－2017)＋f(2log2(x＋1)f(－2017)＋f(2019)解：∴f(2f(－2017)＝f(2∴f(－2017)＋f(2考点三[例 (1)若函数f(x)＝ 2

解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， .化

a＝1

＞3

－3＞0

＞0

＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选

f(x)＝1＋x2是定义在(－1,1)解：x∈(－1,1)f(x)∴f(0)＝0b＝0，∴f(x)＝axa 2 又 1＝5.解得∴f(x)＝

1＋x22＝f(t－1)＋f(t)＜0f(t－1)＜－f(t)

解析：x＜0∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时， 1根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f－x＝－fx或f－x＝fx在定义域成立，建立参数关系.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数那么a＋b的值 f(x)＝ax2＋bx1 ＜0的x的集合为

上递减，所 ＞1， x＞1 x＜－1，解得0＜x＜1或 所以满足不等式 ＜0的x的集合为

x 3 3

解析：选A.

＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则

[方法探究“多法并举”[典例 (2017·山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足且 [分析关系 f(x)x＝1[解析 第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立(赋值法)第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函(代换法)T＝4f(x)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．f(x)在[0,1]x＝1第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法) [回顾 此题用图象法更直观[高考体验 选＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)f(x)R.x＜0时，f(x)＝x3－1 2解析：选D.由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x＞12＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.3．(2016·高考卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当 ＜1时，f(x)＝4，则 解析：∵f(x) ＝－ 4．(2015·高考课标卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则 解析：由题意得 ，解得5．(2014·高考卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时

0≤x＜1，则

A 基础演下列函数中为偶函数的是 y＝x2sin B．y＝x2cosy＝|ln 选项为奇函数，B选项为偶函数；Cy＝lnx的图数；D选项为指数函数y＝2，是非奇非偶函数． B．y＝lg(x＋x2＋1) D．y＝解析：D.D中函数定义域为(－1，＋∞)y＝ABC为偶函f(x)R5f(1)＝1，f(2)＝2f(3)－f(4) 解析：A.f(x)R5f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，∴f(3)－f(4)＝－1已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时

x解析：A.x＞0x

＋x115．设f(x是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)f(x

，则 22解析：选D.因为f(x)是周期为3的周期函数，所以

函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1 f(1)＝－5，则f 解析：f(x＋2)＝1

∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝1 ——5f(x)R上的偶函数，f(2)＝1x∈R＝f(x)，则f(2 解析：f(x＋3)＝f(x)f(x)f(2017)＝f(1)＝f(－2)f(x)Rf(2函数f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则 解析：由题意可知 用－xxh(－x)＋g(－x)＝e－x－xh(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所 由(①＋②)÷2得 所以 f(x)Rx∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)解：x＝0时，f(0)＝0 已知函数 a≠0，常数f(x)在[2，＋∞)a解：(1)f(x)的定义域为a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，f(1)≠f(－1)f(x)＝x2＋a≠0) ，当a≤0时，f′(x)＞0，则f(x)在[2，＋∞) 3数；当a＞0时，令 函数，可知3 2，解得a的取值范围是B 能力突若f(x)是定义在R上的函数则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( ＝x2已知定义在R上的奇函数fx)和偶函数g(x)满足()＋g(x)＝a－a－＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝，则f(2)于( )4444

解析：B.∵f(x)为奇函数，g(x)44已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数 选f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)是以8为周期的周期函数．f(80)＝f(0)定义在R上的函数f(x)对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2016)＝2016，则f(2028)＝ 则函数f(x)是以12为周期的函数．又∵f(2016)＝2016，∴f(2028)＝f(2028－12)＝f(2016)＝2答案：2f(4)＝1，f(x－1)＜2f(x)在(0，＋∞)x解：(1)x1，x2∈Dx1＝x2＝1 x1＝－1，x2＝xf(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(x)在(0，＋∞)∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17第4二次函数与幂函y＝xα(α∈R)x是自变量，αRRRRR奇偶奇奇增增增R －∞， 在 在 减b＝0时为偶函数，b≠0①对称轴 b； b ②顶点：－2a， 判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打α＜0y＝xα二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 n＞0y＝xn2f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)k＝±22考点一[例 (1)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则 解析：f(x)0和－2，所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由于f(x)有最小值－1，所以必有

f(x)解：法一：(利用一般式由题意得

解得法二：(利用顶点式∴拋

∴m＝1 法三：(利用零点式f(x)＋1＝0x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， a＝－4a＝0(舍[方法引航 根据已知条件确定二次函数解析式一般用待定系数法规律如下二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1 解析：y＝a(x－2)2－1x＝0

1

若函数常数4]，则该函数的解析式 当x＝0时，2a2＝4，∴a2＝2，考点二[例 (1)a＝－2f(x)(2)ay＝f(x)在区间[－4,6]解：(1)a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1∴f(x)f(2)＝－1f(－4)＝35，f(6)＝15f(x)(2)f(x)x＝－af(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.[方法引航]1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动2二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解：f(x)＝(x＋a)2＋3－a2x＝－a①当－a≤－4a≥4时，f(x)在[－4,6]②当－4＜－a≤6，即－6≤a＜4x＝－a③当－a＞6a＜－6时，f(x)在[－4,6]综上，当a≥4时，f(x)min＝19－8a.当－6≤a≤4时，f(x)min＝3－a2.a＜－6若本例已知条件不变，f(x)＝0在[－4,6]a的取值范解：f(x)＝0，在[－4,6]

即解得 4≤a＜－3或3＜a8f(x)＞0x∈(0,6]a解：x2＋2ax＋3＞0x∈(0,6] 23x＝3∴umax＝－2∴2a＞－23，∴a＞－考点三[例 解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点 函数，则m的值为( C．－1或 解析：f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3∴m2－m－1＝1m＝－1f(x)在(0，＋∞)已知 ，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是 又 为增函数 1若幂函数y＝xαα∈R是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，α＜0.,3在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( 解析：B.a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－1 式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B. ，则实数a的取值范围 等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.a＜－1或 [规范答题“三个二次”[典例 (本题满分12分)已知f(x)≥－1af(x)＝0的两根都在[0,1]a[规范解答 (1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为 当

当 ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.6a<0时，f(x)＝ax2－2x且对称轴 ，在y轴的左侧∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]综上所述 8(2)f(x)min≥－1由(1)a<1时，a－2≥－1，∴a≥1(舍去当a≥1时 －1恒成立，∴a≥1.10(3)f(x)＝0

1，∴a≥2.12 第一层：函数类型a＝0和a≠0.a>0ax＝1与区间[0,1]a[高考体验1．(2016·高考丙卷)已知 解析选A. 而函数y＝ (0＋∞)所以，即b＜a＜c，故选A.2．(2015·高考山东卷)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6a，b，c是( 解析：选C.由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由y＝x0.6在(0，＋∞)0.60.6＜1.50.6b＜a＜c，故选是()

1

解析：C.Ay＝x是奇函数，A不正确；B

B不正确；Cy＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确．故选C. 则使得f(x)≤2成立的的取值范围 f(x)≤2⇒

⇒

或

⇒x11≤x≤8⇒x≤8，故填5．(2015·高考卷)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值 时解析：由已知条件得b＝8，令f(a)＝log2a·log2(2b)，则f(a)＝log2a·log2 当log2a＝2，即a＝4时，f(a)取得最大值．A 基础演已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是 解析：C.f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)b＜0，c＞0. 32 323333解析：A.f(x)＝xa, 1log 解得 2y＝ax＋by＝ax2＋bx＋c 解析：选C.若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数a＜0y＝ax＋by＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b＜0，而二次函数的对称轴在B如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( 2解析：D.f(1＋x)＝f(－x)f(x)x＝12结合图象(图略)若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是( C．a＞2或 解析：C.∵f(x)＝x2－ax＋1∴Δ＝a2－4＞0a＞25 解析： 答案 若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c 解析：由已知得

已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m

2

8f(x)＝－x2＋2ax＋1－ax∈[0,1]2a解：对称轴方程为x＝a.a＜00≤a≤1 ∴a＝1±5舍 a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b解：(1)f(－2)＝14a－2b＋1＝1f(x)＝04a2－4a＝0a＝1

22

由g(x)

2≥2或2≤－1，即k≥6或k≤0k的取值范围为B 能力突若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( B．m＝1或m＝2 解析：B.m2－3m＋3＝1，∴m＝2m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.已知函数f(x)＝x2＋x＋c.若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有( 22y＝ax2＋bx＋cA(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论： x＝－bx＝－1∵b＝2a，a＜0，∴5a＜2a已知幂函数 ＝1＞0)，

解得

a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]b解：(1)c＝1，a－b＋c＝0，且－b(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即 1－x且b≥－1－x在(0,1]上恒成立 又1－x0，－1－x ∴－2≤b≤0.b的取值范围是第5指数与指数函若xn＝a，则x叫做a的n次 ，其中n＞1且n∈N*，式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．a的n次的表n n①正分数指数幂 ＝nam(a＞0，m，n∈N*，且②负分数指数幂 ③00,0R过定点x＞0x＞0＜0RR判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打 a与 a)都等于a(n∈Nn∈N*时，n－3)n

可以理解为n

ay＝3·2xy＝2x＋1am＜an(a＞0a≠1)＝y＝a－xR函数 x＞0考点一[方法引航 指数幂的化简方化简－(－1)0的结果为( 解析：选B. 化简416x8y4(x＜0，y＜0)的正确结果是( 解析： 8 4424 16xy 2解析： 8 4424 考点二[例2] (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确 解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b0＜a＜1.f(x)＝ax－bf(x)＝axk为何值时，方程|3x－1|＝k函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3xxxxk＜0时，y＝ky＝|3x－1|k＝0k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；0＜k＜1y＝ky＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程 1．(2017·三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图象是(解析：选B.f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，故选B.2．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值 与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

考点三[例

，y，y

，则

y3y3

＜21.5＜21.8

—

1(2)(2017·合肥八中测试)不等式2

的解集 — 解析：2xx＞2－x－，— 12－4 f(x)3af(x)的值域是(0，＋∞)a 解：①令g(x)＝ax f(x)3g(x)因此必有 a＝1f(x)3时，a②由指数函数的性质知，要使 的值域为g(x)＝ax2－4x＋3Ra＝0.(a≠0g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.[方法引航]1比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.若本例(1)中的三个数变为y1＝

2 －＋

f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)f(x)的单在本例(3)a＝1f(x)＝1x解析：当a＝1时 ∴x2－4x＋3＝0，∴x＝1答案：1[方法探究[典例 计算(3－2)2018·(3＋2)2019的值 原式＝(3－2)2018·(3＋2)2018·(3＋2)＝[(3－2)·(3＋2)]2018·(3＋2)＝3＋2.3＋[3＋[典例 若

[解析

，则[答案 a[典例3] 已知a2－3a＋1＝0，则 a[答案 xx[典例 化简xx

＋

4

[解析 法一：原式

＋ x4 ·4x

法二：原式 ＝4x

[答案 [典例 [解析 因为t＝1x

t＝1时，ymin＝3t＝8 故所求函数值域为 [答案

[高考体验1．(2016·高考丙卷)已知 解析：选A.因 且幂函数y＝在y＝16xR2．(2016·高考浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( A．若f(a)≤|b|，则a≤b B．若f(a)≤2b，则a≤b 解析：B.若f(a)≤2b，则2a≤f(a)≤2b，∴2a≤2b，y＝2xR上的增函数，∴a≤b.B.3．(2015·高考卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( 所以f(log25)＞f(log23)＞f(0)，即b＞a＞c，故选B. ．f(x)＝ ．f(x)解析：B.A，f(x＋y)＝(x＋y)3≠f(x)f(y)＝x3y3Af(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)f(y)f(x)＝3x在其定义域内是单调增函数，B对于选项 ＝xy，排除C；对于选项

在其定义域内是减函数，排除5．(2015·高考山东卷)f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是1,0]，则

即 ，解得 ，此时

②当a＞1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得 ， 3＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等 解析：f(1＋x)＝f(1－x)f(x)x＝1a＝1，做m≥1，故实数m的最小值为1.A 基础演化 (a＞0，b＞0)的结果是 a aa解析：选D.原式 a 合选项可知选C.

的图象之间的关系是 关于y轴对 B．关于x轴对 D．关于直线y＝x对 y＝2xy函数y＝2x－2－x是( 解析：选A.论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函C，D.y＝2x，y＝－2－xR上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x－2－x是R上的增函数，故选A.

x解析：C.x＞0x数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围 解析：0＜2－a＜1计算 解析：原式 f(x)＝ax－x－a(a＞0a≠1)a 有一个公共点；若a＞1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．a＞0a≠1y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]14a解：t＝ax(a＞00＜a＜1

a＞0a＞1 3a＝3(a＝－5舍去)a＝13f(x)＝b·ax(a，ba＞0，a≠1)A(1,6)，(1) 解：(1)∵f(x)＝b·ax ②÷a2＝4a＞0

g(x)在(－∞，1] m的取值范围是 B 能力突a，b2a＝3b其中有可能成立的关系式有 B．2 D．4解析：C.y＝2x，y＝3xy＝t，y＝ty＝ty＝2x，y＝3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a＜b＜0；a＝b＝0；0＜b＜a，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.f(x)f(x－1)＝f(x＋1)x∈[0,1]时，f(x)＝xx1 解析：D.f(x－1)＝f(x＋1)1的取值范围是

6 6

解析：B.

解得1＜a6

即 已知f(x)＝3x＋1，且f(a)＝3，则f(－a)的值 解析：∵f(x)＝3x ＋1＝3x－3－x＋1，函数f(x)的定义域为R，对－x－3x＋1)＝2f(a)＋f(－a)＝2设函数f(x)＝ (2)m∈Rf(m)＞f(m2＋2m－2)m－xf(x)当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而f(x)a＞0a≠1时，f(x)(2)由(1)f(x)Rf(m)＞f(m2＋2m－2)m的范围为第6对数与对数函a叫做对数的底数，N叫做真数．a＞0a≠1，M＞0，N＞0②log ①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0①换底

，b＝log 1，推广logab·logbc·lo ＝logb(2)(3)过定点(1,0)x＝1(4)x＞1时，y＞0(5)x＞1时，y＜00＜x＜1指数函数y＝ax与对数函数y＝logaxy＝x(1)(－2)3＝－8log(－2)(－8)＝3.(×)函数y＝log2x及 y＝ln1y＝ln(1＋x)－ln(1－x)xy＝logax(a＞0a≠1)的图象过定点(1,0)．(√)x＞1x＞1logax＞logbx考点一[例 4343

4343解析：x＝log434x＝32x＝ 3

－x

2 ＝3，所以(2

)＝

(2)(2017·山东日照质检)2lg2－lg1的值为 解析：2lg2－1＝lg4＋lg25＝lg 已知4a＝2，lgx＝a，则 2又∵lgx＝a，∴lg2＝＝答案：

的值是 2 2解析：A.f(1)＝log21＝0，所以因为log1＜0，所 31 f(log

1考点二[例 －x)D.实数a的取值范围是( m2＞2，需满足loga2＞2－1，即a＜2.综上知：实数a的取值范围是1＜a＜2，选C.f(x)x＞0时，f(x)＝log2xf(x)＞0的取值范围 解析：y＝f(x)f(x)＞0x的取值范围是 解析：A.x＝1B、x＝20时，y＝0A当

4x＜logax，则a的取值范围是 ≤2 2

A.0，2 B.2 C．(1， D．(

a＜1时，画出两个函数在 a＞2a的取值范围为2

≤2，∴1＜4≤2，∴logax＞4∴0＜a＜1C，D 则 ，显然4x＜logax不成立，排除选项 解析：C.y＝log2(x＋1)f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1＜x≤1}考点三[例 f(x)的定义域为

一模)小关系为

a，b，c

∈(1,2)，可得b＜c＜a.(3)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0a＞1f(x)＞0x解：(1)f(x)则

f(x)的定义域为(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)故f(x)为奇函数．(3)a＞1时，f(x)在定义域(－1,1)

＞1f(x)＞0x的解集是[方法引航 比较再分开0，1与1，＋∞1比较3对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按＜a＜1a＞1进行分类讨论1．在本例(3)f(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，a＞0a≠1.判断函

∴f(x)＝loga(1－x2)a＞1时，x∈(－1,0)，g(x)0＜a＜1时，x∈(－1,0)，g(x)为增函数，f(x)＝loga(1－x2)2．在本例(3)0＜a＜1f(x)＞0的解集．

[易错警示 (2017·兰州模拟)已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为 [正解 当a＞1时，y＝logax(2≤x≤4)为增函数∴loga4－loga2＝10＜a＜1时，y＝logax(2≤x≤4)或[答案 或[易误 对数函数的底数含有参数a，易忽视讨论a与1的大小关系而直接按＞1[警示 ＜a＜1[高考体验]1．(2016·高考乙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( 解析：B.∵0＜c＜1a＞b＞1时，logac＞logbc，A∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又∵0＜c＜1y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D2．(2016·高考乙卷)若a＞b＞1,0＜c＜1，则( 解析：C.对于选项A，考虑幂函数y＝xcc＞0，所以y＝xc

BDD3(2015· 卷Ⅰ)已知函数

则 4解析：A.a≤1时，2a－1－2＝－3a＞1时，－log2(a＋1)＝－3，得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－7，故选A.4 卷Ⅱ)设函数 1 ，则使得f(x)＞f(2x－1) 立的x的取值范围是 解析：选A.函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ 3∴|x|＞|2x－1|，解得1＜x＜135．(2013·高考课标卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( 解析：D.∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log3＜log5 ∴c＞a＞b.6．(2016·高考浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1.若logab＞1，则( 解析：D.法一：logab＞1＝logaa，当a＞1时，b＞a＞1；0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.Da＝2，b＝3A、B、CA 基础演＋函数f(x)＝ ＋4－x2的定义域为( ln＋ 解析：B.由

，得－1＜x≤2 解析：选B.函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，又y＝logaxy＝x设a＝30.5，b＝0.53，c＝log0.53，则a，b，c的大小关系为( 以c＜0＜b＜1＜a，故选C.已知x＝lnπ，y＝log52，z＝ 解析：D.∵x＝lnπ＞ln∵y＝log52＜log5∵z＝＝1＞1 设函数 若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围 解析：选

⇒a＞1解析：原式 ＝3＋1＝4 34答案： 解析：y＝2x，y＝log2x在[1,2]f(x)＝2x＋log2x在[1,2]x＝1f(x)2x＝2f(x)5，即函数值域是

x的取值范围

f(x)y＝1解析：x≤0时，3x＋1＞1⇒x＋1＞0，∴－1＜x≤0；当x＞0时，log2x＞1⇒x＞2，∴x＞2.综上所述，x的取值范围为－1＜x≤0答案：{x|－1＜x≤0(1)af(x)

f(x)的定义域为x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

，a的取值范围．解： 0＜a＜1a＞1 总成立．则 只需即－1≤log 1，即logaa－1≤log

a＞1

a0＜a＜1

a，即 综上所述，a的取值范围是 B 能力突若正数a，b满足 D.选设，可得 b＝6k，所以＋ ＝108.所以选 2k－23f(x)＝loga(ax－3)(a＞0a≠1)在[1,3]a

解析：D.a＞0a≠1，∴u＝ax－3f(x)f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3＞0a＞3已知函数

则abc的取值范围是 解析：C.f(x)a＜b＜ca，b，clga＝－lgbab＝1的取值范围 解析：x≤2

a＞10＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．故a∈(1,2]．f(x)＝xf(a)＋f(b)＝0(1)ab a＋b＝ ×aa b×a

a b即

1－b＝0，从而1－

＝1，化简得a＋b＝1，故，又，故

(2)关于(0,0)P′(－x，－y)y＝lnx∴－y＝ln－x

.

ln∴关于(0,0)

－x第7函数的图

a＞0，右移a

0a

b＞0，上移b

0b

关于x轴对

关于yy＝f(x y＝f(x)将

保留x

y＝af(x)y＝f(ax)(a＞0a≠1)f(1＋x)＝f(1－x)(√)y＝f(－x)1y＝f(－x－1)y＝f(x)cy＝xy＝x2y＝x－1＋1－x

y＝函数 1的图象关于(1,0)点对称．(√)＝考点 作函数图[例 作出下列函数的图象，并标明与x轴、y轴的交点 yx≥0y解：y＝log2x1xx轴下方图象沿x轴翻折到x轴上方，如图．[方法引航 函数、幂函数、形如y＝x＋ 解：x≥0时，y＝sin|x|y＝sinxy＝sin|x|y作函数 的图象解：因y＝1＋3，先作出y＝3的图象，将其图象向右平移1 1

考点 识图与辨[例

(2)(2017·福建三明调研)函数y＝ax2＋bx与函数y＝xa＋b(a≠0)在同一坐标系中的

，由二次函数图象可知，＜

，－

2a－4a

＜0b＜0y＝xa＋bBC，D，由二次函数图象可知，a＜0，－b＞0b＞0C，DC函数图象大致是()故选B.[方法引航[方法引航 函数图象的识辨可从以下几方面入手3xy＝3x

的图象大致是 333

-Ax＝－1时，y＝-3

＝2＞0Bx＝2时，y＝11＝4时，y＝64D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者，可排除选项D.故选C.函数y＝xa与y＝logax的图象在同一坐标系中的图象可能为 解析：D.y＝xa(x≥0)y＝logax(x＞0)A中没有幂函数图象，不符B，y＝xa(x≥0)a＞1，y＝logax(x＞0)0＜a＜1，不符合；对于y＝xa(x≥0)中0＜a＜1，y＝logax(x＞0)中，0＜a＜1，符合，故选D.3．(2017·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量 解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、3考点三[例3] (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ．f(x)(－∞，1)．f(x)(－1,1)．f(x)(－∞，0)解析：f(x)xx－2x

f(x)为奇函数，且在(－1,1)y＝x－1y＝kxk

解析：将函数

k的取值范围为

＜0

＜0

x＜0xf(x)＜0，f(x)xf(x)＜0的解集为成，则f(x)的解析式为 解析：当－1≤x≤0

x＞0∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1答案 [方法引航 1根据图象的左右上下的取值可看出函数的定义域、值域、最值根据图象的对称性可看出奇偶性，根据图象的上升、下降可看出单调性2利用函数的图象研究方程根的个数,当方程与基本函数有关时，可以通过函数fx0fxxfxgxfxgx.cos

则下列结论正确的是 解析：D.根据所给分段函数解析式，画出函数图象解答．画函数f(x)＝

D函数 －1的零点个数为 与2不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为( A．[165，94] B．[165，94]C．(1，16 D．(1，9得165≤a＜944．(2017·七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以

＝ ．f(x)＝ 1 解析：A.B、Cx→＋∞时，f(x)→0；D选项中f(x)→＋∞，排除D，故选A.[思想方法数形结合思想——[典例]a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a＝ 对a分类画出函数f(x)的图象，由图象确定函数的单调性，由单调性确定最大值g(a)，求出函数g(a)的解析式后，再确定g(a)最小时对应的a的值．a＝0时，f(x)＝x2,f(x)在区间[0,1] ＝4

＝

4a≥2f(x)的图象如图(4)f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝a－1.a1－a，a＜22－2，综上，g(a)＝4，22－2≤a＜2，aa＜22－2时，g(a)＞g(22－2)＝3－222－2≤a＜2时，g(a)≥g(22－2)＝3－22；当a≥2时，g(a)≥g(2)＝1＞3－22.综上，当a＝22－2时，g(a)min＝3－22. 22－2[高考体验 解析：选A.函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln1＝0，综上选A. 3．(2015·高考课标卷Ⅰ)y＝f(x)y＝2x＋a对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( 解析：C.y＝f(x)P(x0，y0)P(x0，y0)P′(－y0，－x0)P′y＝2x＋a所以－y0＋a＝log2(－x0)y0＝a－log2(－x0)，所以f(x)＝a－log2(－x)，又f(－2)＋f(－4)＝1，所以2a－log22－log24＝1，2a－1－2＝1a＝2xf(x)y＝f(x)的图象大致为()＋

＋

＋ 解析：C.f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cosx)·sinx＝－f(x)，所以f(x)Bx∈(0，π)时，1－cos＋(1－cosx)·cosx，所以f′(0)＝0，排除D.故选C.6．(2016·高考浙江卷)函数y＝sinx2的图象是 解析：D.y＝sinx2 A 基础演函数y＝1－1的图象是 x解析：选B.将y＝－1的图象向右平移1xy＝1－1函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一坐标系中的图象大致是 解析：C.f(x)＝1＋log2x的零点是1A；g(x)＝21－x是减函数，且与y轴的交点为(0,2)，排除B和D，故选C.2函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为 22解析：D.y＝xcosx＋sinxB.x＝πC2A 解析：选 y＝f(x)y＝－f(x＋1)的图象大致为(1)的图象，根据上述步骤可知C正确．loga2＜0(a＞0a≠1)f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是(解析：f(x)＝loga(x＋1)A、D选项错误，再由定义域知B选项正确．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( ∈(－1,0)现有四个函数：①y＝xsinx，②y＝xcosx，③y＝x|cosx|，④y＝x·2x的图象(一组是() 解析：选D.由于函数y＝xsinx是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；y＝xcosxx＝π时，y＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；y＝x|cosx|y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.函数f(x)＝axm(1－x)2在区间[0,1]上的图象如图所示，则m的值可能是 解析：选A.f′(x)＝maxm－1(1－x)2－2axm(1－x)＝axm－1(1－x)·[m－(m＋2)x]f′(x)＝0x＝1x＝m0＜m＜0.5 解析：选 2的图象与x，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标点N的横坐标均为正，∴x＝－b＞0，y＝b＞0，故a＜0，b＞0 断点的横坐标为正，∴－c＞0c＜0B 能力突函数的大致图象是()解析：选C.随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.f(x)x≥0

2解析：A.y＝f(x)y＝12由图 1的解集为

已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域 解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足＞0直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围 a－1＜1＜a 答案 若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，实数a的取值范围 解析：∀x∈R，f(x)＞f(x－1)．由题图 a＞0，且 设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是 与－a≤1a≥－1f(x)≥g(x)a的取值范围是第8函数与方y＝f(x)(x∈D)f(x)＝0xy＝f(x)(x∈D)f(c)＝0cf(x)＝0的根．二次函数＋bx＋cx210定义：对于在区间[a，b]f(a)·f(b)＜0y＝f(x)，通过不断②求区间(a，b)f(c)＝0c(1)x轴的交点．(×)(3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)b2－4ac＜0时没有零点．(√)y＝2sinx－1f(x)＝kx＋1在[1,2]

已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是＜0 函数 在[a ，b] 上只有一个零 考点一[例

3.3.

因为 0f(x)的零点所在区间为函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 2解析：x＝0时，f(x)＝0.x∈[0,4]，所以0≤x2≤16.因为5π＜16＜11π，2y＝cosx2x2取π，3π，5π，7π，9π f(x)＝0f(x)＝xcosx2在区间[0,4]若f(x＝

则函数g(x＝f(xx的零点为 解析：g(x)＝f(x)－xf(x)＝x

x＝1＋2∴g(x)1＋答案：1＋[方法引航]1fx＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零且fa·fb＜0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数1．(2017·浙江温州十校联考)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间 解析：B.法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝lnf(x)＝lnx＋x－2f(x)的零点所在的区间是f(x)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点f(x)的零点所在的区间为 出 两图象有2个交点，即函数有2个零点－x＋3的零点的集合为 C．{2－ D．{－2－解析：D.x＜0f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.f(x)Rf(－x)＝－f(x)x＜0时，f(x)＝－或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.g(x)＝0x2＋4x－3＝0x＝－2＋7＞0(舍去)x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．g(x)＝0y＝f(x)y＝x－33y213.yx＜－3考点二[例 两个零点分别位于区间 区间(a，b)和(b，c)内，故选A.(2)af(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有a解：f(x)＝0 f(x)＝0af(－1)·f(3)≤055检验：(1)f(－1)＝0时，a＝1f(x)＝0x2＋x＝0x＝0方程在[－1,3](2)f(3)＝0时，a＝－1f(x)＝x2－13 5 f(x)＝0x2－13－6＝0x＝－25 方程在[－1,3]5综上所述，a＜－15[[方法引航 解决二次函数的零点问题的方 解析：a＝0∴(x－1)2＝2，∴x＝1＋x＝1－f(x)在[－1,3]1±在本例(2)f(x)在[－1,3]a

解析：由题意得f－1＝1－3a－2＋a－1≥0f3＝9＋33a－2＋a－1≥05Δ＞05即55

[思想方法唇齿相依的函数与方程——[典例 设函数2x，

则满足f(f(a))＝2f(a)的a A.

由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.a＜1

a≥1综上 2，故选[答案][回顾]首先用函数思想处理f(f(a))的表达式结合分段函数讨论自变量af(a)f(f(a))f(f(a))＝2f(a)转化为函数h(a)＝f(f(a))－2f(a)，研究函数零点，确定方程根．[高考体验 m与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则

x＝1＋xy＝f(x)y＝x

m对称，所 ＝ m

＝

＝

2

A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝ln 解析：A.y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.不相等的实根，则实数k的取值范围是(

解析：选B.在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线2－1的斜率时符合题意，故24．(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围

2 2 logab＝1logab＝2(舍去)a＝ba＝ba2 2 2a＝2b，b2＝2bb＝2(b＝0舍去答案

6．(2016·高考山东卷)已知函数f(x)＝x2－2mx＋4m，x＞m，其中m＞0.若存在实数b使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根则m的取值范围

x＞m＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m交点为Q(m，m)．①当

即0＜m≤3时，函数f(x)的图象如图y＝bf(x)②当

m＞3f(x)2b意．综上，m的取值范围为(3，＋∞)．A 基础演方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( 解析：C.f(x)＝log3x＋x－3，则∴f(x)＝0在(2,3)f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范 解析：选C.∵方程x2＋mx＋1＝0＞2f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)a 解析：选C.由题意知f(－1)f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1. 解析：选B.(数形y＝|x2－2x|∴y＝|x2－2x|y＝a2＋15．f(x)R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)0≤x≤1时，f(x)＝x2 解析：选B.由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图所示，总共有5用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5， 解析：f(x)＝x3－2x－5从而下一个有根的区间为

已知函数f(x)＝－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是 解析：

g(x)＝f(x)－m3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集 解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b∴－2,3x2＋ax＋b＝0由根与系数的关系知

22答案 已知函数 证明：

g(x)在[0，1 f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)11小，求实a的取值范围．解：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则得f(1)＜0，即1＋(a2－1)＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.B 能力突已知三个函数f(x＝2＋xgx)＝x－2(x)＝lo2＋x的零点依次为abc，则( ) 解析：B. f(x)f(x)＝2x＋x∵g(2)＝0，∴g(x) h(x) f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5a，b的零点，则 解析：选A.依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数f(x)是增函数，因此f(x)的零点在区间(0,1)0＜a＜1.g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln2＋3＞0，函内是增函数，因此有g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f(b)．3．(2016·山东临沂一模)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)m的取值范围是()

解析选C.依题意结合函数f(x)的图象分析可知m需满足 解得

2

解析：g(x)＝f(x)－f(a) 整理得：g(x)＝1(x－a)(ax2＋a2x－2)．显然g(a)＝0，令h(x)＝ax2＋a2x－2.因此，g(x)f(x)＝f(a)解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.Δ＝0∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去∴2x＝1，x＝0Δ＞0m＞2m＜－2t2＋mt＋1＝0f(x)综上可知，m＝－2时，f(x)第9函数模型及应f(x)＝ax＋b(a、b k＋b(k，b(a，b，c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0(a，b，c为常数，b≠0，a＞0f(x)＝axn＋b(a，b在yx随n同x0x＞x0判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打在(0，＋∞)x的增大，y＝ax(a＞1)0020102011年想要恢复成，则应降价某种商品进价为每件100元，按进价增加25%，后因库存积压降阶，若考点一[1]为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行400600y(元)x(吨

2－200x＋80000100元．则该单位每月能否获利？