平稳过程的谱密度

关于平稳过程的谱密度第1页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/302主要内容一、平稳过程的（自）谱密度及性质二、平稳过程的互谱密度及性质三、谱密度与相关函数的关系四、傅立叶变换的性质第2页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/303谱密度的概念在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（powerspectraldensity,PSD）或者谱功率分布（spectralpowerdistribution,SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。第3页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/304一、平稳过程的（自）谱密度定义3.5设是一个平稳过程，如果含参变量的广义积分

存在，那么，称为平稳过程的（自）谱密度第4页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/305维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数绝对可积，即时，存在，且相关函数

这表明谱函数是相关函数的傅立叶变换，而是的傅立叶逆变换.第5页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/306

通常记作对于平稳序列，（自）谱密度定义为容易看出上式右端是一个傅立叶级数。第6页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/307赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数满足时，存在（即上述傅立叶级数收敛），且相关函数第7页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/308例3.11设是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了是一个平稳序列，且相关函数于是，谱密度这个谱密度是常数，即平稳序列的谱密度在各个频率上具有相同的分量，由于物理上白光的谱为常数，因此，称为白噪声（序列）。第8页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/309例3.12设是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了是一个平稳序列。为了方便，我们记求的谱密度。第9页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3010定理3.5（谱密度的性质）设是平稳过程的谱密度，（i）是取非负实数值的偶函数，即

（ii）（iii）巴塞伐等式第10页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3011

谱密度的引入使得对平稳过程相关理论的研究不再局限于时间域内，它可以同时也在频率域内进行，傅立叶变换提供了两者之间转换的数学工具。下面通过例题来说明两者之间的相互换算。第11页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3012例3.13设平稳过程的相关函数其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到的谱密度第12页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3013例3.14设平稳过程的相关函数其中，常数a>0.易见当常数时，即是例3.13。由定理3.5（ii）得到的谱密度第13页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3014在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不能用普通函数来描述，需要引进广义函数。定义3.6如果函数满足那么称函数为狄拉克函数，简称为函数。第14页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/301515引入函数借助函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无限值用函数表示。其傅立叶变换第15页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3016函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是下列矩形波的极限，记其中a>0。不妨认为通常把用长度为1的有向线段来表示（见表3.1）。函数的一般形式是，它是的复合函数。对任意一个连续函数，必定满足第16页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3017下面对这个公式作一个直观解释：设

由积分中值定理推得：第17页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3018

今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以取作函数。必要时，还可以有形如的相关函数与谱密度，容易看出，它是m个函数的线性组合。第18页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3019例3.15设平稳过程的相关函数，其中常数

的谱密度

这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零均值的平稳过程称为白噪声过程。这是一个连续白噪声，不同于3.5中给出的离散白噪声。白噪声过程是一种理想化的数学模型。第19页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3020例3.16设平稳过程的谱密度

的相关函数第20页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3021第21页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3022引理3.1傅立叶变换及其逆变换具有下列性质：（i）线性性质当是常数时，（ii）位移性质当是常数时，第22页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3023例3.17设平稳过程的相关函数

求的谱密度例3.18设平稳过程的谱密度求的相关函数第23页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3024有理谱密度的一般形式：

分子分母无实根，无公共根。对于有理谱密度，求相关系数可用待定系数法把谱密度分解成若干部分分式之和。第24页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3025例3.19设平稳过程的谱密度

求其相关函数第25页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3026由于实际频率不取负值，因此给出单边谱密度的定义：利用只有正频率部分的单边功率谱，定理3.5（ii）可以写成：第26页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3027第27页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3028定义3.7设是两个平稳相关的平稳过程，互相关函数为称为平稳过程的互谱密度。与（自）谱密度相似，第28页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3029用傅立叶变换及其逆变换来表示：由于互相关函数与自相关函数的性质不同，因此，互谱密度与自谱密度也有很大差异。一般情况下，互谱密度取复数值，也不再是偶函数。这里都可以取函数第29页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3030定义3.6（互谱密度的性质）设是两个平稳相关的平稳过程的互谱密度，（i）（ii）（iii）第30页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3031从定义和施瓦茨不等式第31页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3032例3.20设是两个平稳过程，记求：（1）的谱密度（2）的互谱密度第32页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2023/6/3033引进互谱密度是为了在频域上描述两个平稳过程的相关性。从上述例题可以得到：当