导热问题的数值解法

关于导热问题的数值解法第1页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法2§4-0引言求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法

三种方法的基本求解过程

(1)

所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；

(2)

数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；第2页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法3

(3)

实验法就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法3三种方法的特点

(1)分析法

a能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；

b局限性很大，对复杂的问题无法求解；

c分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见

第3页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法4(2)

数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低(3)实验法:

是传热学的基本研究方法，a适应性不好；

b费用昂贵数值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、边界元法（boundary-element）、分子动力学模拟（MD）第4页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法5§4-1导热问题数值求解的基本思想

及内部节点离散方程的建立1物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否第5页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法6二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题2例题条件第6页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法7控制方程：是指描写物理问题的微分方程针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：

其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种，三个边界条件为：第7页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法8xynm(m,n)MN3基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题第8页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法9

用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点(结点)，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。

相邻两节点间的距离称步长。△x,△y

每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点代表的小区域称为元体（又叫控制容积）。

第9页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法104建立离散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）级数展开法；(2)多项式拟合法；(3)控制容积积分法；(4)控制容积平衡法(也称为热平衡法)第10页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法11第11页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法12若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加移项整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：截断误差未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2第12页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法13

对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其节点方程为：第13页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法14(2)控制容积平衡法(热平衡法)基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量即：单位：第14页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法15即：从所有方向流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用第15页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法16稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量＝0内部节点：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)第16页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法17以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如图所示第17页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法18(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：内热源：第18页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法19时：第19页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法20无内热源时：变为：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。第20页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法214-2边界节点离散方程的建立及代数方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用Φ表示内热源强度。第21页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法221.边界节点离散方程的建立：qwxyqw(1)平直边界上的节点第22页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法23(2)外部角点xyqw第23页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法24(3)内部角点xyqw第24页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法25qw的情况：(1)第二类边界条件：将，带入上面各式即可

绝热或对称边界条件？第三类边界条件：将，带入上面各式即可

？课堂作业：将带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式(3)辐射边界条件：或其他第25页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法262.节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法第26页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法27直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;

矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值第27页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法28在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第k次迭代的数值可以求得节点温度：第28页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法29判断迭代是否收敛的准则：k及k+1表示迭代次数；—第k次迭代得到的最大值当有接近于零的t时，第三个较好第29页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法30迭代公式的选择1）对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。这一条件数学上称主对角线占优（对角占优）；

2）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。

第30页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法314.3非稳态导热问题的数值解法

非稳态导热与问题导热的主要区别在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散与稳态导热的是一样的，因此，本节讨论的重点在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算结果的影响。1.1时间空间区域的离散化1.非稳态项的离散

以一维非稳态导热为例讨论时间－空间区域的离散化。如图所示，x为空间坐标，我们将计算区域划分为（N-1）等份，得到N个空间节点；τ为时间坐标，我们将时间坐标上的计算区域划分为（I-1）等份，得到I个时间节点。从一个时间层到下一个时间层的间隔Δτ成为时间步长。空间网格线与时间网格线的交点，如（n,i）代表了时间－空间区域中的一个节点的位置，相应的温度记为。

第31页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法321.2非稳态项的离散有三种不同的格式

①向前差分如将函数t在节点(n，i＋1)对点(n,i)作泰勒级数展开，则有于是有同样，此处符号表示余项中△τ的最低阶为一次。可得在点（n，i）处一阶导数的差分表示式：，此式称为的向前差分。第32页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法33②类似的，如将函数t在节点(n，i－1)对点(n,i)作泰勒级数展开，可得的向后差分的表达式③如将函数t在节点(n，i－1)及(n,i＋1)处的展开式相加，则可得一阶导数的中心差分表达式在非稳态导热的数值计算中，非稳态项的上述三种差分格式都有采用，本书主要采用向前差分的格式，但也简单介绍了向后差分的格式。第33页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法342.一维非稳态导热离散方程的建立2.1内节点一维非稳态导热离散方程的建立对于形如式（3－11）所示的一维非稳态导热方程，如扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分，则有

（1）可进一步改写为（2）

求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度出发，根据边界条件依次求得各个时间层上的温度值，有此式可见，一旦i时层上各节点的温度已知，可立即算出（i+1）时层上各点的温度值，而不必联立方程，因而该式所代表的计算格式称为显示差分格式。显式的优点是计算工作量小，缺点是对时间步长及空间步长有一定的限制，否则会出现不合理的结果。

第34页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法35如果把式（1）中的扩散项也用（i＋1）时层的值来表示，则有式中已知的是i时层的温度值，而未知量有3个，因此不能直接由上式立即算出之值，而必须求解（i+1）时层上的一个联立方程组才能得出(i+1)时层各节点的温度，此种差分格式称隐式差分格式。从时间－空间坐标系中的节点（n,i+1）来看，上式的左端是非稳态项的一种向后差分。隐式格式的缺点式计算工作量大，但它对步长没有限制，不会出现解的振荡现象。

以上介绍的式泰勒展开法，同样我们也可以对平板中的一个元体直接应用能量守恒定律及傅立叶定律而导出以上差分方程，而这种方法不受网格是否均分及物性是否为常数限制，是更一般的方法。下面我们对边界节点应用元体热平衡法建立其离散方程。第35页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法362.2边界节点离散方程的建立

下图示出了一无限大平板的右面部分，其右侧面受到流体的冷却，对流换热系数为h。此时边界节点N代表宽度为的元体(图中阴影部分)。

对该元体应用能量守恒定律可得经整理得

（3）

第36页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法37于是式（3）可写为式中及分别为网格傅立叶数及网格毕渥数。

2.3归纳

把第三类边界条件下，厚度为2δ的无限大平板的数值计算问题作一归纳。将计算区域划分为N-1等份（N个节点），节点1为绝热的对称面，节点N为对流边界，则与微分形式的数学描写相对应的离散形式为第37页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法38

n=1,2,-------,N-1n=1,2,-------,N这样从已知的初始温度出发，根据上式可依次求得各个时间层上的温度值。至于空间步长及时间步长的选择，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但所需的计算机内存及计算时间则大大增加。第38页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第四章导热问题的数值解法393.时间步长与空间步长的关系对显式差分格式稳定性的影响3.1对内节点显式差分格式稳定性的影响由内节点显式差分方程

该式表明，点