湖南省邵阳市新邵县迎光乡中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省邵阳市新邵县迎光乡中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.3.设a，b∈R+，则“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】首先，将a2﹣b2＞1化简为（a﹣b）（a+b）＞1，然后，结合条件a，b∈R+，做出判断．【解答】解：设命题p：a﹣b＞1；命题q：a2﹣b2＞1∵a2﹣b2＞1化简得（a﹣b）（a+b）＞1又∵a，b∈R+，∴p?q，q推不出p，∴P是q的充分不必要条件，即“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要条件．【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题．4.设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A． B． C． D．3参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3所以最小是3故选D．5.函数y＝的图象如左下图所示，则导函数的图象可能是（

）参考答案：D6.已知满足约束条件

，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C由题意得，故不等式化为，

化简得，

故原题等价于在上恒成立，由二次函数图象，其对称轴为，讨论得

或，解得或，综上可得8.已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，，则a=（A）1或-1

（B）或-

（C）-

（D）参考答案：A由得，所以，故选A.9.若（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是

.参考答案：略12.在平行四边形ABCD中，，则

．参考答案：－7在平行四边形ABCD中，，，则.

13.已知函数在区间[1,e]上取得最小值4，则

▲

．参考答案：－3e14.若，α是第二象限的角，则=．参考答案：考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由题意可求得cosα，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：∵sinα=，α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=﹣×+×=．故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的余弦函数，求得cosα是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．15.已知，且，则的最大值为

.参考答案：16.一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次成等比数列的概率为

参考答案：17.若，，则=

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修：不等式选讲（1）已知关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值；

（2）已知，求证：．参考答案：

（1），

（2）因为，所以

19.某单位委托一家网络调查公司对单位1000名职员进行了QQ运动数据调查，绘制了日均行走步数（千步）的频率分布直方图，如图所示（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示运动量在[4，6）之间（单位：千步））．（1）求单位职员日均行走步数在[6，8）的人数．（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本单位随机抽取3位职员（看作有放回的抽样），求日均行走步数在[10，14）的职员数X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）依题意及频率分布直方图先求出单位职员日均行走步数在[6，8）的频率，由此能求出日均行走少数在[6，8）的人数．（2）根据频率分布直方图知，中位数在[8，10）内，设中位数为x，列方程能求出样本数据的中位数．（3）单位职员日均行走步数在[10，14）的频率为（0.125+0.075）×2=0.4，由题意知X～B（3，0.4），由此能求出日均行走步数在[10，14）的职员数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）依题意及频率分布直方图知，单位职员日均行走步数在[6，8）的频率为0.100×2=0.2，则日均行走少数在[6，8）的人数为0.2×1000=200人．（2）根据频率分布直方图知，中位数在[8，10）内，设中位数为x，则0.05×2+0.1×2+0.125×（x﹣8）=0.5，解得x=9.6，∴样本数据的中位数为9.6．（3）单位职员日均行走步数在[10，14）的频率为（0.125+0.075）×2=0.4，由题意知X～B（3，0.4），P（X=0）=0.63=0.216，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==0.064，∴X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064∴E（X）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．20.(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数．（1）求证：；（2）解不等式.参考答案：解：（1），------------------3分又当时，，

∴-----------------------------------------------5分（2）当时，；

当时，；

当时，；-------------------------8分

综合上述，不等式的解集为：.-------------------------10分21.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[160，165）50.050第二组[165，170）a0.350第三组[170，175）30b第四组[175，180）c0.200第五组

100.100合计

1001.00（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定a，b，c的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】本题的关键是找到频率分布直方图每一组的频数，在根据古典概型的计算公式求得概率．【解答】解：（1）由频率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组人，第四组人，第五组人．所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2，第五组的1名学生为C1．则从6名学生中抽取2名学生有15种可能：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为．【点评】本题考察频率分布直方图、分层抽样、古典概型的基本知识，是一道常见的高考题．22.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．（Ⅰ）求证：EF∥BC；（Ⅱ）求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LT：直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）证明AD∥BC，即可证明BC∥面ADEF，然后证明EF∥BC．（Ⅱ）以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．求出设面BCFE的法向量，设与所成角为φ，直线DE与面BCEF所成角为θ．通过sinθ=|cosφ|，求解直线EF与平面BCEF所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形所以AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF所以BC∥面ADEF且面ADEF∩面BCEF=EF所以EF∥BC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为FO⊥面ABCD所以FO⊥AO，FO⊥OB又因为OB⊥AO以O为坐标原点，OA，OB