第五章曲线运动万有引力与航天必修24讲

第4 万有引力与航2.勒第二定律与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积3.勒第三定律：行星绕运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平Fm1m2r的G为引力常量：G＝6.67259×10－11m3/(kg·s2)。(2)适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离7.9_km/sr r(1)Gr2＝mr

＝7.9(2)mg＝mrv＝gr＝7.9第二、三宇宙速度第二宇宙速度：v2＝11.2km/s，是挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度：v3＝16.7km/s，是挣脱引力束缚的最小发射速度 答 (2)× 2.(2016·卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是 解 勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，并没有找出中的原因，而发现了万有引力定律答 面说法正确的是()答案4.2017年6月19日长征三号乙遥二十八火箭发射中星9A过程中运载火箭心的密切配合下，通过准确实施10次轨道调整，终于于2017年7月5日成功定点于东经101.4°赤道上空的预定轨道如图1是变轨过程中的三个椭圆轨道， A.27.9C.在轨道2周期小于在轨道1的周D.轨道2可能是地球同步轨解

B

3rr

C步轨道非椭圆，选项D错误答 勒三定律的理解和应用行星绕的运动通常按圆轨道处理勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、绕地球的运动勒第三定律T2＝k中，kk【例1】(多选)(2017·卷Ⅱ，19)如图2，海王星绕沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、NT0，若只中()P

QNPQMN解 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为

PMMQPM用的时间小于10，选项A错误；海王星在运动过程中只 的引力作用，变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。答案火星和木星沿各自的椭圆轨道绕运行根据勒行星运动定律可知 火星和木星绕运行速度的大小始终相相同时间内，火星与连线扫过的面积等于木星与连线扫过的面 项A错误由于火星和木星在不同的轨道上运行且是椭圆轨道速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项B错误；由勒第三定律可知，

＝

＝

D答 ，该系统将由35颗组成的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道。其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步与中轨 ，1

解 同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍根 勒第三定律T2＝k得

3

，所以同 与中轨 答

Fmg，二是提供物体随地球F向3所示。在赤道上：

GR2在两极上： GR2 R2，得＝r＝R＋h 所以 【例2】(2019·江西抚州模拟)由中国、中国工程院两院评出的年中国十大科技进展，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“7000米分别排在第一、第二。若地球Rd，“天宫一h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为()

解 ＝GM由于地球的质量为 ＝3πGρR故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度 －d)。所以有

。根据万有引力提供向心力

＝ma，“天宫一号”的加速度为

C正确，A、B ，D，答

9 9

，则g 144解析当物体处于地面时，有mg＝GMm，当物体距离地面3R时，有 g′∶g＝1∶16D 答案2.2017年物理学奖授予了三位科学家，以表彰他们为“激光引力能维持该星体的稳定(不因自转而)，则当中子星的自转周期增为T＝2T0时某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为 22

43 430 0

R2＝mRT2当中子星的自转周期增为T＝2T0时，质量为m的某物体在该中子星“两极”受重力

0G1＝GR2＝mRT2，在该中子星赤道处所受重力G2＝GR20

002mR（2T）2＝4mRT2，解得G＝3D002答 天体质量和密度的估算“g、R”法：gR GR2＝mgM＝G

M＝3g＝V

“T、r”法：测出绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T Gr2＝mT2rM＝GT2 M ρ＝V

若绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度 环绕天体表面运动的周期就可估算出中心天体的密度【例3】 (多选)(2019·海南东方模拟)利用引力常量G和下列有关数据，能计算 解 因为不考虑地球的自转，所以的万有引力等于重力，

M地＝G所以据A中给出的条件可求出地球的质量根 ＝m卫R

T＝v得M地＝2πG，所以据B中给出的条件可求出地球的质量根

mT2r，得M地＝GT2，所以据C＝

m地T2r′，得M太＝GT2，所以据D中给出的条件可求 的质量答 道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同做圆周运动的半径r与周期T5所示的图象，则可求得地球质量为(G)()

A. B.

解 A

r2＝mT2·r，可得T2＝4π2，结合题图图线可得b＝4π2M＝Gb答案2.(2018·11月浙江选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。vT的匀速圆周运动，已知星球的半RG表示。则字宙飞船和星球的质量分别是()

A.Δt，

Δt

C.Δv， D.Δv解 根 周运动的周期T＝2πr，得半径为

v

＝2π，根据万有引力提供向心力可得GmrM＝G＝2πGD答 θ(弧度)G，则() 探测器的轨道半径为 B.探测器的环绕周期为 解 知，

s

2（） （）Gr2＝mr，再结合v＝t可以求出M＝G ＝Gt2θ，选项C正确D答

rrrr

1

3

r越 ―→T∝越慢 地2＝地2

的运行轨道(7所示 (3)其他轨注意：同步的六个“一定59705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比， 解 由万有引力定律 第二定律有Gr2＝mrω＝mT2r＝mr＝ma，可

， ，

GM，又由题意可知，“高分四号rr答 利用万有引力定律解决运动的技 Gr2＝mr＝mωr＝mT2GR2＝mg(g为天体表面处的重力加速度(3)a、v、ω、T均与的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的() 解 根据组合体受到的万有引力提供向心力可得，Gr2＝mT2r＝mr

r2r2C答 如图9为人造地球的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，该图中MEO的周期约为(图中数据为近地点、远地点离地面的高度) A.3 B.8 C.15 D.20解析根据题图中MEO距离地面高度为4200km，可知轨道半径约为r1＝r2＝42400km，为MEO轨道半径的4倍，即r2＝4r1。地球同步的周 ，运

24

勒第三定律，2

1，解得 3 2答案，3.(2019·江苏无锡联考)2017925928日期间，启动新界面，其轨道“风云四号”拍摄着科学家15年的辛苦和努力下列说法正确的是()，D.7.9km/s解 由题可知，“风云四号 是地球同 ，而同 只能在赤道AGMm＝manan＝GMG 2力常量，M为地球质量，r为轨道半径，因“风云四号” 球的轨道半径故“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度故B正确； 的质量是否相等根据Ek＝1mv2知动能不一定相等故C错误；7.9km/s2r 四号”的轨道半径大于地球半径，根据v＝ GM可知，其线速度小于7.9km/s，rD答 (时间：40分钟1.(2018·卷Ⅲ，15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球Q的轨道半径约为地球半径的4倍。PQ的周期之比约为() 4解 由勒第三定律

＝，C 答 2.(2018·理综，17)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的60倍的情况下，需要验证()A.1/602C.1/6D.1/60解 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的

Gr2＝maarB答 火箭以“一箭双星”方式成功发射了两颗。这两颗是北斗三号导航系统的组网。它们的轨道为中圆地球轨道，高度约21000km。则下列说法正确的是()两颗的向心力相两颗的线速度相两颗运行的角速度均大于地球自转的角速两颗的向心加速度大于地面物体的重力加速解析两颗的线速度方向、向心力方向均不同，A、B项错误；两的轨小于地球自转周期，则它们的角速度均大于地球自转的角速度，C面上的物体，GMm＝mg,对，GMm1＝m1a，可见两颗 度小于地面物体的重力加速度，D答 a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造。其中a、的运行方向及位置如图2所示。下列说法正确的是( a、cbb、caa、cda、cP

解 由Gr2＝mr＝mrω＝mrT2＝ma，可知B、C项错误，A项正确vc，Ta＝Tca、c不会相撞，D答 g ρ0 033

2解 设星球的密度为ρ，由GMm′＝m′g得GM＝gR2，ρ＝M＝M，联立解2 ρ＝3g，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则ρ＝gR0，将R＝4，g＝6 上式，解得ρ＝3B 0答

不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出的() 解析做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有

T33GR2＝m0g，联立两式可得 －R，C项正确；由v＝T(R＋h)，计算出的线速度的大小，D项正确答 斗导航。若已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的第一宇宙v1，则()C.第一宇宙速度v1是人造地球的最大发射速度，也是最小环绕速D.在地球表面以速度2v1发射的将会脱离的束缚，飞到系之解析Rv1＝gR，对近地有v1v11 v2 v1v11)以估算出地球的平均密度，B错误；第一宇宙速度v1是人造地球的最小发射速度，也是最大的环绕速度，Cv1＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，第三宇宙速度v3＝16.7km/s，在地球表面以速度2v1发射的，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此将绕运动，D错误。答 8.我国自主研制的高分辨率对地观测系统包含至少7颗，分别编号为“高分分一号”，下列说法正确的是()7.9解 发射的最小速度为7.9km/s，离地面越远，发射速度越大，所“高分一号”的发射速度大于7.9km/s，A正确；设地球的质量为M，“

的轨道半径为，则的周期

。由于

rrT<24h，故“高分一号”不能固定在相对地面静止的同步轨道上，B错误；的环绕速度 的轨r半径，所以月球绕地球运行的线速度小于“高分一号”的线速度，C错误由

r3“高分一号”的周期，D错误答 9.(2019·三亚模拟)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地S1、S2绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a位置到行星中心距离r平方的倒数

5所示，S1、S2的引力

A.S1的质量比S2的 B.P1的质量比P2的C.P1的第一宇宙速度比P2的 D.P1的平均密度比P2的解 万有引力充当向心力，故有GMm＝ma，解得a＝GM1，故图象的斜率 ＝GMG是恒量，M故P1的质量比P2的大，由于计算过程中， 质量关系，A错误，B正确；因为两 是近 ，所以其运行轨道径可认为等于行星半径，根据第一宇宙速度v＝gR可得v＝a0R，从题图a0时，P2P1P1＝比P2的大，C错误；星球的密度ρ＝M＝M＝G ＝ P1P2的小，D答 10.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( M星∶M地 D.M星∶M地解 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间

＝

M

＝A正确，BGR2＝mgM＝G＝

2

M C错误，D答 11.位于的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜(FAST)。通过FAST测得水星与的视角为θ(水星分别与观察者的连线所夹的角)，如图6所示。若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕的运动视为匀速圆周 331C.C.k3（ 解 由题意可知，当观察者和水星的连线与水星的轨道相切时，水星与r视角最大，由三角函数可得s