全等三角形的性质和判定(SSS、SAS)02

全等三角形的性质和判定（SSS、SAS）学生/课程初二-数学年级初二学科数学授课教师日期时段核心内容全等三角形的性质和判定（SSS、SAS）课型一对一/一对N教学目标掌握全等三角形的性质，能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握并判定全等三角形，能利用三角形的全等证明一些性质。重、难点重点：掌握并应用全等三角形的性质；掌握并判定全等三角形；难点：能利用三角形的全等证明一些性质．课首沟通由老师自行填写知识导图课首小测如图，△OAD≌△OBC且∠O＝70°，∠D＝∠C＝25°，下列结论①OD＝OC，②BC＝OD，③BD＝AC正确的是 ．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．如图：点C，D在AB上，且AC=BD，AE=FB，DE=FC．求证：△ADE≌△BCF．如图，E、C、D三点在一条直线上，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．导学一：全等三角形的概念和性质知识点讲解1：全等三角形的概念观察下列每组中的两个图形，你发现它们的形状 ，大小 ，你能举出些类似的生活实例吗？由此，你得到上述图形的共同特征是： 、 完全相同；放在一起能够 ．能够 的两个图形叫做全等形．类似地，可以得出，能够 的两个 叫做全等三角形．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF．表示对应顶点的字母写在对应的位置上．【参考答案】1.相同，相等；2.完全重合，三角形；3.对应点，对应边，对应角。例1. （1）如图1，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，△ABC △DEF，点A与点D，点 与点 ，点 与点 对应顶点；AB和DE， 和 ， 和 是对应边；∠A和∠D， 和 ， 和 是对应角．如图2，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC，可得△ABC △DBC．AC的对应边是 ，BC的对应边是 ，∠A的对应角是 ，∠ACB的对应角是 ．如图3，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE，可得△ABC≌△ ．点A的对应点是点 ，DE是 的对应边AE是 的对应边，∠BAC和∠ 是对应角，∠E是∠ 的对应角．例2.[单选题]下列语句：①面积相等的两个三角形全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形等，它们的形状和大小一定都相同；④边数相同的图形一定能互相重合．其中错误的说法有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个我爱展示1.如图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，且EF=2.4cm，FH=1.9cm，HM=3.5cm．写出对应相等的边及对应相等的角；知识点讲解2：全等三角形的性质1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．例1. 如图，若△ABC≌△CDE，∠B和∠D是对应角，BC和DE是对应边．按要求填空：①点A和点 是对应点，点 和点E是对应点；②AB的对应边是 ，AC的对应边是 ；③∠A的对应角是 ，∠ACB的对应角是 ．求证：∠B＝∠ACD．例2. 如图，已知△ABC≌△DEF，AF=5cm．求CD的长．AB与DE平行吗？为什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC=DF（），∴AC﹣FC=DF﹣FC（等式性质）即=∵AF=5cm∴=5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A=（）∴AB∥（）例3.如图，点D，E在BC上，且△ABE≌△ACD．求证：（1）BD＝CE；（2）∠BAD＝∠CAE．我爱展示如图所示，已知△ABC≌△EDC，点D、C、A在同一直线上，∠E=∠A=30°，∠D=50°，则∠BCE= ．如图，△ABC≌△DEF，求证：（1）AD＝BE；（2）AC∥DF．如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE．△ABC≌△ADE，求证：∠CDE=∠BAD．导学二：全等三角形的判定知识点讲解1：三角形全等的条件（一）“SSS”三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）证明格式：在△ABC和△DEF中，∴ ≌ （ ）．【参考答案】DE；EF；DF；△ABC；△DEF；SSS例1.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE．求证：∠A=∠D．证明：∵BE＝CF（已知）∴BE＋ ＝CF＋ （等式的性质即 ＝CE（等量代换）在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（ ）∴∠A=∠D（ ）我爱展示如图，中， ，现想利用证三角形全等证明 ，若证明三角形全等所用的公理是 公理，则中所添加的辅助线应是 ．如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB。求证：△ABC≌△BAD．证明：∵CE＝DE，EA＝EB，∴ ＋ ＝ ＋ 即 ＝ ．在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（ ）．知识点讲解2：三角形全等的条件（二）“SAS”两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）证明格式：证明：在△AOD和△COB中，∴ ≌ （ ）．【参考答案】CO；COB；BO；△AOD；△COB；SAS例1.已知，如图，AB=CD，AB∥CD，BE=FD，求证：△ABF≌△CDE．例2. 如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．我爱展示如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，若以“SAS”为依据，补充的条件是．如图，AE∥CF，AE=CF，点E、F在线段BD上，且BF=DE，连接AB、DC．求证：AB∥CD．导学三：拓展延伸知识点讲解1：例1.如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BD，E是AD上一点，CD＝DE，连结BE并延长交AC于点F．求证：（1）BE＝AC；（2）BF⊥AC．我爱展示1. 已知，如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB＝FD，BC＝DE请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？若将△ABC沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？知识点讲解2：例1.如图，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE都为等边三角形，连接AE、DB．求证：AE＝BD．如果把△DCE绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（由）限时考场模拟： 分钟完成[单选题] 如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，有以下结论：①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确的个数是（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是 ．如图，OA=OB，要使△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是 ．（只填写一个条件即可）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，当DE=8，BC=5时，线段AE的长为 ；（2）已知∠D=35°，∠C=60°，①∠DBC的度数是 ；②∠AFD的度数是 ．已知：如图，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=BF．求证：AB∥CD．已知如图，AD＝BC．AC＝BD．求证：∠CAD＝∠DBC.已知如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．求证：BD＝CE．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接求证：（1）△BAD≌△CAE；试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．课后作业[单选题]已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）．A．72° B．60° C．58° D．50°如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝ °．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD=DC=2.4，BC=4.1．（1）若∠ABE=162°，∠DBC=30°，求∠CBE的度数；（2）求△DCP与△BPE的周长和．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AE，∠B＝∠E，BD分别与CE，AE交于点求证：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，∠B＝∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点QP的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？如图：在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AG．求证：（1）AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系．1、熟记本节常见解题类型与解题方法，熟记定理，灵活变通2、完成老师规定的作业，制定相应的学习安排。课首小测1.①③2.（－1，3）；（－1，－1）；（4，－1）证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC．在△ADE和△BCF中， ，∴△ADE≌△BCF（SSS）。解析:先依据等式的性质证明AD=BC，然后依据SSS进行证明即可．即∠EAD=∠CAB，在△EAD和△CAB中，，∴△EAD≌△CAB（SAS）．解析:先证明∠EAD=∠CAB，再利用SAS证明△EAD≌△CAB即可．导学一知识点讲解1：全等三角形的概念例题1.（1）≌，B，E，C，F；AC，DF，BC，EF，∠B，∠E，∠C，∠F；（2）≌，DC，BC，∠D，∠DCB；（3）ADE，A，BC，AC，DAE，C。2.B解析:①面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；②两个等边三角形一定是相似图形，但不一定全等，故本选项错误；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，符合全等形的定义，正确；④边数相同的图形不一定能互相重合，故本选项错误；综上可得错误的说法有①②④共3个．故选B．我爱展示1.解：（1）∵△EFG≌△NMH，∴EF=NM，EG=NH，FG=MH，∠E=∠N，∠F=∠M，∠EGF=∠NHM；知识点讲解2：全等三角形的性质例题1.（1）①C，C②CD，CE③∠DCE，∠E（2）证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠B＝∠D，∠ACB＝∠E∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∴∠B＝∠ACD2.（1）全等三角形对应边相等；AF=CD（2）∠D；全等三角形对应角相等；DE；内错角相等，两直线平行3.证明：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BE－DE＝CD－DE即BD＝CE（2）∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE即∠BAD＝∠CAE．我爱展示1.20°解析:解：∵△ABC≌△EDC，∴∠DCE=∠BCA，∵∠E=30°，∠D=50°，∴∠DCE=100°，∴∠BCA=100°，∴∠BCE=100°+100°﹣180°=20°，故答案为：20°．2.证明：（1）∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB－DB＝DE－DB即AD＝BE（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠EDF，∴AC∥DF3.证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE，由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD．解析:根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠ADE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，从而得证．导学二知识点讲解1：三角形全等的条件（一）“SSS”例题1.EF，EF，BF，BF，SSS，全等三角形的性质我爱展示BC上的中线CE；EB；DE；EA；CB；DA；CA；DB；CB；DA；AB；BA；SSS知识点讲解2：三角形全等的条件（二）“SAS”例题1.证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D，∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）．解析:由BE=DF，两边加上EF，利用等式的性质得到BF=DE，再由AB与CD等，利用SAS即可得证．2.证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．解析:根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．我爱展示AC=AE解析:补充的条件是：AC=AE．理由如下：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠DAE．∵在△ABC与△ADE中， ，∴△ABC≌△ADE（SAS）．故答案是：AC=AE．在△AEB和△CFD中∴△AEB≌△CFD（SAS），∴∠B=∠D，∴AB∥CD．解析:由平行的性质可得∠AEB=∠CFD，结合条件可证明△AEB≌△CFD，可得到∠B=∠D，可证明AB∥CD．导学三知识点讲解1：例题1.证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°．在△BDE和△ADC中， ，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC．（2）∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD＝∠DAC，∵∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠DEB＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＋∠EAF＝90°．∴∠AFE＝90°，∴BF⊥AC解析:（1）问由已知条件易证△BDE≌△ADC，从而证出BE＝AC。（2）问由△BDE与△ADC全等，得到∠EBD＝∠DAC，角∠BED＝∠AEF，从而△BED＝△AEF的两对内角分别相等，由三角形内角和定理可证∠AFE＝∠BDE=90°。我爱展示解：（1）AC⊥EF，证明如下．∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，在△ABC和△FDE中 ，∴△ABC≌△FDE（SAS），∴∠A＝∠EFD，∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠ACB＋∠ECD＝90°，∴∠ACE＝180°－90°＝90°，∴AC⊥CE．（2）AC⊥FE，证明如下，证明：∵∠A＝∠F，∠ABC＝∠ABF＝90°，∠AMN＝∠FMB，∴∠F＋∠FMB＝90°，∴∠A＋∠AMN＝90°，∴∠ANM＝180°－90°＝90°，∴AC⊥FE．知识点讲解2：例题1.（1）证明：∵△ABC、△DCE都为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，即∠BCD＝∠ACE，∵在△BCD与△ACE中： ，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）仍然成立。限时考场模拟1.B全等三角形的对应角相等解析:由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C’O’D’，则∠COD≌∠C’O’D’，即∠A’O’B’=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故答案为：全等三角形的对应角相等．3.OC=OD4.3；25°；130°解析:（1）∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5，∴AB=DE=8，BE=BC=5，∴AE=AB﹣BE=8﹣5=3，（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=85°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBE=85°﹣60°=25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF=∠D+∠DBE=35°+60°=95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130°．故答案为：3；25°；130°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°．又∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△AFB与△CED中，∴△AFB≌△CED（SAS）．∴∠A=∠C．∴AB∥CD．证明：在△ABC与△BAD中∴△ABC≌△BAD(SSS)∴∠CAB=∠DBA，∠CBA=∠DAB∴∠DAB-∠CAB=∠CBA-∠DBA即∠CAD=∠DBC即∠DAB=∠EAC又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD=CE即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．解析:要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．课后作业1.D2.135°3.解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度数为66°；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AD