高等数学高教五版讲义概率统计学绪论工科类

高等数学高教五版讲义概率统计学绪论工科类第一部分序言第二部分概率第三部分统计（一）从“什么是统计”说起（二）重在“观念”和“思考”（三）“不确定性”和“随机性”（四）统计的特点第一部分序言（一）从“统计是什么”说起1、几个案例2、统计学是收集和分析数据的科学和艺术。3、统计是受过教育的人应有的素养。1、几个案例

小儿麻痹症盐的统计

小儿麻痹症20世纪五十年代的一种流行病，对于一种疫苗有效性检验。收集20万儿童随机分成二组：实验组和对照组。结果对照组中有138个受感染；而实验组则有56个受到感染。使用假设检验的统计方法，表明138与56的差异是高度显著，疫苗是有效的。2、统计学是收集和分析数据的科学和艺术

统计是一门科学，它依赖的基本原理并不固定哪一种模式，作为量化和表现不确定性的方法论科学，其基础涉及很多哲学观点，能够对任一主题进行独立讨论，因而对人们的正确的世界观的形成是十分必要的。统计是一门艺术，着重说明统计方法需要灵活使用，依赖于人的判断以至灵感。

3、统计是受过教育的人应有的素养。血液检查中的经济学血液检查中的经济学

第二次大战时，必须招募很多士兵，为检查某种疾病需对每个申请者作血液检查，工作量巨大。如何在保证质量的前提下减少检验次数呢？假定该病的流行率为1/20。

可将申请者分成20人一组，如每组进行20次检查，则平均一组有一例阳性。今把20人分成2组（10人一组），采得每个组的10个人的混合血液，分别再对二次混合血液各做一次检验，则有一组呈阳性，而另一组为阴性。再对呈阳性一组，做10次检验，以确认哪一个人为阳性，如此只须做2+10=12次检验，比20次减少40%。如分成5人一组，则同理只须做4+5=9次检验，减少55%。这是在流行率为1/20的条件下，对20个人的最少检验次数。（二）重在“观念”和“思考”

美国统计协会和数学会的一个联合课程委员会曾指出：任何统计的入门课程，都应该“强调如何做统计思考”而且内容应该“多一些数据和观念，少一点公式和推导过程”。因此统计作为一门公共基础课程，其内涵符合素质教育的基本精神，应重在“观念”和“思考”。变异性(Variablity)

统计数据和统计资料具有变异性，即个体之间有差异，而对同一个体的多次观察，其结果也会不一样，并且几乎每一次观察都随着时间的不同而改变，因而变异性是一个重要的统计观念。抽样结果的差异是变异性的主要表现。例如，要调查某个人群中参与股票交易的比例p，抽取大小1523的样本，参与人数为868，则p的估计为，另外再抽一次，大小为1523的样本，结果是什么?

不能仅仅根据一次抽样的结果就断言p不多不少就是57(%)！重要的是对变异性有科学的描述。在这里运用概率思考是重要的。对上例置信陈述可以是一个合适的工具：例如，以95(%)的置信水平，这个比例p在和之间。（三）“不确定性”和“随机性”1、：统计学就是围绕不确定性的驾驭而发展起来的2、随机性是自然界所固有的3、短期的机遇变异和长期的规律性4、将随机性归纳于可能的规律性之中

凯特勒（A.Quetlet,1796-1874）利用概率论概念描述社会学和生物现象孟德尔（G.Mendel,1870）使用简单的随机结构，建立了他的遗传法则玻尔茨曼（Boltzmann,1866）给出了热力学第二定律的统计学解释这些伟人的思想观点是自然界的一场革命，然而这些观点在当时并未为人们所接受。2、随机性是自然界所固有的3、短期的机遇变异和长期的规律性

重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次出现的面：（1）正反正反反正（2）反反反正正正（3）正反反反反反

直觉认为结果（1）是随机的，结果（2）和结果（3）很不随机。

从概率的观点认为结果（1）、（2）、（3）的发生有相同的概率，因而没有哪一个结果比其他结果更多一点或少一点随机性。

在某地的彩票活动中，七年中有人累计中两次大奖的机会是：一半对一半人们的潜意识常常与理性思考的结果有很大差别，如不善于统计思考，即使面对十分平常的现象，也会闹出笑话。4、基于概率知识，将随机性归纳于可能的规律性中，这正是统计学科所涵盖的一个重要内容。

著名的分赌本问题

甲乙二人各有赌本1元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种原因赌博中止，问如何分赌本才合理？

分析：甲、乙均分显然不合理，由甲二胜一负能否依2：1来分？也是不合理的。巴斯卡提出一个关键点是：如赌局继续下去，各人取胜的概率，这将决定甲、乙二人的期望所得（后者现在称数学期望）。Bortkiewicz（1898）的马踏死骑兵人数的统计。5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。（1）抽样调查和试验设计的随机性（2）罐子模型考虑二种医学处理（用1和2表示）的临床比较试验模型的设计

一罐子有二类型号的球，即型1及型2的球，当一个病人接受处理时，随机抽一球，如为i型，则病人接受处理i，当处理的“效应”为成功时，则附加α个型i球及β个型号2-i+1球（α≧β>0待定）；如“效应”为失效，则附加β

个型i球及α个型号2-i+1球，可找出α，β的设计使模型在某种意义下最优。这种设计的优点在于有人性化，即较多的病人接受较好的处理。5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。（1）抽样调查和试验设计的随机性（2）罐子模型（3）MonteCarlo法与模拟

图2：如何求不规则图形的面积—蒙特卡罗法或模拟法MonteCarlo法与模拟MonteCarlo法与模拟四统计的特点1、统计学是使用有效方法收集分析数据，并作出结论的方法论科学。2、统计方法不涉及问题的专业内涵，是“中性”的，任何人都可以使用。3、统计结论并非百分之百4、统计方法研究和揭示现象之间在数量表现层面上的相关关系，但不肯定是因果关系。3、统计结论并非百分之百

因为变异无所不在，统计结论并不是绝对的。例如统计研究发现：对50－64岁的妇