第十六章坐标系与参数方程讲义

第十六章坐标系与参数方程

1真题多维细目表

考题涉分题型难度考点考向关联考点解题方法核心素养

圆的参数方程；切线的

极坐标方程，直角坐标

2021全国乙，2210解答题中参数方程极坐标方程公式法数学运算

方程与极坐标方程的

互化

极坐标方程与直角坐公式法

2021全国甲，2210解答题中极坐标方程参数方程数学运算

标方程的互化相关点法

将参数方程化为普通

方程，判断曲线类型，数学运算

2020课标I,2210解答题中参数方程极坐标方程公式法

求曲线公共点的面角逻辑推理

坐标

相加消元法

将参数方程化为普通

平方相减数学运算

2020课标11,2210解答题中参数方程方程，求圆的极坐标极坐标方程

消元法逻辑推理

方程

公式法

2命题规律与备考策略

婪内容主要体现在以下方向:①以极坐标方程与直角坐标方程之夏县建议①熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式，理解互化前

商而藐为背景考查两种坐标系之间的变换;②以参数方程与普通方脑砺杀消参的方法，快速进行参数方程与普通方程之间的互化；

程之间的互化为背景考查消元法的应用;③以直线、圆及圆锥曲线的③精通教材,理解极坐标中p与。的含义,会用极坐标表示三角形的面

融合为背景考查极坐标与参数方程的应用;④以直线与圆锥曲线形成积及线段的长度;④重视圆、椭圆参数方程的应用，理解直线参数方程

的弦长、弦中点及线段和与积为背景考查直线的参数方程中，的几何中/的含义，从而解决弦长、弦中点问题;⑤重点关注在极坐标系下解

意义.常以这些内容为考杳市点.同时注意函数与方程思想、数形结合决问题的能力和参数方程在求解最值问题中的应用.

思想以及转化与化归思想在解决极坐标方程与直角坐标方程互化、参色章策略（1）熟练掌握解决以卜.问题的方法和规律:①极坐标方.程

死标标方程的互化问题；②普通方程与参数方程的互化问题；

数方程与普通方程互化、最值问题中的应用.

题型赋分坐标系与参数方程是全国卷的选考内容，设题稳定，考题③参数方程中任意点或动点问题;④直线与圆锥曲线相交问题;⑤极

难度以中档题为主,题型以解答题的形式出现，设在试卷的第22题，分坐标在平面几何中的应用问题.（2）重视函数与方程、数形结合、转化

值为10分.与化归思想的应用.

电整特点本章内容在高考试题中用点考杳极坐标方程与直角坐标

海募（方程与普通方程之间的互化，极坐标中p与8的应用，【员1、椭

圆的参数方程的应用.但高考对坐标系的伸缩变换、直线、抛物线参数

方程的应用考查频率不高.试题情境主要为课程学习情境，主要考查的

核心素养为数学运算、逻辑推理.

7245年高考3年模拟B版（教师用书）

五年高考考点式编排题组式训练

考点1I极坐标方程夕堂变山分别是（1,0），（1，T），曲线M是弧靠.曲线.W,是

1.（2021全国甲,22,1（）分）在直角坐标系工0>中，以坐标原点为弧就,曲线也是弧ci）.

极点声轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程

1

（）分别写出弧,M2,M3的极坐标方程；

为p=2/cos0.

（2）曲线M由,!H2,M,构成,若点P在M上,且"）PI=4,

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

求P的极坐标.

（2）设点A的直角坐标为（1,0）为C上的动点，点P满足

赢，写出P的轨迹G的参数方程,并判断C与G

是否有公共点.

（©解题指导本题第（2）问先设出P与,M的坐标，然后利用

向量法将M的坐标用P的坐标表示出来，再代入曲线C的方丘）解析（1）由题设可得，弧蓝，前，褊所在圆的极坐标方程

程得P的轨迹方程由此写出C,的参数方程，最后利用两

分别为p=2cos6,p=2sin。,。=-2cos0.

圆的位置关系判断c与G是否有公共点.

2.（2020江苏,21B,10分）在极坐标系中，已知点A（p,,yj在直所以弧的极坐标方程为p=2cos，上的极坐标

方程为p=2sin。（白弧的极坐标方程为夕=

线/：pcos0=2上，点8人，总在圆C：p=4sin6上（其中

-2cos0（亍WOWir）.

（1）求plg的值;

（2）设尸（p,。），由题设及（I）知

（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标.

份解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运若OWOW—，则2cos0=^/5",解得0——■；

46

算求解能力.

IIT11若；这与，则2sin6=解得6=三或8二”;

（1）由p[Cos—=2=4；p,=4sin—=2,4433

3o

乂（0,0）（即（0,弓，）也在圆C上,因此生=2或0.若干WOWTT,则-2cos。="，解得。二亭

46

,（pcosG=2,/口综上,P的极坐标为国考）或（4号）或（"等或（"片）,

（2）由（得4sin0cos6=2,

（p=4sin9,

所以sin20=1.5.（2019课标n,22,10分）在极坐标系中，。为极点，点M"o,

因为P20,0W0<2TT,®o）（Po>0）在曲线C：p=4sin0上，直线/过点4（4,0）且与OM

垂直,垂足为P.

所以§=三，P=20

（1）当编《时,求P。及/的极坐标方程；

所以公共点的极坐标为,&

（2）当M在C匕运动且。在线段0M匕时，求。点轨迹的极

3.（2020课标DI,22,10分）在直角坐标系力。）中，曲线C的参数坐标方程.

（4=2一,一厂份解析本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基

方程为：（/.为参数且/K1）,C与坐标轴交于4,8

[y=2-3t+r本方法，考查了数学运算能力和数形结合的思想方法，主要体

两点.现了直观想象和数学运算的核心素养.

（1）求求81；TT-TT

（1）因为M（Po，/）在C上，所以当《■时,Po=4sin3■二

（2）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求直

线AB的极坐标方程.

273.由已知得IOPI=1041cosy=2.

缶解析（1）因为，*1,由2-，-/=0得，=-2,所以（；与>轴的

交点为（0,12）；由2-3，+/=0得，=2,所以C与#轴的交点设。（P，。）为/上除P的任意一点.

为（-4,0）.故1481=4在Rl40PQ中,「。。5（夕一三）=\OP\=2.

（2）由（1）可知，直线48的直角坐标方程为1+白=1,将*=

—412经检验，点P（2,3~）在曲线pcos（。——j=2_t.

pcos二psin8代入，得直线AB的极坐标方程为3pcos0-

psin0+12=0.所以,2的极坐标方程为pcos（。一]）=2.

4.（2019课标III,22,10分）如图，在极坐标系0%中，4（2,0）,

（2）设P（p,G）,在Rt△Q4P中,181=QIcos6=4cos化即

8佰,亍），C佰，称），"（2,TT）,弧0.0联，褊所在圆的圆心

p=4cos仇因为。在线段0M上，且AP10M,故0的取值范围

第士六章堂超多参数方程725

12pcos0+11=0.（3分）

是［十，T］.所以，P点轨迹的极坐标方程为p=4COS0,0

（2）在（1）中建立的极坐标系中，白:线I的极坐标方程为6=

，［T-T］-a（peR）.（4分）

设48所对应的极径分别为pjP2,将/的极坐标方程代入C

6.（2018课标I,22,10分）在直角坐标系近万中，曲线G的方的极坐标方程得p?+12p•cosa+11=0.

程为）,二川W+2.以坐标原点为极点，力轴正半轴为极轴建立极于是p1+P2=T2cosa,pg=IL（6分）

坐标系，曲线G的极坐标方程为P?+0cos0-3=0.

IAB\-\p-p1=A/（P,+p）2~^P\P2=J144cos2a-44.（8分）

（1）求。2的直角坐标方程；x22

3Vl5

（2）若G与C有且仅有三个公共点，求G的方程.由1481=得cos2a=—,tana=±---.（9分）

283

份解析（1）由%=pcos0,y=psin。得C2的直角坐标方程

所以I的斜率为手或-空.

为（欠+1尸+/=4.（10分）

（2）由（1）知C2是圆心为4（-1,0）,半径为2的圆.

3.（2016课标I,23,10分）在直角坐标系力。歹中，曲线G的参

由题设知,G是过点8（0,2）且关于，轴对称的两条射线.

{X—/7.COS/

记y轴右边的射线为Z,轴左边的射线为/.>’（<为参数,a>0）.在以坐标原点为极点/

2y-1+asmt

由于8在圆C2的外面，故C.与C有且仅有三个公共点等价

2轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：p=4cos6.

于，与C只有一个公共点且1与C有两个公共点，或4与2

222（1）说明6,是哪•种曲线，并将C,的方程化为极坐标方程；

c只有一个公共点且Z.与c有两个公共点.

22（2）直线的极坐标方程为。二%,其中四）满足tan%=2,若

当乙与只有一个公共点时M到/,所在直线的距离为2,所

曲线G与。2的公共点都在G上，求«•

T+2I4

以——zzn=2,故k=--丁或A*=0,经检验，当A=0时,/］与C,没合解析（1）消去参数/得到G的普通方程—+（厂I）、/

"+13

G是以（0,1）为圆心，。为半径的圆.（3分）

4

将化二pcos0,y=psin。代入G的普通方程中，得到G的极坐

有公共点;当仁■时,与C2只有一个公共点与&有

标方程为"-"sin8+lrJ=0.（5分）

两个公共点.

（2）曲线的公共点的极坐标满足方程组

当匀与C只有一个公共点时,A到4所在直线的距离为2,所

22

（p-2pSin0+1-«=0,建分）

Iz.+oI4

以「==2,故40或收丁.经检验，当心0时,与C,没（p=4cos6.

7FTT3

若p/0,由方程组得16cos2j-8sinGeos1-a2=0,tan0=2,

4

有公共点；当左=3■时/与3没有公共点.可得16cos23-8sin0cos9=0,从而1一a?=0,解得a=-1（舍

去），或a=l.（8分）

综上，所求G的方程为）=-,除1+2.«=1时，极点也为6，。2的公共点，在上.（9分）

所以。=1.（10分）

Q以下为教师用书专用（1一3）

1.（2018北京理，1（）,5分）在极坐标系中，直线pcos9+psin6=

考点21参数方程令学生用书一，

a（a>0）与圆p=2cos8相切，则a=.

1.（2021全国乙，22,10分）在直角坐标系xOy中，。C的圆心为

。答案1+72

C（2,l）,半径为1.

（£解析本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.（1）写出。C的一个参数方程；

pcos。=%，（2）过点尸（4,1）作作C的两条切线.以坐标原点为极点,%轴

由，psin。=，，可将直线pcos0+psin。=a化为“+y-a=0,将p=正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标

222

\p~=x~+y~方程.

22

2cos。，即p2=2pcos。化为x+y=2%,整理成标准方程为（4-@解题指导（1）根据题意直接求解；（2）利用直线与圆相切

1尸+『=1.的性质得出数量关系式，求出直线斜率和直角坐标方程，再把

又直线与圆相切,J.圆心（1,0）到直线x+y-a=0的距离d=直角坐标方程转化为极坐标方程.

=1,解得a=I±72,a>0,.'.a=1+J2.2.（2019课标I,22,10分）在直角坐标系x（）y中，曲线C的参数

72'1-r

（©方法总结这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为"-1+『’

方程为4,（/为参数）.以坐标原点o为极点/轴的正

直角坐标方程，然后用平面几何知识求解.4t

2.（2016课标11,23,10分）在直角坐标系xOy'P,|M|C的方程

为（*+6尸+/=25.半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos8+

（1）以坐标原点为极点/轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C5/3psin0+11=0.

的极坐标方程；（1）求C和/的直角坐标方程；

（X—/COSfV

（2）直线/的参数方程是,'（，为参数）」与C交于A,（2）求C上的点到/距离的最小值.

（y=Zsina份解析本题主要考查学生对椭圆的参数方程、直线的极坐标

B两点，Mm二求/的斜率.方程的掌握与运用，考查学生的运算求解能力及化归与转化

份解析（1）由％二pcos0,y=psin3可得圆C的极坐标方程p?+思想;考查的核心素养是数学运算.

7265年高考3年模拟B版（教师用书）

⑴因为T＜吊W1,且『+（5）=（号）+击7=1,所I/TI

所以」出二＜1,解得L-1或41,

vW

以。的直角坐标方程为J+/=l（x#-l）.即。右仔，3）或。弓传，舞

/的直角坐标方程为2#+司，+11=0.综上,a的取值范围是（十,亨）.

fX,—fos（V

（2）由（1）可设。的参数方程为二’（a为参数，-仃。＜宣）.

（y=2sina解法二:由题意知。。的普通方程为/+/=1,

C上的点到/的距离为x=zcosa,

厂.a为参数，。为倾斜角），

y=-v2+^sina

，人人k.一，4cos|a----）+11{

12cosa+2v3sina+111\3/

代入圆的方程中得到r-2^zsina+1=0,由于直线与留有两个

~/7=万,

不同交点，

当a=-yHt4eos（a-y）+lI取得最小值7,72

2

所以21=8sina-4＞0,.\sina＞—t

故C上的点到I距离的最小值为方

一「八、/7R3TT\

Xae[0,TT）aeI—I.

注:因为在教材中，参数方程与普通方程对应，极坐标方程与

直角坐标方程对应，所以本题中的“求C和/的直角坐标方%二£COSa,/"TT3qr\

L，为参数；（”芋.

程”更改为“求C的普通方程和I的直角坐标方程”更合适.{y=-V2+^sina\44/

®思路分析（1）通过平方相加消参可得曲线C的普通方

设4,8,P对应的参数分别为小"/尸，则%二?£,且小%满

程，利用x与t的关系得出比六-1,利用r=pcos0,y=psin。将/

的极坐标方程化为直角坐标方程.足r-272zsina+1=0.

（2）借助椭圆的参数方程、点到直线的距离公式求椭圆上的点

于是tA+ts=272sina,/z,=72sina.

到直线/的距离的最小值.

x=/；,cosa,

3.（2020课标I,22,1（）分）在直角坐标系”仍，中，曲线G的参

{y=-v2+Zsina.

数方程为「为参数）.以坐标原点为极点,％轴正半p

所以点P的轨迹的参数方程是

（y=sint

fV2.

轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos0-x=—sinza,

（a3

16Psin0+3=0.为参数彳得

4172c

（1）当%=1时,c,是什么曲线？y=-k-丁cos2a

（2）当*=4时，求G与C?的公共点的直角坐标.

X.—＜5/Q以下为教师用书专用（1—13）

'消去参数，得产+尸=1.

{y=sinI,1.（2017课标in理,22,10分）在直角坐标系xOy'P,直线。的参

故曲线G是圆心为坐标原点,半径为1的圆.

数方程为为参数），直线/,的参数方程为

（2）当k=4时,C,:「=c°sj，消去参数，得G的普通方程为（y=w

（y=sin/,x=-2+m,

m（m为参数）.设。与人的交点为P,当A变化时,P

爪+77=1.。2的直角坐标方程为4x-l6y+3=0.

1y=z

_1_

由产域=1,解得*4,的轨迹为曲线C.

l4x-16y+3=0I（1）写出C的普通方程；

卜不

（2）以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，

故G与G的公共点的直角坐标为（十，十）设4：p（cose+sin0）-/2=O,M为4与C的交点，求M的

极径.

4.（2018课标III,22,10分）在平面直角坐标系工。》中，€＞。的参金解析本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程.

数方程为「二°°，①（9为参数），过点（0,-VI）且倾斜角为a（1）消去参数，得/,的普通方程/,：y=M.T-2）；消去参数m

（,y=sin0得/,的普通方程（：y=；（x+2）.

的直线/与交于A,B两点."k

（1）求a的取值范围；y=k(x-2),

设P(3y),由题设得I,.、

（2）求力5中点P的轨迹的参数方程.y=—(x+2).

合解析（1）解法一：由题意知0（）的普通方程为#+/=1.k

7T消去4得“2->2=4(六0).

当。二万•时，/与交于两点.所以C的普通方程为=4(y#0).

(2)。的极坐标方程为p2(cos2e_sin2e)=4(0<6k2H,efp).

当aX；"时，记tana=A,则/的方程为）,二kx-41.

[p1(cos2^-sin20)=4,

联立《得cos0-sin6=2(cos9+sin6).

因为/与。。交于两点，(p(cos6+sin6)-v2=0

第士六章堂超多参数方程727

191数）.以原点为极点/轴正半轴为极轴建立极坐标系，0C的

故tan0=--从而cos20=—,sin20=—.

极坐标方程为p=2j§sin0.

RAp2（cos20-sin26＞）=4得p?=5,所以交点M的极径为6.（1）写出OC的直角坐标方程；

（©思路分析（1）由参数方程直接消去参数即得C的（2）P为直线/上一动点，当，到圆心C的距离最小时，求P

普通方程.（2）将C的直角坐标方程化为极坐标方程，与直线/3的直角坐标.

的参数方程联立，从而求得点M的极径.份解析（1）由p=2Qsin仇得p?=2Qpsin。，

⑨方法总结极坐标问题既可以化为直角坐标处理，也可以

从而有/+/=25y,

直接用极坐标求解.但要注意极径、极角的取值范围，避免漏根

所以冗2+（厂4）2=3.

或增根.

（2）设户（3+?0乂C（0,A）,

2.（2017江苏，21,10分）在平面白:角坐标系久Oy中，已知苴线I

%=-8+/,

的参数方程为/（，为参数），曲线C的参数方程为

ly=T

（A=2'7（S为参数）.设P为曲线C上的动点，求点P到直线I故当,=0时，|PC|取得最小值，

（y=2j2s此时,P点的直角坐标为（3,0）.

的距离的最小值.5.（2015湖南理，16,6分）选修4—4:坐标系与参数方程

合解析本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识，-＜73

翼=5+彳，，

考查运算求解能力.

已知直线1：＜（/为参数）.以坐标原点为极点/轴的

直线/的普通方程为%-2y+8=0.

y=^+^t

因为点P在曲线C上，设P（2.J,2j2s）,

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

I2/-4应5+812(s-&~)，4p:

从而点P到直线I的距离d=2cos.

%/12+(-2)275

（1）将Illi线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

当时（2）设点M的白:角坐标为（5,有），I工线/与曲线C的交点为

求・的值.

因此当点，的坐标为（4,4）时，曲线C上点P到直线/的眼离4,8,IM4IIMBI

（£解析（1）p=2cos6等价于p?=2pcos仇①

取到最小值半.将p2=/+y2,pc°s8=x代入①即得曲线C的直角坐标方程

为/十六2x0.②

3.（2015课标D理,23,10分）选修4—4：坐标系与参数方程

V=/COS（Y■「73

'.（为参数,30）,«=5+—

（y=/sina（2）将＜2代入②，得『+5有，+18=0.设这个方程的两

其中0WQ＜E在以0为极点,％轴正半轴为极轴的极坐标系

中，曲线C,：p=2sin8,，3：P=2A/3COS0.

个实根分别为.小，则由参数［的几何意义即知，IM4I♦

（1）求。2与的交点的直角坐标；

（2）若G与C2相交于点4,G与G相交于点“，求1/1川的最

（课标理分）选修：坐标系与参数方程

大值.6.2014I,23,104—4

份解析（1）曲线C2的直角坐标方程为，+/-2尸0,曲线C3已知曲线C：，+5=1,直线/：1=：+：'（，为参数）.

49（y=2-2t

的直角坐标方程为£+/-2百%=。

（1）写出曲线C的参数方程,直线I的普通方程；

X=f（2）过曲线C上任意一点P作与/夹角为30。的直线，交/于点

x2+y2-ly=0,“二:‘或，T

联立/+户2居=。解得上求IPAI的最大值与最小值.

J=0,=3_

=T,合解析（I）曲线c的参数方程为「=6,（e为参数）.

3sin0

所以C2与a交点的直角坐标为（0,0）和（抵,,）.