二次函数综合题2022年北京数学中考一模汇编

二次函数综合题2022年北京数学中考一模汇编

1.在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=a/-4ax+l(a>0).

(1)抛物线的对称轴为一；

(2)若当1WXW5时，y的最小值是一1,求当时，y的最大值：

(3)已知直线y=-X+3与抛物线y=ax2-4ax+l(a>0)存在两个交点，设左侧的交点为

点PQi，%),当一24刀1<一1时，求a的取值范围.

2.在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线y=ax与抛物线y=

ax2-2ax-l(a0)围成的封闭区域(不包含边界)为W.

(1)求抛物线顶点坐标(用含a的式子表示)；

(2)当a=：时，写出区域勿内的所有整点坐标；

(3)若区域IV内有3个整点，求a的取值范围.

3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3ax+a+1与y轴交于点A.

(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；

⑵求抛物线的对称轴；

(3)已知点M(-2,—a-2),N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求

a的取值范围.

4.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点4(0,-4)和8(-2,2).

(1)求c的值，并用含a的式子表示6；

(2)当-2Vx<0时，若二次函数满足y随生的增大而减小，求a的取值范围；

(3)直线AB上有一点C(m,5),将点C向右平移4个单位长度，得到点D,若抛物线与线段

CD只有一个公共点，求a的取值范围.

5.在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y=X2+2x+m+l以及两点A(m,m+1)和

(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m的代数式表示)

(2)若该抛物线经过点4(m,m+l),求此抛物线的表达式；

(3)若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-1交y轴于点P.

(1)过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q,PQ=4,求(的值;

(2)横纵坐标都是整数的点叫做整点.在(1)的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域

(不含边界)为若区域UZ内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围.

2

7.已知抛物线y=ax+bx+a+2(a*0)与x轴交于点点B(x2,0)(点A在点B

的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-l.

(1)若点A的坐标为(-3,0),求抛物线的表达式及点B的坐标；

(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2,若抛物线恰好经过点C,直接写出x2的取

值范围：

⑶抛物线的对称轴与x轴交于点D,点P在抛物线上，且NDOP=45。，若抛物线上满足条

件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围.

8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2+m的顶点为A.

(1)当m=l时，直接写出抛物线的对称轴；

(2)若点A在第一象限，且。4=鱼，求抛物线的解析式；

(3)已知点+C(2,2),若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写

出m的取值范围.

9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2—6mx+9m+l(m40).

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为4和B点(点力在点B的左侧)，且AB=4,求m

的值；

(3)已知四个点C(2,2),0(2,0),E(5,-2),“5,6),若抛物线与线段CD和线段EF都没有公

共点，请直接写出m的取值范围.

10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y-x2—mx+n.

(1)当m=2时，

①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；

②若点4(一2,yJ,8。2，丫2)都在抛物线上，且丫2>%，则*2的取值范围是____:

(2)已知点P(—1,2),将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n=3时，若抛物线与

线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.

11.已知二次函数y=x2—ax+b在x=0和x=4时的函数值相等.

(1)求二次函数y=-ax+b的对称轴；

(2)过P(0,l)作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M,N.

①当MN=2时，求b的值；

②当PM+PN=4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围.

12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过原点和点力(-2,0).

(1)求抛物线的对称轴；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点记抛物线与直线AB围成的封闭区域

(不含边界)为W.

①当a=l时，求出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点4(0,-3)和B(3,0).

(1)求c的值及a,b满足的关系式；

⑵若抛物线在A,B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；

(3)结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(-l+m,n),/V(4-m,n)?若能，写出一个符

合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由.

14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线圆心y=x2-2x+a-3,当a=0时，抛物线与y轴交

于点A,将点A向右平移4个单位长度，得到点B.

(1)求点B的坐标；

⑵将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一

个新的图象，记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a

的取值范围.

15.如图，抛物线y=a%2+以+©(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若

△4MB为等腰直角三角形，我们把抛物线上4,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为

该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶.

⑴由定义知，取AB中点N,连接MN,MN与AB的关系是.

(2)抛物线y=1x2对应的准蝶形必经过则m=____,对应的碟宽AB是____.

(3)抛物线y=a/-4a-|(a>0)对应的碟宽在x轴上，且48=6.

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点PQp,yp),使得UPB为锐角，若有，请求出

yP的取值范围.若没有，请说明理由.

16.在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函

数y=%4-4的图象与x釉、y釉分别交于点A,B.

(1)请你求出点4B,C的坐标；

(2)若二次函数y=+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围.

17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2-4nx+4n-l(n0),与x轴交于点C,D(点

C在点D的左侧)，与y轴交于点A.

AA」AA〃AAA11'

-6-S4-3-2-I.123456"

T-

-2•

-3-

-4■

-5­

-6r

(1)求抛物线顶点M的坐标；

(2)若点A的坐标为(0,3),AB//X轴，交抛物线于点B,求点B的坐标；

⑶在(2)的条件下，将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G,

若直线y=gx+ni与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围.

18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a*0)与x轴交于A,B两点

(点A在点B左侧).

(1)当抛物线过原点时，求实数a的值；

(2)①求抛物线的对称轴；

②求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示)；

(3)当AB44时，求实数a的取值范围.

19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?—4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点(4在

B的左侧).

⑴求抛物线的对称轴及点A,8的坐标；

(2)点C(t,3)是抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)上一点(点C在对称轴的右侧)，过点C

作%轴的垂线，垂足为点D.

①当CQ=AD时，求此时抛物线的表达式；

②当CO>40时，求t的取值范围.

20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y=mx2+2mx+m-l(m0)与y轴交于点C,抛物

线G的顶点为D,直线l:y-mx+m—l(m0).

yti

---1__I_

OIX

(1)当租=1时，画出直线I和抛物线G,并直接写出直线I被抛物线G截得的线段长；

(2)随着m取值的变化，判断点C,D是否都在直线I上并说明理由；

⑶若直线I被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象，直接写出m的取值范围.

2

21.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线G1：y=mx+2V3(m*0)向右平移W个单位长度后得

到抛物线G2,点4是抛物线G2的顶点.

(1)直接写出点A的坐标；

(2)过点(0,百)且平行于x轴的直线I与抛物线G2交于B,C两点.

①当NB4C=90°时，求抛物线G2的表达式；

②当600<ABAC<120°,直接写出m的取值范围.

22.抛物线y=ax2+bx-y[3分别交X轴于点4(—1,0),C(3,0),交y轴于点B,抛物线的对称

轴与x轴相交于点。，点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PELAB.

(1)求抛物线的表达式；

(2)计算g的值；

(3)请直接写出\PB+PD的最小值为___.

23.在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形

W的"梦之点”.

(1)己知。。的半径为1.

①在点E(l,l),尸(-1，-孝)'M(-2,-2)中，QO的"梦之点"为___；

②若点P位于。。内部，且为双曲线y=E(kH0)的“梦之点"，求k的取值范围.

(2)已知点C的坐标为(l,t),QC的半径为V2,若在0C上存在"梦之点”P,直接写出t

的取值范围.

2

(3)若二次函数y=ax-ax+1的图象上存在两个"梦之点"A(xi，yi),B(x2,y2)>且％-

x2\=2,求二次函数图象的顶点坐标.

24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2—4ax+l(a>0).

(1)抛物线的对称轴为—;

(2)若当时，y的最小值是一1,求当1WXW5时，y的最大值；

(3)已知直线y=-%+3与抛物线y=ax2-4ax+l(a>0)存在两个交点，设左侧的交点为

点PQi，%),当-24与<-1时，求a的取值范围.

25.在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线y=ax与抛物线y=

ax2-2ax-l(a*0)围成的封闭区域(不包含边界)为W.

(1)求抛物线顶点坐标(用含a的式子表示)；

(2)当a时，写出区域W内的所有整点坐标；

⑶若区域W内有3个整点，求a的取值范围.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3ax+a+1与y轴交于点A.

(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点M(-2,-a-2),N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求

a的取值范围.

27.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点4(0,-4)和5(-2,2).

(1)求c的值，并用含a的式子表示b；

(2)当一2<%<0时，若二次函数满足y随生的增大而减小，求a的取值范围；

(3)直线AB上有一点C(m,5),将点C向右平移4个单位长度，得到点D,若抛物线与线段

CD只有一个公共点，求a的取值范围.

28.在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y=x2+2x+m+l以及两点+和

B(m,m+3).

(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m的代数式表示)

(2)若该抛物线经过点A(m,m+1),求此抛物线的表达式：

⑶若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围.

29.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y-ax2+bx-1交y轴于点P.

(1)过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q,PQ=4,求《的值；

⑵横纵坐标都是整数的点叫做整点.在(1)的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域

(不含边界)为W.若区域IV内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围.

30.已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a0)与x轴交于点4(卬0),点8(如0)(点4在点B

的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1.

(1)若点A的坐标为(-3,0),求抛物线的表达式及点B的坐标；

(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2,若抛物线恰好经过点C,直接写出x2的取

值范围；

⑶抛物线的对称轴与x轴交于点。，点P在抛物线上，且NDOP=45。，若抛物线上满足条

件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围.

31.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=X2—2mx+m2+m的顶点为A.

(1)当m=l时，直接写出抛物线的对称轴；

(2)若点A在第一象限，且。4=夜，求抛物线的解析式；

(3)已知点m+1),C(2,2),若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写

出m的取值范围.

32.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2—6mx+97n+l(m40).

(1)求抛物线的顶点坐标：

(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为4和B点(点4在点B的左侧)，且4B=4,求m

的值；

(3)已知四个点C(2,2),0(2,0),E(5,-2),F(5,6),若抛物线与线段CD和线段EF都没有公

共点，请直接写出m的取值范围.

33.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y-x2—mx+n.

(1)当m=2时，

①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；

②若点4(一2,%)，B(X2，、2)都在抛物线上，且y2>yi，则x2的取值范围是一；

(2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当兀=3时，若抛物线与

线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.

34.已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等.

(1)求二次函数y=/一。刀+b的对称轴：

(2)过P(0,l)作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M,N.

①当MN=2时，求b的值；

②当PM+PN=4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围.

35.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过原点和点4(一2,0).

(1)求抛物线的对称轴；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8(0,|).记抛物线与直线AB围成的封闭区域

(不含边界)为W.

①当a=l时，求出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

36.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点4(0,-3)和3(3,0).

(1)求c的值及a,b满足的关系式：

(2)若抛物线在4,B两点间，从左到右上升，求a的取值范围：

⑶结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(-l+m,n),/V(4-m,n)?若能，写出一个符

合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由.

37.在平面直角坐标系xOy中，抛物线圆心y=x2-2x+a-3,当a=0时，抛物线与y轴交

于点A,将点A向右平移4个单位长度，得到点B.

(1)求点B的坐标；

(2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一

个新的图象，记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a

的取值范围.

38.如图，抛物线y=aM+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若

△4MB为等腰直角三角形，我们把抛物线上4,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为

该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶.

(1)由定义知，取AB中点N,连接MN,MN与AB的关系是____.

(2)抛物线y=1x2对应的准蝶形必经过则m=____,对应的碟宽AB是.

(3)抛物线y=ax2-4a-1(a>0)对应的碟宽在x轴上，且AB=6.

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得乙APB为锐角，若有,请求出

yp的取值范围.若没有，请说明理由.

39.在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函

数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B.

(1)请你求出点A,B,C的坐标；

(2)若二次函数y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围.

40.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=MX?-4nx+4n一1(九H0),与x轴交于点C,D(点

C在点D的左侧)，与y轴交于点A.

(1)求抛物线顶点M的坐标；

(2)若点A的坐标为(0,3),轴，交抛物线于点B,求点B的坐标;

(3)在(2)的条件下，将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G,

若直线y=^x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围.

41.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a0)与x轴交于A,B两点

(点A在点B左侧).

(1)当抛物线过原点时，求实数a的值；

(2)①求抛物线的对称轴：

②求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示)；

(3)当4844时，求实数a的取值范围.

42.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点(4在

B的左侧的

(1)求抛物线的对称轴及点4B的坐标：

⑵点C(t,3)是抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)上一点(点C在对称轴的右侧)，过点C

作x轴的垂线，垂足为点D.

①当CD=AD时，求此时抛物线的表达式；

②当>4。时，求t的取值范围.

43.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y=机/+26％+6_1(„1力0)与y轴交于点C,抛物

线G的顶点为D,直线l:y=mx+m-l(m0).

(1)当m=l时，画出直线I和抛物线G,并直接写出直线I被抛物线G截得的线段长：

⑵随着m取值的变化，判断点C,D是否都在直线I上并说明理由；

(3)若直线I被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象，直接写出m的取值范围.

2

44.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线G1:y=mx+2V3(m*0)向右平移V3个单位长度后得

到抛物线。2,点4是抛物线G2的顶点.

⑴直接写出点A的坐标；

(2)过点(0,百)且平行于x轴的直线I与抛物线G2交于8,C两点.

①当NBAC=90。时，求抛物线G2的表达式；

②当60°</.BAC<120°,直接写出m的取值范围.

45.抛物线y=ax2+bx-V3分别交x轴于点4(一1,0),C(3,0),交y轴于点B,抛物线的对称

轴与x轴相交于点。，点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE1AB.

(1)求抛物线的表达式；

(2)计算需的值；

(3)请直接写出^PB+PD的最小值为.

46.在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形

W的"梦之点”.

(1)已知。。的半径为1.

①在点£(1,1),F(-*,一¥),M(-2,-2)中，O0的"梦之点"为___；

②若点P位于O。内部，且为双曲线y/k丰0)的“梦之点”，求k的取值范围.

(2)已知点C的坐标为(l.t),OC的半径为V2,若在OC上存在“梦之点"P,直接写出t

的取值范围.

2

⑶若二次函数y^ax-ax+l的图象上存在两个"梦之点"A(Xi，yJ,B(x2,y2),且氏一

x2\=2,求二次函数图象的顶点坐标.

47.抛物线G：y=a(x+l)(x-3a)(a>0)与x轴交于A,B两点(4在B的左侧)，与y轴

交于点C(0,-3).

4-

-4-3-2-IO234x

(1)求抛物线G的解析式及A,B点坐标；

⑵将抛物线G向上平移3个单位长度，再向左平移n(n>0)个单位长度，得到抛物线

C2.若抛物线C2的顶点在△ABC内，求n的取值范围.

48.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象(抛物线)与x轴交于4(1,0),且当x=0和%=

-2时所对应的函数值相等.

(1)求此二次函数的表达式；

⑵设抛物线与X轴的另一交点为点8,与y轴交于点C,在这条抛物线的对称轴上是否存在

点D,使得△ZMC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由

⑶设点M在第二象限，且在抛物线上，如果4MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△

MBC的面积.

2

49.在平面直角坐标系xOy中，抛物线Cr:y=x+bx+c经过点4(2,-3),且与x轴的一个交点

为8(3,0).

(1)求抛物线G的表达式；

(2)D是抛物线G与x轴的另一个交点，点E的坐标为(瓶,0),其中m>0,4ADE的面

积为

y4.

①求m的值；

②将抛物线Q向上平移n个单位，得到抛物线C2,若当OWxWm时，抛物线C2与

x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围.

50.已知：直线l:y=x+2与过点(0,-2),且与平行于x轴的直线交于点4,点4关于直线

%=-1的对称点为点B.

⑴求A,8两点的坐标；

(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，求抛物线解析式；

(3)若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线I上移动，当抛物线与线段AB有一个公共点时,

求抛物线顶点横坐标t的取值范围.

51.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-4(m*0)的顶点为4,与其轴交于

B,C两点(点B在点C左侧)，与y轴交于点D.

(1)求点A的坐标：

(2)若BC=4,

①求抛物线的解析式；

(2)将抛物线在C,D之间的部分记为图象G(包含C,D两点).若过点A的直线y=

kx+b(k*0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.

52.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-4mx(m0)与x轴交于A,B两点(点A在

点B的左侧).

⑴求点A,B的坐标及抛物线的对称轴；

(2)过点B的直线I与y轴交于点C,且tan乙4cB=2,直接写出直线I的表达式；

2

(3)如果点P3，n)和点Q(x2ln)在函数y=mx-4mx(m*0)的图象上，PQ=2a且

xx>x2>求比+ax2—6a+2的值.

53.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点4(0,-3),6(4,5).

p

6-

5-

4■

3-

2-

___I___I___I___I____I___I____I____

O\234567X

(1)求此抛物线表达式及顶点M的坐标；

⑵设点M关于y轴的对称点是N,此抛物线在A,B两点之间的部分记为图象IV(包含A,

B两点)，经过点N的直线l:y=mx+n与图象W恰有一个公共点，结合图象，求m

的取值范围.

54.已知二次函数y=ax*2+2ax+a—l(a>0).

九

7-

6-

5-

4-

3-

2-

j_।_

I23x

(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；

(2)求该抛物线的顶点坐标；

⑶结合函数图象回答：当X21时，其对应的函数值y的最小值范围是2WyW6,求a的

取值范围.

55.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax4-4a-3(a0)的顶点为A.

⑴求顶点A的坐标；

(2)过点(0,5)且平行于x轴的直线I,与抛物线y=ax2-4ax+4a-3(a*0)交于B,C

两点.

①当a=2时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围.

56.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+l)(x-3)与%轴交于A,B两点，点A在点

B的左侧，抛物线的顶点为P,规定：抛物线与x轴围成的封闭区域成为“G区域"(不包含边

界).

备用图

(1)如果该抛物线经过(1,3),求a的值，并指出此时“G区域"有一个整数点；(整数点就是

横坐标均为整数的点)

(2)求抛物线y=a(x+l)(x-3)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，直接写出a的取值范围.

57.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个

端点分别为4(-3,m),B(l,m).

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)若该抛物线经过点求m的值；

⑶若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围.

58.如图，已知抛物线y=ax2+bx+8(a+0)与x轴交于4(一2,0),B两点，与y轴交于C点,

tanZ-ABC=2.

(1)求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；

(2)过点A,B作x轴的垂线，交直线CD于点E,F,将抛物线沿其对称轴向上平移m个

单位，使抛物线与线段EF(含线段端点)只有1个公共点.求m的取值范围.

59.直线y=-3x+3与x轴，y轴分别交于A,B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点

C.

⑴求点C的坐标；

(2)若抛物线y=mx2+nx-3m(m0)经过A,B,C三点，求该抛物线的表达式;

(3)若抛物线y=ax2+bx+3(a*0)经过A,B两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段

AC有两个公共点，求a的取值范围.

60.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x-3与y轴交于点4,点4与点B关于x轴对称,

过点B作y轴的垂线I,直线I与直线y=2x—3交于点C.

⑴求点C的坐标；

(2)如果抛物线y-nx2-4nx+5n(n>0)与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围.

61.在平面直角坐标系xOy中，若点P和点Pi关于y轴对称，点P1和点P2关于直线I对称,

则称点P2是点P关于y轴，直线I的二次对称点.

(1)如图1.点

①若点B是点A关于y轴，直线l1-.x=2的二次对称点，则点B的坐标为一；

②若点C(—5,0)是点A关于y轴，直线l2-.x=a的二次对称点，则a的值为____；

③若点。(2,1)是点A关于y轴，直线13的二次对称点，则直线；3的表达式为___；

y

)卜

।।।।।卜

-5-4_%2乎）-12345x

-2-

—3-

图1

⑵如图2,QO的半径为1.若。。上存在点M,使得点M'是点M关于y轴，直线

l4:x=b的二次对称点，且点M'在射线y=^x(x>0)上，b的取值范围是

4次

3-

2-

—J/j)I；X*

-2-

—3-

图2

⑶E(t,O)是x轴上的动点，OE的半径为2,若OE上存在点N,使得点N'是点N关

于y轴，直线l5:y=V3x+l的二次对称点，且点V在y轴上，求t的取值范围.

62.抛物线G：y=a(x+l)(x-3a)(a>0)与x轴交于A,B两点(4在B的左侧)，与y轴

交于点C(0,-3).

(1)求抛物线Q的解析式及A,B点坐标；

(2)将抛物线G向上平移3个单位长度，再向左平移n(n>0)个单位长度，得到抛物线

C2.若抛物线C2的顶点在&ABC内，求的取值范围.

63.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象(抛物线)与x轴交于4(1,0),且当x=0和x=

-2时所对应的函数值相等.

(1)求此二次函数的表达式；

⑵设抛物线与X轴的另一交点为点8,与y轴交于点C,在这条抛物线的对称轴上是否存在

点D,使得AZMC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由

⑶设点M在第二象限，且在抛物线上，如果4MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△

MBC的面积.

64.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C^.y=x2+bx+c经过点4(2,-3),且与x轴的一个交点

为8(3,0).

(1)求抛物线G的表达式；

(2)D是抛物线G与x轴的另一个交点，点E的坐标为(m,0),其中m>0,4ADE的面

积为y.

4

①求m的值；

②将抛物线Q向上平移n个单位，得到抛物线C2,若当OWxWm时，抛物线C2与

x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围.

65.已知：直线l:y=x+2与过点(0,-2),且与平行于x轴的直线交于点4,点4关于直线

%=-1的对称点为点B.

⑴求A,8两点的坐标；

(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，求抛物线解析式；

(3)若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线I上移动，当抛物线与线段AB有一个公共点时,

求抛物线顶点横坐标t的取值范围.

66.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-4(m*0)的顶点为4,与其轴交于

B,C两点(点B在点C左侧)，与y轴交于点D.

(1)求点A的坐标：

(2)若BC=4,

①求抛物线的解析式；

(2)将抛物线在C,D之间的部分记为图象G(包含C,D两点).若过点A的直线y=

kx+b(k*0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.

67.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-4mx(m0)与x轴交于A,B两点(点A在

点B的左侧).

⑴求点A,B的坐标及抛物线的对称轴；

(2)过点B的直线I与y轴交于点C,且tan乙4cB=2,直接写出直线I的表达式；

2

(3)如果点P3，n)和点Q(x2ln)在函数y=mx-4mx(m*0)的图象上，PQ=2a且

xx>x2>求比+ax2—6a+2的值.

68.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点4(0,-3),6(4,5).

(1)求此抛物线表达式及顶点M的坐标；

⑵设点M关于y轴的对称点是N,此抛物线在A,B两点之间的部分记为图象IV(包含A,

B两点)，经过点N的直线l:y=mx+n与图象W恰有一个公共点，结合图象，求m

的取值范围.

69.已知二次函数y=ax*2+2ax+a—l(a>0).

九

7-

6-

5-

4-

3-

2-

j_।_

I23x

(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；

(2)求该抛物线的顶点坐标；

⑶结合函数图象回答：当X21时，其对应的函数值y的最小值范围是2WyW6,求a的

取值范围.

70.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a-3(a*0)的顶点为A.

⑴求顶点A的坐标；

(2)过点(0,5)且平行于x轴的直线I,与抛物线y=ax2-4ax+4a-3(a*0)交于B,C

两点.

①当a=2时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围.

71.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+l)(x-3)与%轴交于A,B两点，点A在点

B的左侧，抛物线的顶点为P,规定：抛物线与x轴围成的封闭区域成为“G区域"(不包含边

界).

备用图

(1)如果该抛物线经过(1,3),求a的值，并指出此时“G区域"有一个整数点；(整数点就是

横坐标均为整数的点)

(2)求抛物线y=a(x+l)(x-3)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，直接写出a的取值范围.

72.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个

端点分别为4(-3,m),B(l,m).

(1)求点D的坐标(用含m的代数