高二文科数学秋季讲义第1讲立体几何初步

I第1讲

立体几何初步

满分晋级

暑期知识回顾

空间几何体的基本元素：点、线、面.

空

间平面:无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示.用a,y

几)命名，或用大写字母表示：如平面A8C7)或平面AC.

何

体多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的

面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个

、面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线.

C截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形(包括平面图形的内部).

棱棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱；

柱=ch,匕极收=S"，其中c为直棱柱的底面周长，S为底面积，h为高;

棱J棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；

锥

5111

棱S,榜锥侧=—nahf=—chr,匕体=-S/z,a为底面边长，c为底面周长，hf为斜高;

台止被垂恻22饵的3

棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；(力为高，/?'为斜高)

Isi=g〃(a+4'W=g(c+c'W，匕饰=g〃(S+V^+S').(S,S'为底面面积)

圆C旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；

柱圆柱的定义，记法和性质，•为底面半径，〃为高；

圆

锥\圆锥的定义，记法和性质，匕=ga%；7•为底面半径，〃为高；

圆

台圆台的定义，记法和性质，匕“；=：兀/7(/+-/+/2).r,/为底面半径，〃为

［球面：一个半圆周绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，也可看做

空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；

球：球面围成的几何体，也称球体，有球心、半径、直径的概念；

7球的表面积及体积公式：又=4兀/?2,匕=3兀R'；

球（球球3

大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平

面截得的圆叫球的小圆；

球面距离：球面上两点间的最短距离，是经过两点的大圆在这两点间的一段劣

I弧的长度.

〈教师备案〉暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和

体积的求法，本板块进行简单的回顾.

1.下列说法正确的是（）

A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥

B.有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台

C.有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱

D.棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形

【解析】D

2.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比

为（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5

【解析】D

3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,侧面积为84兀，则圆台较小底面的半

径为（）

A.7B.6C.5D.3

【解析】A

4.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）

A.1:2:3B.1:7:19C.3:4:5D.1:8:27

【解析】B

5.一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E、F,则线段砂的长为

【解析】—

3

6.等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球―5正方体.

【解析】＜

7.一个长方体的全面积是20cm，所有棱长的和是24cm,则长方体的对角线长为

【解析】4.

8.在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4,过该点作球的截面，则截面面积的最小值

2

是()

A.117tB.20兀C.27兀D.327t

【解析】B

、口.1空间几何体的表面积及体积

考点1:多面体和旋转体的表面积及体积

知识点睛.

1.多面体的表面积和体积公式

名称侧面积之全面积必体积V

棱

棱柱直截面周长X/S底,h

柱S侧+2s底

直棱柱chS底

棱棱锥各侧面面积之和

锥s侧+s底gs底,九

正棱锥-chf

2

棱台各侧面面积之和

棱1.________

s侧+s上底+s下底§Ms上底+S下底+Js上底-S下底）

台正棱台

表中S表示面积，d、c分别表示上、下底面周长，〃表示高，”表示斜高，/表示侧棱长.

〈教师备案〉多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面

积.多面体的体积的推导是用“祖胞原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想.本版

块重点是表面积和体积公式的应用.三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来

处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面.

2.旋转体的表面积和体积公式

全面积全

名称侧面积s1MS体积丫

圆柱271rl2"(/+r)nr2h(即7tr2/)

圆锥nrl7tr(/+r)—Ttr2h

3

料《+格+或

圆台兀（4+2）/兀（（+弓）/+九（々2+旅）

球4兀店-71^

3

表中/、耳分别表示母线、高，/•表示圆柱、圆锥的底面半径，小々分别表示圆台的上、下底面半径,

R表示球的半径.

〈教师备案〉圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用.

等经典精讲g

提高班学案1

【铺1】⑴★已知六棱锥P-AB8EF的底面是边长为2的正六边形，点P在底面的投影是正六边形的

中心，且H4=3,则该四棱锥的表面积为,体积为.

⑵★★正棱锥的高增为原来的〃倍，底面边长缩为原来的工，那么体积（）

n

A.缩为原来的工B.增为原来的八倍C.没有变化D.以上结论都不对

n

【解析】⑴66+12&,2厉；

（2）A：

【例1】⑴★♦若正方体的棱长为四，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

A,显

D.-------

631

⑵★♦如图，点£、F分别在单位正方体48a>-A黑G.的仪、

81C上，则三棱锥£>,-EDF的体积为.

⑶**已知三个球的半径/、&、R、满足片+26=36,则它们的

表面积Si、5,>S?满足的等量关系是

⑷段已知平行四边形两邻边的长。和6,当它分别绕边4,b旋转

一周时，所形成的几何体的体积之比为（）

7"5

A.:B-l

【追问】三角形三条边长分别为a,6,c,当它分别饶三边旋转一周时,所形成的几何体的体

积之比为()

A.a:h:cB.a2:b2:c2C.aJ:t>3:c3D.—

abc

【解析】(1)B；

⑵-:

6

⑶同+2厄=3肉;

⑷A

【追问】D.

考点2：几何体的表面积体积综合

〈教师备案〉求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因

此在高考中比较常见.

经典精讲乡

4

提高班学案2

【铺1】如图，一个底面半径为/?的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水

面高度恰好升高r,则3=.

r

(1)(2)

【解析】李

【例2】⑴*★圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半

径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是cm.

⑵内如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为加，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作

为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱AC,BC,AG，4G的中点，则图②中水面的

高度是.

【解析】⑴4：

3

⑵“

2

尖子班学案1

【拓2】有一个圆锥形容器正放，它的高为〃，圆锥内水面的高度为々，%将圆锥倒置，求倒

置的水面高度外.

【解析】h,=®h.

3

目标班学案1

【拓3】如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示:

现在，如图1所示，将直三棱柱的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm；若

将直三棱柱的3面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为厘米.

【解析】-:

2

【备选】如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有丫

升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）.有

下列四个命题：

A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

D.若往容器内再注入V升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是：______________（写出所有真命题的代号）.

图1图2

【解析】B、D：

组合体

<__

i.简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体.

2.简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.

〈教师备案〉组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基

本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，

然后通过相关截面分析和解决问题.对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析;

对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分

析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.

考点3：简单几何体的内切球与外接球

经典精讲,g

【例3】⑴*★一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则

此球的表面积等于.

⑵内正方体全面积为24,求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积.

⑶门圆台的内切球半径为R,且圆台的全面积和球的表面积之比为红，求圆台的上，下底

8

面半径4,4(彳＜4)♦

［解析］⑴147c;

(2)它的内切球的表面积为4兀J?=4兀，外接球的表面积为47r(右，=12兀，与各棱相切的球的

表面积为4兀(0)=8TT.

【点评】正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为

正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中

心的垂线上，从而只能是正方体的中心.这对长方体的外接球也同样适用.同样可考虑正方

体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等.

尖子班学案2

【拓2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为石，则其外接球的表面积是.

【解析】9兀;

目标班学案2

【拓3】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,

且该六棱柱的体积为2,底面周长为3,那么这个球的体积为.

8

【解析】—K；

3

考点4：正四面体的内切球与外接球

经典精讲.

【例4】⑴内如果正四面体的外接球的体积为4后，则四面体的体积为.

⑵内如果正四面体ABCD的内切球的体积为4有兀，则四面体的体积为.

【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为4百兀，求四面体的体积.

⑴-;

3

⑵72:

【追问】873

【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：

当正四面体的棱长为“时，求它的内切球半径r与外接圆半径R.

由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O.

法一：

如图3,将正四面体ABCD置于正方体中，正四面体的

体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，

正方体的棱长为也”，体对角线长为G•也a=

222

故R百

3

4LL

正四面体的体积一水3=46n=7?=6，V——a

32

从而正四面体的高满足：-a2h=a3h=^-a.

34123

利用体积法直接求内切球的体积：

将正四面体A3CD分割成以球心O为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥,

它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r,故厂=1〃=且a.

412

故外接球可以利用R+r=。知，R=-h.

4

法二：

如图1,01为底面的中心，

22

=-^-<7,高/?=AOt=yfa—DO],

O一定在上，AAO=DO^R,OO、=r=h-R=*a-R,

，在Rtz^OQ。中，OD1=OO;+O.D1,即/??=-a-R+-a2,

(3)3图]

aD娓RA/6

可早付R=——a,r=——a----a=——a・

43412

法三:

如图2,。1为底面△BCD的中心，则O一定在上，A石为球的大圆直径.

故AEJ_OQ,ADIDE,

设AD=a,则O]D=^x^-a=^-a,

故O]E=2R-AO\=2R-与a.

2

由平面射影定理知，OtD=AOtO.E,即今=半外

8

解得R=®a,r=^.a--a=—a

43412

综上，我们知当正四面体ABCD的棱长为a,它的高为da,体积为外接球半径为

内切球半径为

12

1.3空间几何体的直观图与三视图

考点5：空间几何体的直观图

知识点睛二

1.直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.

2.画法：斜二测画法和正等测画法：

⑴斜二测画法规则:

①在己知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴OE,Oy,再作Oz轴，使Nr。=90。，

ZyOz=90°.（三维空间中）

②画直观图时，把Or,Oy,仇画成对应的轴OY,O'y',O'z',使Zx'O'y'=45。或135。，

4O'z'=90。，x'O'y'所确定的平面表示水平平面.（二维平面上）

③己知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于*轴，V轴或z'轴

的线段.并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相

同.

④已知图形中平行于X轴和Z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为

原来的一半.

⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观

图是椭圆，具体画法不要求掌握.

〈教师备案〉正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图.

斜二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简

单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段

画出时方向与水平方向成45。或135。角，长度为原长的一半斜二测画法是画几何体直观

图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程.

•翟江经典精讲

【例5】（1）★★正三角形AABO的边长为a,在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直

角坐标系xOy,则它的直观图的面积是.

（2）*★如下右图，正方形。45c的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画

出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.

【解析】⑴逅

16

⑵周长为8,面积为2夜.

考点6：空间几何体的三视图

经备知识点睛

〈教师备案〉研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何.在

平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应

用.

画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像

画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论.法

国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理

论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了15年后才出版公开.

三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，

一个投射面水平放置,叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图;

一个投射面放置在正前方,叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主：（正）视图;

和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投

射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图.

将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这

样构成的图形叫做空间图形的三视图.

〈教师备案〉三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形.

画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见

的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图.

三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图

的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；

三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左

一样宽”.

.蓍g经典精讲

提高班学案3

【铺1】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体积为n?.

【解析】4

10

【例6】⑴*★一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

A.372B.360C.292D.280

⑵★♦一个体积为126的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（

A.66B.8D.12

⑶★♦某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（)

10

A.%B.3兀C.一nD.6兀

3

2柩

正视图左视图

2

2

俯视图俯视图俯视图

第⑴题第⑵题第⑶题

【解析】（1）B

（2）A

（3）B;

尖子班学案3

【拓2】一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

A.2兀+26B.4兀+2G

C.2兀+空D.4兀+讨

33

【解析】C

俯视图

目标班学案3

【拓3】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm?）j

为（）

A.48+12&B.48+2401

C.36+12夜D.36+24及:

【解析】AI

【例7】⑴用一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（）

111

俯视图

⑵内某几何体的一条棱长为近，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为#的线段，

在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为。和b的线段，则a+b的最大

值为（）

A.20B.2GC.4D.

【解析】⑴C；

（2）C;

华山论剑

将半径都为1的4个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）

.73+276.276「.2764石+2指

A.------Dn.ZH-----LH-------D.n---------------

3333

【解析】C

四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2,

故其高。，”二?.

设装入四个钢球的正四面体容器为D-A8C（如图）,

球心在其高£）£上，

[7

且QE=OR+l=-7^-+l.

下面求。4。.

设M为球04与平面BCD的切点、,

则用在△BCD中线£)尸上，04M=1,△DMO&s/\DEF.

.OD_DF_3.

••--4--=---=—.••Cz.L)­S»

04MEF1

12

-3速战演练

【演练1】设A表示平行六面体，B表示直平行六面体，C表示长方体，。表示正四棱柱，E表示正

方体，则A,B,C,D,£的关系是()

A.AuBuCuDuEB.AuBuDuCuE

C.EuDuCuBuAD.EuCuDuBuA

【解析】C；

【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为

()

△△

II△

正视图侧视图正视图侧视图

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