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2024届安徽省六安市青山中学高三上数学期末联考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格3.已知集合(),若集合,且对任意的,存在使得,其中,,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是()A. B. C. D.4.已知底面为边长为的正方形,侧棱长为的直四棱柱中,是上底面上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()①与点距离为的点形成一条曲线,则该曲线的长度是;②若面,则与面所成角的正切值取值范围是;③若,则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A. B. C. D.5.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为()A. B. C. D.6.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,为边上的中线,若,则的面积为()A. B. C. D.7.已知某口袋中有3个白球和个黑球(),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是.若,则=()A. B.1 C. D.28.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是9.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A. B. C. D.10.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则“”是“是偶函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路;事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是()A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路12.已知函数,,若,对任意恒有,在区间上有且只有一个使,则的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若满足约束条件,则的最大值为__________.14.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.15.设函数,当时,记最大值为,则的最小值为______.16.若存在直线l与函数及的图象都相切,则实数的最小值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面为正方形,,,,,为的中点,为棱上的一点.(1)证明:面面;(2)当为中点时,求二面角余弦值.18.(12分)设椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,点D在椭圆C上,的周长为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过圆上任意一点P作圆E的切线l,若l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求证:为定值.19.(12分)已知.(1)若曲线在点处的切线也与曲线相切,求实数的值;(2)试讨论函数零点的个数.20.(12分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上;(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,,求的通项公式;(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;21.(12分)已知圆外有一点,过点作直线.(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长.22.(10分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况,随机抽查了60名家庭轿车驾驶员,统计其中有40名男性驾驶员,其中平均车速超过的有30人,不超过的有10人;在其余20名女性驾驶员中,平均车速超过的有5人,不超过的有15人.(1)完成下面的列联表,并据此判断是否有的把握认为,家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关;平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计(2)根据这些样本数据来估计总体,随机调查3辆家庭轿车,记这3辆车中,驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为,假定抽取的结果相互独立,求的分布列和数学期望.参考公式:其中临界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先把变形为,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,得到其坐标可得答案.【详解】解:由,得,所以,其在复平面内对应的点为,在第四象限故选:D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.2、D【解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.3、C【解析】
根据题目中的基底定义求解.【详解】因为,,,,,,所以能作为集合的基底,故选:C【点睛】本题主要考查集合的新定义,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.4、C【解析】
①与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,利用弧长公式,可得结论;②当在(或时,与面所成角(或的正切值为最小,当在时,与面所成角的正切值为最大,可得正切值取值范围是;③设,,,则,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影长,即可求出六个面上的正投影长度之和.【详解】如图:①错误,因为,与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,长度为;②正确,因为面面,所以点必须在面对角线上运动,当在(或)时,与面所成角(或)的正切值为最小(为下底面面对角线的交点),当在时,与面所成角的正切值为最大,所以正切值取值范围是;③正确,设,则,即,在前后、左右、上下面上的正投影长分别为,,,所以六个面上的正投影长度之,当且仅当在时取等号.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体,考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点,综合性强,属于难题.5、A【解析】
根据,利用正弦定理边化为角得,整理为,根据,得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【详解】由得,即,即,因为,所以,由余弦定理,所以,由的面积公式得故选:A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.6、B【解析】
延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,根据余弦定理可求出,进而可得的面积.【详解】解:延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,则,,,在中,则,得,.故选:B.【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,其中根据中线作出平行四边形是关键,是中档题.7、B【解析】由题意或4,则,故选B.8、D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.9、C【解析】令圆的半径为1,则,故选C.10、A【解析】
求出函数的解析式,由函数为偶函数得出的表达式,然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为,若函数为偶函数,则,解得,当时,.因此,“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数,考查运算求解能力与推理能力,属于中等题.11、D【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选:D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12、C【解析】
根据的零点和最值点列方程组,求得的表达式(用表示),根据在上有且只有一个最大值,求得的取值范围,求得对应的取值范围,由为整数对的取值进行验证,由此求得的最大值.【详解】由题意知,则其中,.又在上有且只有一个最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;②当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;③当时,,此时取可使成立,当时,,所以当时,成立;综上所得的最大值为.故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值,考查三角函数的性质,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
作出可行域如图所示:由,解得.目标函数,即为,平移斜率为-1的直线,经过点时,.14、18【解析】
将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.【详解】因为,所以.故填:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.15、【解析】
易知,设,,利用绝对值不等式的性质即可得解.【详解】,设,,令,当时,,所以单调递减令,当时,,所以单调递增所以当时,,,则则,即故答案为:.【点睛】本题考查函数最值的求法,考查绝对值不等式的性质,考查转化思想及逻辑推理能力,属于难题.16、【解析】
设直线l与函数及的图象分别相切于,,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为存在直线l与函数及的图象都相切,所以,所以,令,设,则,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以,所以实数的最小值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证明面面,只需证明面即可;(2)以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系,分别计算出面法向量,面的法向量,再利用公式计算即可.【详解】证明:(1)因为底面为正方形,所以又因为,,满足,所以又,面,面,,所以面.又因为面,所以,面面.(2)由(1)知,,两两垂直,以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系如图所示,则,,,,则,.所以,,,,设面法向量为,则由得,令得,,即;同理,设面的法向量为,则由得,令得,,即,所以,设二面角的大小为,则所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角,考查学生的运算求解能力,此类问题关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.18、(1)(2)见解析【解析】
(1)由,周长,解得,即可求得标准方程.(2)通过特殊情况的斜率不存在时,求得,再证明的斜率存在时,即可证得为定值.通过设直线的方程为与椭圆方程联立,借助韦达定理求得,利用直线与圆相切,即,求得的关系代入,化简即可证得即可证得结论.【详解】(1)由题意得,周长,且.联立解得,,所以椭圆C的标准方程为.(2)①当直线l的斜率不存在时,不妨设其方程为,则,所以,即.②当直线l的斜率存在时,设其方程为,并设,由,,,由直线l与圆E相切,得.所以.从而,即.综合上述,得为定值.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.19、(1)(2)答案不唯一具体见解析【解析】
(1)利用导数的几何意义,设切点的坐标,用不同的方式求出两种切线方程,但两条切线本质为同一条,从而得到方程组,再构造函数研究其最大值,进而求得;(2)对函数进行求导后得,对分三种情况进行一级讨论,即,,,结合函数图象的单调性及零点存在定理,可得函数零点情况.【详解】解:(1)曲线在点处的切线方程为,即.令切线与曲线相切于点,则切线方程为,∴,∴,令,则,记,于是,在上单调递增,在上单调递减,∴,于是,.(2),①当时,恒成立,在上单调递增,且,∴函数在上有且仅有一个零点;②当时,在R上没有零点;③当时,令,则,即函数的增区间是,同理,减区间是,∴.ⅰ)若,则,在上没有零点;ⅱ)若,则有且仅有一个零点;ⅲ)若,则.,令,则,∴当时,单调递增,.∴又∵,∴在R上恰有两个零点,综上所述,当时,函数没有零点;当或时,函数恰有一个零点;当时,恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识,求解切线有关问题时,一定要明确切点坐标.以导数为工具,研究函数的图象特征及性质,从而得到函数的零点个数,此时如果用到零点存在定理,必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.20、(1)(2)当n为偶数时,;当n为奇数时,.(3)【解析】
(1)根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.(3)分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.【详解】(1)由题意可知,.当时,,当时,也满足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.当时,,①当时,,所以,②当时,,③当时,,所以,④……当时,n为偶数当时,n为偶数所以以上个式子相加,得.又,所以当n为偶数时,.同理,当n为奇数时,,所以,当n为奇数时,.解法二:猜测:当n为奇数时,.猜测:当n为偶数时,.以下用数学归纳法证明:,命题成立;假设当时,命题成立;当n为奇
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