高二理科数学秋季讲义第13讲折叠问题与最值问题教师版

13讲折叠问题

与最值问题

13.1折叠问题

考点1：折叠与展开中的想象力

经典精讲2

【例1】⑴★♦下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①与£»平行；②CN与BE是异

面直线；③CN与80成60。的角；④ZW与8N垂直.以上四个命题中，正确命题的序

号是（）

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

⑵内将3个12cmxl2cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如图），将这6部分接于

一个边长为6后的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图（如图），该多

面体的体积为.

⑵864cm3

如图，所折叠成的多面体是由一个大正三棱锥切去三个小正三棱锥得到的，

大三棱锥的底边边长为18夜，侧棱长为18;小三棱锥的底面边长为6五,侧棱长为6,

T\I77~~飞V

大三棱锥体积K=-x—xl8>/2xl8>/2XJ182——X—X18A/2=972cn?,

314JVb2J

3

小三棱锥体积匕==36cm,

故所求几何体的体积=匕-匕=864cn?.

另法：此正棱锥侧棱相等且两两垂直，从而设侧棱长为0,则有丫=！。3.

6

考点2：折叠中的垂直与距离问题

知识点睛二|

1.概念：将平面图形沿某条直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量

进行论证和计算，就是折叠问题.

2.折叠问题分析求解原则：

折叠前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变，充分利用不变量和不变关系；折叠前

后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变，分别位于两个半平面内但垂直于折线的直线折

叠后仍然垂直于折线.

〈教师备案〉折叠问题的难点在于变化前后的位置关系，对于不变的部分可以在平面图形中处理，而变

化的部分要在立体图形中解决.如果对此类问题不是很擅长，可以将折叠前的平面图和折

叠后的立体图都画出来进行对照，厘清线面关系再作解答.可以举几个简单的三角形、正

方形折叠的例子进行说明.比如，正方形沿对角线进行折叠后的边的位置关系.

经典精讲二|

【例2】用如图，△ACD和△ABC都是直角三角形，AB=BC,NC4Z)=30。，把三角形ABC沿AC

边折起，使八钻。所在的平面与△ACZ)所在的平面垂直，茗AB=屈.

2

(1)求证：平面，平面BCD；

⑵求C点到平面A3D的距离.

【解析】⑴；面ABCJ_面ACD,且交线为AC,£>Cu平面ACO,DCLAC,

.♦.DC，面ABC,：.DC1AB.

"：ABIBC,AB1.DC,BCDC=C,

AB，面BCD,；.面ABD±面BCD.

⑵；面A3。，面BCD,且交线为皮>,

过C作CH_L皮)于”，则C〃_L面A3£).

VAB=BC=s/6,ZABC=90°,：.AC=243,

在RtzMC。中，C£>=AC-tan30°=2豆x±=2;

3

在RtABCD中，BD=x/BC2+DC2=V6+22=同：

.“BCDC2715

BD5

二点C到平面ABD的距离为之"5.

5

提高班学案1

【拓1】设M、N是直角梯形两腰的中点，DEJ_A3于E(如图).现将Z\4)E沿DE折起，

使二面角A--3为45。，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点8,求M、N的连线与

AE所成角的值.

【解析】连结回，易知NA£B=45。，ZABE=90°,

：.AB=BE,

取AE中点Q,连结M。、BQ,

：MQ为中位线，文DE〃BC,且DE=BC,

又N为BC中点，

MQ〃BN,且MQ=BN,四边形BQMN为平行四边形,

，BQ//MN.

•；BQLAE,

：.MNLAE,即M、N的连线与/IE成90。角.

尖子班学案1

【拓2】如图，在A4BC中，AD1.BC,ED=2AE,过E作尸G〃3C,且将AAFG沿尸G折起,

使NA'EE>=60。，求证：A'EJ_平面A8C.

【解析】•/FG//BC,ADA.BC

：.A'EYFG

：.A'EYBC

设A'E="，则EO=2tz

由余弦定理得：A'D2=A'E2+EDT-2A'E-EDCOS60°=3a2

：.ED2=A'D2+A'E2

：.A'D±AE

：.A'E_L平面ABC.

【备选】如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=i,ZACD=90°,将它沿对角线AC折起，使4?

与CD成60。角，求8,。之间的距离.

【解析】如图，VZACD=90°,：.ACCD=0,同理8A-AC=(),

AB与C3成60。，；.(BA,cr>>=60°或120。，

BD2=BA'+AC2+CD2+2BA-AC+IBA-CD+2ACCD

022

=BA+AC+CD+2BACD

|4,(BA,CD)=60°

=3+2x1xlxcos/SA,CD)=<,

'1[2,CD)=120。

所以,4=2或及，即B,£>之间的距离为2或0.

考点3:折叠中的角度问题

〈教师备案〉平面图形折叠后求角度的问题，最重要的还是厘清线面的位置关系，特别是垂直关系，为

建立坐标系解决问题奠定基础.

经典精讲

【例3】（2011年朝阳二模理17）

在长方形胡8乃中，4?=2e=4,C,G分别是4月的中点（如图1）.将此长方

形沿CG对折，使二面角A-C£-8为直二面角，D,E分别是44，C£的中点（如图2）.

⑴*★求证：G。〃平面ABE；

（2）内求直线BG与平面A8E所成角的正弦值.

【解析】⑴由已知，将长方形例48沿CC1对折后，二面角A-CC1-8为直二面角；

•.•在长方形朋用8中，C,G分别是A8,的中点，

二CJ1BC,eq1AC.

即NACB是二面角4-CG-8的平面角.

二ZAC8=90°.所以8C_LAC.

Z.CA,CB,CG两两垂直.C,By

证法一:

4

八

取片8中点尸，连接DF、EF;

则DF//-B.B,从而DF//C.E;

:^=211

・・・DFEC}是平行四边形；

AC{D//EF；而EFu面ABE,・・・6。〃面48£.

证法二：

以点C为原点，分别以C4,CB,CC、为x,y9z轴，建立空间直角坐标系.

VAB=2A4,=4,且。，E分别是AM，CC1的中点，

Aq(0,0,2),0(1,1,2),4(2,0,2),5(0,2,0),

AC,D=(1,1,0),A(B=(-2,2,-2),BE=(0,-2,l).

设平面ABE的法向量为鹿=(x,y,z),

n-AB=0,..,—2x+2y—2z—0,

所以＜」所以

nBE=0.-2y+z=0.

令y=l,则z=2,x=-l;n=(-l,L2).

又因为G»〃=(l，1，0)(-1,1,2)=0,AC.Dln.

又・.・CQ.平面ABE,・・・G。〃平面45E.

⑵由⑴证法二知，8(0,2,0),Cj(0,0,2).所以3G=(0,-2,2).

又由⑴知，平面43E的法向量为〃=(一1,1,2).

设直线BG与平面A8E所成角为6,则

-2+4一走

sin0=|cos<n,BC、>|=

“•闸|2"的一6

所以直线BC｝与平面A/E所成角的正弦值为

6

提高班学案2

【拓1】如图，已知ABCD是上，下底边长分别为2和6,高为g的等腰梯形，将它沿对称轴折

成直二面角.

⑴证明：AC±BOt；

(2)求二面角。-AC-q的正弦值.

【解析】方法一：

⑴连结CO,BO1,由题设知。4J.OO1,OB±00.,

・・・是所折成的直二面角的平面角，

即。4JLQB,从而AOJ_平面08CQ,

・・.AO±

VtanZO(9lB=^=>/3,tanZOtOC=^-=

.../OQB=60。，NOQC=30。，OC1BOf

二BQ_L面AOC,ACu面AOC,

BQ±AC.

(2)设OCO,B=E,过点£作EF_LAC于F,连结Of,

AC±BO,,又ACJ.£F,

AC,面ERF,/.AC±O,F

/。尸£是二面角O-AC-«的平面角.

由题设知Q4=3,OO、=6,OtC=\,

：.O,A=y/o^+OO；=2>/3,AC=ylo^+O^2=V13

.4r>.z、rxcLclO,A-O.C2\/5

..在RtAA^C中，Q[F=—1------=-y=r,

AC，13

又0£=。«•sinBOOug,；.sinN«FE=^=乎.

二面角O-AC-Q的正弦值是巫.

14

方法二：

以。为原点，直线OA,OB,001分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图,

0(0,0,0),4(3,0,0),8(0,3,0),«(0,0,6),C(0,l，G)

⑴；4C=(-3,1,⑹，8Q=(0,-3,6),

AACBO,=(-3)+3=0,AAC±BOt

⑵；47=卜3,1,⑹，0A=(3,(),0),491=卜3,0,6)

二设平面ACO的法向量为〃=(x-必，zj,

所JAC-〃=O.J-3X1+%+64=0

OA-n=0,[3为=0

取Z1=1,则”=(0,-6,1),

同理，设平面ACq的法向量为根=(/，%，Z2),

,ACnt=O-3%,+y2+>/3z2=0

则《，..〈-1-

AO、-m=0[-3x2+V3Z2=0

取z2=V3,则团=(1,0,G),

./\mnV3V3

••cos(i7ifn)=,；—；—；~~i=-----=—,

\'|/M|X|H|2X24

../\V13

・・sin\m,n]=—

...二面角。一Ac-q的正弦值是手.

目标班学案1

【拓3】（2012北京东城一模）在正△A5C中，E、F、P分别是A3、AC.BC边上的点，

满足AE:£B=C尸:必=CP:PB=1:2,将A4EF沿£F折起到的位置，使二面角

A-EF-8成直二面角，连结A1、AtP.

⑴求证：AE1•平面3EP；

⑵求直线AE与平面A8P所成角的大小;

⑶求二面角5-4P-F的余弦值大小.

【解析】不妨设正△ABC的边长为3.

(1)取BE中点。，连结£)尸，

VAE:EB=CF;FA=\;2,二AF=A£>=2,

而乙4=60°,，△AQE是正三角形.

又AE=DE=1,AEFYAD.

折叠后图形中AELEF,BELEF,

二幺班为二面角4-EF-8的平面角.

由题设条件知此二面角为直二面角，AA.E1BE.

义BE\EF=E,，AE_L平面3£F,即AE_L平面3EP

方法一：

②.：在AEBP中，BE=BP=2,而NEBP=60。,

：.是等边三角形.

因此取5P中点Q,连结EQ,A。，则E0LBP

AE_L平面BEP,^£1BP

...砂_L平面AEQ,又BPu面ABP,

...平面ABPJ.平面AE。，且AQ为两平面交线，

则过点E作ER^AQ交AQ于R，则£7?工平面ABP

...NE4,Q为线A|E与平面ABP所成角，

；是等边三角形，且。为3P中点,

EQ=苧X2=5且AE=I,

,根据AEJ•底面班尸可知，在RtZ\E4,Q中，tanNE4,Q=-^2=百.

\E

：./£41。=60。，

直线AE与平面\BP所成的角为60。.

(3)过F作FM_LAP于M，连结QM、QF,

,:CP=CF=l,NC=60°,AFCP是正三角形.

；.PF=1,又PQ=；BP=1,：,PF=PQ®

：AE_L平面BEP,EQ=EF=y/3,

/.AF=AQ

...△AFP也△AQP,从而441Pp=NAPQ②

由①②及MP为公共边知AFMP法△QMP,

ZQMP=NFMP=90°,S.MF=MQ.

/.FMQ为二面角B-A.P-F的平面角.

在RtZ\AQ尸中，4。=4尸=2,PQ=\,

：.\P=^>,又MQ_LAP，

・“cAQ，PQ2百…r2V5

••MQ=^7-=亍，-叱=丁

在△FCQ中，FC=\,QC=2,ZC=60°,

由余弦定理得QF=G.

MF1+MQ1-QF-7

在△FMQ中，cosNFMQ=

2.MFMQ8

7

，二面角B-AP-F的余弦值为.

方法二：

如图，以E为原点，£B,所，即分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则E（0,0,0）,

8(2,0,0),F(0，G，0),A(0,0,l),尸(1,6,0)

⑵%=(-2,0,1),PA,=(-1,-s/3,1),

设平面A8P的法向量为〃=(x，N，z),

,f/i-BA=0,f-2x+z=0

则《?，即{r,

n-PA,=0[-x-yJ3y+z=0

(A、

设z=2,则〃=1,—,2,

又：EA,=（0,0,1）,设直线4E与平面A8P所成的角为61,

2y|3

则sin®=^^~昌=仁=工2,直线A|E与平面ABP所成的角为60。.

|£^||«|4百2

亍

（3）尸4=（0,-73,1）,设平面APP的法向量为，"=（r，s，?）,

m-F\-0

则4设f=6,则初=(0,1,V3j,

m-尸A=0

7.

又1,—,2,则cos(机，")=3「

[3}''/网："「"；J=g=8"L,,

3

由图形知，二面角B-4P-F为钝角，

7

・・・二面角8—一尸的余弦值为一；.

713.2最值问题

〈教师备案〉立体几何中用运动变化观点处理问题的题目，如最值与范围类问题，对空间想象能力和处

理动态问题的探索能力要求较高，是立体几何的难点.此类问题，经常需要几何图形推理

与代数（函数、不等式等）推理相结合，洞察变化过程中的特殊位置（用代数方法的话就

不需要了），将最值问题转化为几何或代数问题来处理.

考点4：立体几何中的长度最值问题

8

经典精讲

【例4】⑴*★在棱长为a的正方体ABC。-44GA中，AE=g431,在面ABCD中取一点P,使

归尸|+,q最小，则最小值为.

⑵内如图已知直三棱柱ABC-A4G，ABLAC,AC=A8=A4）=1,M,

N分别为线段45、AC上的动点，M,N两点满足耳N1.GM,则

线段MN长度的最小值为.

【追问】AM+AN的最小值为.

【解析】⑴—a

2

延长GC到M,使GC=CM,则尸C_LGM,故FC,=FM,

团+用卜团+,M可叩，Dy

当且仅当F为EM与平面AfiCZ）的交点时，归耳+卜弓|最小.

(2)

2

建立以A为原点，ABtACfAA所在直线为x,y,z轴的坐标系,

则印1,o,1),6(o,i,i)；

设M(a,0,0),N(0,b,0);

则与N=(-l,b,—1),GM=(a,—1,一1),

・・・gNGM=0=_〃—力+]=0,

.■・Q+b=l,而a,匕均为正数，

由均值不等式可知MN=》组2.亚=立；

22

当且仅当时等号成立,

2

；.MN最小值为之.

2

【追问】垂;

A,M+A,N=yla2+\+^（1-0）2+1（0<a<l）,可看成平面直角坐标系中点（a,0）到点（0,1）

和点（1,-1）的距离之和，因此AM+AN2石'，当（0,1）和（1,-1）的连线与x轴的交点

为（a,0）时，AM+AN取到最小值班.

尖子班学案2

【拓2】如图，正方形"CD、A8EF的边长都是1,而且平面4?CD、A3EF互相垂直.点M在AC

上移动，点N在8F上移动，若CM=BN=a(0<«<^),求MN的长度的最小值.

【解析】作MP〃AB交BC于点、P,NQ〃AB交BE于点、Q,连结PQ,

依题意可得MP〃NQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四边形.

MN=PQ,

由已知CM=BN=a,CB=AB=BE=1

AC=BF—\[2,CP=BQ=a,

.•.当”=时，MN取最小值上

22

即当〃、N分别为AC、M的中点时，MN的长最小,最小值为——

【备选】(2013北京理14)如图，在棱长为2的正方体A8CD-A耳中，E为8c的中点，点P在

线段RE上，点P到直线CG的距离的最小值为.

【解析】|>/5

根据空间线面垂直关系求点P到直线CG的距离的最小值.过点£1作Eg_L面，交

直线AG于骂，连接,在平面£>卢卢内过.P作PH〃EE］交Dg于H,连接GH,则G"

即为点P到直线CC的距离.

因此当点P在RE上运动时，P到CG距离的最小值即为C1到距离的最小值，即

RtAC.Dif,中G到2g的高.

2_2

因为CQ=2,Cg=l所以=不，则所求的高为

45=5

【点评】将空间中点到直线的距离转化到平面图形中解决，需要一定的空间想象和构造联想力.

考点5：立体几何中的体积最值问题

10

知识点睛

立体几何中体积的最值问题，一般来讲，关键是引入恰当的参数，建立目标函数，然后用函数或不等

式方法去求最值.

经典精讲

【例5】设四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是边长为1的正方形，且上面A5C£>.

(D**求证：PCIBD；

⑵再过比>且垂直于直线PC的平面交PC丁点E,如果三棱锥E-BCD的体积取到最大值,

求此时四棱锥P-ABCD的高.

解析图：

【解析】⑴连接AC.PAIABCD^PALBD,又AC_LB。,

二BD_L平面E4C,于是或>_LPC.

(2)如图建系，设P4=x,CE=ACP,

则A(0,0,0)、8(1,0,0)、C(1,1,0),。(0,1,0)、P(0,0,x).

VCP=(-l,-l,x),

J.BE=BC+CE=(O,I,0)+2(-l,-1,x)=(-2,1-2,Ax),

而PC工平面BED,：.CPLBE,CPBE=0,

于是/1+/1-1+/U2=0,=.

x+2

,z_n/_1_x111<11V2

I2k

当且仅当x=0时，取到等号.

故三棱锥E-BCD的体积取最大值时，四棱锥P-ABCD的高为友.

【拓3】如图已知在A4BC中，ZC=90°,P4_L平面ABC,AE^LPB交PB于E,人/_1.2。于尸，

已知AF=M=2,ZAEF=。,当。变化时，求三棱锥P-AEF体积的最大值.

【解析】：R4_L平面ABC,/.PAVBC卜

又：BC_LAC,PAC\AC=A,，8CJ.平面丛C,\\

•；4尸匚面抬(7,ABCLAF,\\

又尸J_PC,PCBC=C,\X

，平面P8C,/.AFYEF,AFLPB

又,：AEA.PB,，平面AEF.

在三棱锥P-A£F中，VAP=AB=2,AE±PB,

：.PE=y12,AE=s/2,AF=&sin6»,EF=血cos®,

VP_AEF=-S^AEF-PE=-—\[2sinO-42cos0x>/2=—sin20

'3326

71

V0<6><-,：.O<20<TI0vsin26Wl,

29

当。=¥时，匕，取得最大值为立.

46

考点6：立体几何中的角度最值问题

〈教师备案〉涉及到空间中的南度问题时，现在都用空间向量来解决了，需要弄清楚所求的角度与向量

夹角之间的关系，选择参变量，建立函数关系仍然是角度最值的主要方法.

经典精讲

【例6】如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABC。为菱形，1ftA_L平面ABC。，NABC=60。，E,F分

别是8C,PC的中点.

⑴*★证明：AEYPD；

⑵=若以为PZ)上的动点，E”与平面R4D所成最大角的正切值为

―,求二面角E-AF-C的余弦值.

2

【解析】⑴由四边形ABCD为菱形，Z4fiC=60°,可得八钻。为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AELBC.

叉BC〃AD,因此AE_LA£>.

因为E4_L平面ABC。，AEu平面ABCZ),所以

而R4u平面R4£>,A£)u平面R4。，且尸4AD=A,

所以AE_L平面Q4Z).又PDu平面B4。，

所以A£_LP£).

⑵法一：

设A5=2,H为PD上任意一点、,连接A4,EH.

由⑴知AE_L平面B4Z),则NEH4为E”与平面P4Z)所成的角.

在Rt^EA“中，AE=6,.,.当A//最短时，N£H4最大，

即当AH_LP£>时，NEHA最大.

此时tan/EH4=K^=3=^,

AHAH2

,:AH=&.又？1£>=2,AZADH=45°,PA=2.

因为P4_L平面A6CD,R4u平面B4C,

所以平面P4C_L平面ABCD.

过E作EOLAC于0,则EOJ,平面巴4C,

过。作QSLAF于S,连接£5,

则NESO为二面角E—AF—C的平面角，

na

在RtA/lOE中，EO=AE-sin30°=—,A0=AE-cos30°=—,

22

又F是PC的中点，在RtZXASO中，SO=AOsin450=—,

4

12

义SE=4E()2+so。=4+[=粤,

3夜

在Rtz^ES。中，cosNESO="=S=叵,即所求二面角的余弦值为姮.

SEV3055

4

法二：

E”与平面QW所成最大角的正切值为好，等价于最大角的正弦值为巫，由(1)知4E

25

是面PAD的法向量，因此上述条件即为|cos<AE,EH>|=—.

Imiix5

由⑴知AE,A£),AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以A(0,0,0),Bg,-1,0),Cg,1,0),0(0,2,0),E(百，0,0),

设点H(0,y,z),贝IAE=(G，0,0),EH=(-61,y,z),于是

=半，解得(丁+22)

|cos<AE,EH>|=3『2,即|训而„=夜，4到"

存j3+y2+z2

的距离为0,于是可以算出|AP|=2.

(61/

又E,尸分别为8C,PC的中点，P(0,0,2),F--,一,1AF=,1,1,

22

▼一一,,«,一、m,AE=0

设平面AEF的一法向堇为m=(x,,y,zj,则<

in-AF=0

\[^X]=0

因此，,&\9取Z[=—1,则，77=(0,2,-1),

亏无I+不,+Z]=0

.乙乙

因为8Q_LAC,BDLPA,PAAC=A,

所以3。_L平面AFC,故BO为平面AFC的一法向量.

(也可直接设出法向量，由方程求解)

又3£>=(-G，3,0),

m,BD2x3_叵

所以cos〈"3BD)=

卜小田亚x5i~~T

因为二面角E—A尸一C为锐角，所以所求二面角的余弦值为半

华山论剑

己知正三棱柱A3C-A4G的底面边长为1，高为饵〃>3),点M在侧棱84上移动，到底面

ABC的距离为x,且AM与侧面BCGM所成的角为a；

(1)若a在区间「巴，巴]上变化，求x的变化范围；

⑵若a为求AM与8c所成角的余弦值.

6

【解析】⑴设8c的中点为O,连结AD、DM,

在正八43c中，易知AO_LBC,

又侧面BCG与底面ABC互相垂直，,A£>_L平面BCC,,

即N4MD为AW与侧面BCG所成的角，ZAMD^a,

：.在RI/XADM中，cosZAMD=—.

AMA]

依题意3M即为点M到底面ABC的距离，BM=x,

且AM=>/1+x2,DM=.1—+x2,cosa=J+4J,%

V42也+x2M

^.71.兀//兀

由已知一WaW一,..cos—WcosaWcos一,

6446

即

v^-WcosaW——・

22

由w且,解得立Wxw6,即X的范围是

V2-

2

2X/T7722

n

“-,即*=夜时，BA7=x/2,|AM|=s/3

,：AMBC=(AB+BM)BC=ABBC+BMBC=cos\2O0+O^~~,

2

/.cos〈AM,BQ==--,即AM与BC所成角的余弦值为一迫.

\AM\-\BC\66

【演练1】如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段A8,CD,所和G”在原正方

体中相互异面的有对.

【解析】3

将展开图恢复成正方体后，得到AB与CO,EF和GH,AB和G”三对异面直线.

【演练2】把正方形488沿对角线AC折起，当以A,B,C,。四点为顶点的三棱锥体积最大时，直

线比）与平面ABC所成的角的大小为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解析】C

14

当平面ABC，平面4X?时，以A,B,C,。为顶点的三棱锥的体积最大，D01AC,DO1

平面ABC,ZDOB=90°,OD=OB,NOB£>=45。即为3D与平面ABC所成的角.

【演练3】已知如图1,正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、尸分别是AC和5c边

上的点，且满足g=空，现将AABC沿CO翻折成直二面角A-DC-如图2.

CACB

⑴试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;

⑵求二面角3—AC—。的平面角的正切值.

图2

【解析】⑴AB〃平面DEF.在△ABC中,

CECF

•:E、产分别是AC、8c上的点，且满足匕=J=女

CACB

:.AB//EF.

・・・A5U平面DEF,EFu平面DEF,.「AB〃平面

⑵方法一,：

过。点作DGLAC于G,连结BG,

•：AD上CD,BD工CD,

：.NAZM是二面角A—CD—B的平面角.

AZADB=90°,即切JLAO.

・・・8£)1.平面ADC.ABD1AC.

・•・AC,平面3GD.BGLAC.

：./BGD是二面角B—AC—O的平面角.

在ADC中，AD=a,DC=\/3a,AC=2a,

.AD-DC\/3ci

・・ZJG=---------=-------=------.

AC2a2

在RtAB£>G中，tanZBG£>=—=^.

DG3

方法二：

如图，以。为原点，DB,DC,D4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则Q（0,0,0）,B（a,0,0）,C（O,氐，0）,A（0,0,a）,

AC=(0,&a,-a),AB=(a,0,-a),

设平面ABC的一个法向量为〃=（x,y,z）,

>j3ay-az=0人.

则<',令z=l,则〃=1,-----,1,

ax-az=03

平面4X1的一个法向量为DB=（a,0,0）,

n-DB>/21

所以cos（〃，08）

|n|x|DB|7'

设平面ABC与平面ADC所成的角为。，则6=(〃，DB),

.a屈.,〃2g

・・cos6=---,・・tan”=-------.

73

【演练4】如图所示，等腰△ABC的底边A8=6后，高8=3,点E是线段8。上异于点B,。的动

点，点尸在BC边上，且EFLAB,现沿瓦'将△B£F折起到尸的位置，使

记BE=x,V(x)表示四棱锥尸-ACEF的体积，

⑴求V(x)的表达式；

⑵当x=6时，求异面直线AC与尸尸所成角的余弦值.

【解析】⑴VEFA.AB,：.EFYPE,

又；PE_LAE,EFCAE=E,且尸£在平面AC庄■外,

二PE_L平面ACEF,

VEFA.AB,CD1AB,：.EF//CD,

.EFx„„CD_x

>•=——=EF=

CDBD

所以四边形ACFE的面