房山区2020届高三一模数学试题及答案解析

房山区2020年第一次模拟检测

高三数学

本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考

试结束后,将本试卷和答题纸ー并交回。

第一部分(选择题共40分)

ー、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项。

(1)复数i(3+i)=

(A)l+3i(B)-l+3i

(C)l-3i(D)-l-3i

TT

(2)函数/(x)=tan(x+—)的最小正周期为

6

兀71

(A)-(B)

32

(C)兀(D)2无

(3)已知向量。=(1,ー丄)，h=(—2,m),若。与ら共线,贝リ|み|=

(A)G(B)#)

(C)V6(D)2VI

(4)在二项式(l-2x)s的展开式中，ギ的系数为

(A)40(B)-40

(C)80(D)-80

(5)下列函数中，既是偶函数又在(0,+00)上单调递减的是

(A)y=x~2(B)y=\\nx\

(C)y=27x(D)y-xsinx

某三棱的三如右所示，三棱的体

(6)锥视图图则该锥积为1I△)

4

(A)-(B)

3

(C)4(D)8

ミ主视图左视图

俯视图

第1页

(7)已知函数/(x)=['x>T'若/(―2)=0,且/(x)在R上单调递增,则。的取值范围是

bx+\,xW-L

(A)(0,2](B)(1,2]

(C)(l,+oo)(D)[2,+00)

⑻设{し}是公差为d的等差数列,S„为其前n项和,则“d<0”是“eN*,Sn+i<S"”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(〇充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(9)已知直线/:ッ=机(x-2)+2与圆C:ズ+バ=9交于ス，B两点、,则使弦长|ス8|为整数的直线

/共有

(A)6条(B)7条

(C)8条(D)9条

(10)党的十八大以来,脱贫工作取得巨大成效,全国农村贫困人口大幅减少.下面的统计图反映了

2012-2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况(注:贫困发生率=贫困人数(人)

チ统计人数(人)xlOO%).根据统计图提供的信息,下列推断不正确的是

口全国农村黄困人口(万人)一・-全国农村斂困发生率(%)

(A)2012-2019年，全国农村贫困人口逐年递减

(B)2013-2019年,全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年

(C)2012-2019年,全国农村贫困人口数累计减少9348万

(D)2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

(11)已知集合ス={1,2,加},5={1,3,4),>105={1,3},则か=

(12)设抛物线スユ=2py经过点(2,1),则抛物线的焦点坐标为

第2页

(13)已知｛し｝是各项均为正数的等比数列,q=l,%=100,则｛4｝的通项公式し=:

设数列｛1g%｝的前n项和为Tn,则7；=.

(14)将函数"x)=sm(2xj)的图象向右平移s(s＞。)个单位长度,所得图象经过点?),则s的

最小值是.

x2

(15)如果方程一+川ブ|=1所对应的曲线与函数ツ=/(x)的图象完全重合，那么对于函数ッ=/(x)有

4

如下结论:

①函数/(%)在R上单调递减;

②ッ=/(x)的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；

③函数/(x)的值域为(-*2］；

④函数ド(x)=f(x)+x有且只有一个零点.

其中正确结论的序号是.

注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3

分。

三、解答题共6题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

在△Z8C中,a—y/2,c—V10,.(补充条件)

(I)求△NBC的面积;

(II)求sin(4+8).

从①b=4,②CGSB=一旦，③sin/=典这三个条件中任选ー个，补充在上面问题中并作答.

510

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。

(17)(本小题14分)

随着移动互联网的发展,越来越多的人习惯用手机应用程序(简称app)获取新闻资讯.为了

解用户对某款新闻类app的满意度,随机调查了300名用户,调研结果如下表:(单位:人)

青年人中年人老年人

满意6070X

一般5525y

不满意25510

(I)从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率;

(II)从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率;

(III)现需从参与调研的老年人中选择6人作进ー步访谈,若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中

各取2人,这种抽样是否合理?说明理由.

第3页

(18)(本小题14分)

如图,在四棱锥尸ーZ8C。中,P8丄平面ス8CO,ABLBC,AD//BC,AD=2BC=2,

Z6=8C=尸8,点E为棱的中点.

(I)求证:CEII平面P/3；

(II)求证:ス。丄平面尸ス8；

(111)求二面角E-/Cー。的余弦值.

(19)(本小题14分)

X2v2

已知椭圆C:モ+勺=1(。＞6＞0)过ス(2,0),8(0,1)两点.

ab

(1)求椭圆C的方程和离心率的大小;

(II)设“，N是ヅ轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数,直线ス"与椭圆C的另ー个交点为尸,

直线スN与椭圆。的另ー个交点为。,判断直线尸。与x轴的位置关系，并证明你的结论.

(20)(本小题15分)

己知函数/(x)=2ギーax?+2.

(I)求曲线ヅ=/(x)在点(〇,/(〇))处的切线方程;

(II)讨论函数/(x)的单调性;

(III)若。＞0,设函数g(x)=|/(x)|,g(x)在［一1,1］上的最大值不小于3,求a的取值范围.

(21)(本小题14分)

在ー个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的

一次“Z拓展”.如数列1,2第1次“Z拓展”后得到数列1,3,2,第2次“Z拓展”后得到数列1,

4,3,5,2.设数列a,b,c经过第〃次“Z拓展”后所得数列的项数记为月,所有项的和记为S“.

(1)求《,鸟；

(II)若月》202〇,求”的最小值；

(III)是否存在实数a,b,c,使得数列｛S“｝为等比数列?若存在，求。,b,c满足的条件；若不存

在,说明理由.

第4页

房山区2020年第一次模拟检测答案

高三数学

ー、选择题（每小题4分,共40分）

题号12345678910

答案BCBDAABDCD

二、填空题（每小题5分,共25分,有两空的第一空3分,第二空2分）

(11)3

(12)(0,1)

(13)10-,処3

2

(14)—

12

(15)②④(注:只写②或④得3分)

三、解答题(共6小题,共85分)

(16)(本小题14分)

解:

选择①

(I)在△ABC中,因为〇=y/2>c=J10，b=4,

山人ケ,小钿殂イa2+b2-c2(V2)2+4~-(VFo)2及

由余弦定理得cosC=--------------=------------戸-------=——，

2ab2xj2x42

因为Ce(0,兀),所以sinC=Jl—cos20=走

2

所以S=」absinC=Lx逝・4X也•=2"

222

(II)在△ZBC中,A+B^n-C.

所以sin(Z+8)=sinC=.

选择②

(I)因为cos8=-^^，8e(0,兀),所以sin8=S—cos?6=

55

因为4=后,c=V10,所以S=Lacsin3=Lx后xJidx述=2

225

(II)因为a=0,c=V10,cos8=一正，

第5页

由ピ=q2+c2-24ccos8，得ガ=(72)2+(710)2-2xx710x(--)=16，

解得b=4,

由丄=-^,解得sinC=也,

sinBsinC2

在△/3C中，4+8=兀ー。,sin(?l+5)=sinC-

选择③

依题意,ス为锐角,由sin/=得cos4=Jl—sin?4=

1010

在△ABC中,因为4二^2»c—Vw9cosA=3^^,

10

由余弦定理ガ=ガ+。2一2^COSN,得(0)2=〃+(Ji?)2—2x而"xヨ叵b

10

解得6=2或b=4

(I)当b=2时,S=—ftcsin^-—x2xVlO^x1.

2210

当b=4时,S=—bcs\r\A=—x4xVlO^x—―=2-

2210

(II)由。=>/^",c=Vlo,sinA=---,---=-----,得sinC=—

10sinAsinC2

在△Z8C中,A+B=ii-C,sin(/+8)=sinC=---

(17)(本小题14分)

解:

(I)从所有参与调研的人共有300人,不满意的人数是25+5+10=40

记事件ハ为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”,则所求概率为

(11)记事件"为“从参与调研的青年人中随机选取1人,此人满意”,则尸(加尸図■=ゴ;

1407

记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人,此人满意”,则P(N尸ユ=丄;

10010

则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人,恰有1人满意”的概率为

第6页

———————373737

P(MN+MN)=P(M)•P(N)+P(M)•P(N)=ラx(l—5)+(1ーテ)x—=—

(III)这种抽样不合理。

理由:参与调研的60名老年人中不满意的人数为20,满意和一般的总人数为x+y=50,说明满

意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理。合理的抽样方法是采用分层抽

样，根据x,ッ,10的具体数值来确定抽样数值。

(18)(本小题14分)

证明:

(I)取Pス中点ド，连接所,BF,因为E为尸い中点,F为PA中点、,

所以EF//4D,且Eド=丄ス。

2

又因为BC//4D,且8C=丄ス。

2

所以EF//BC,且EF=BC

所以四边形BCEド为平行四边形，

所以CE//BF,

因为CEに平面PAB,BFu平面PAB

所以CE〃平面PZ6.

(II)因为尸8丄平面NBC。，/Ou平面ス8C。

所以P8丄ス。

又因为AB丄BC,4D〃BC

所以スO丄48,

又ABCPB=B,AB、P8u平面尸ス6

所以スハ丄平面R48.

(III)因为尸8丄平面NBCD,AB、BCu平面48CZ)

所以PB丄んB,PB丄BC,又AB丄BC,

以8为原点,如图建立空间直角坐标系3ー种，

5(0,0,0),尸(0,0,1),4(0,1,0),C(l,0,0),夙1二,1)

—■―•—11

所以8尸=(0,0,1),ZC=(1,T,〇),CE=(Oララ)

已知平面ACD的一个法向量BP=(0,0,1)；

设平面力”的法向量〃=(x,ア,z),则

第7页

x-y=O

れ・AC=0

,即<11,令ス=1,则ッ=l,z=T；

n・CE=0—y+—z=0

[22

所以平面ACE的ー个法向量为〃=（1,1,—1）

———BP・れ=一直

所以cos<BP,n>=.__..

H卜一3

昱

由图可知二面角£—/Cーハ为锐角,所以二面角E-ZC-O的余弦值为

（19）（本小题14分）

x2,

解:（I）依题意得。=2,b=l,所以椭圆C的方程为一+ザ=1

4-

c-y/a2—b2—V3,离心率的大小e=—=^—

a2

（II）因为ルf,N是ヅ轴上不同的两点,两点的纵坐标互为倒数,

设A/,N坐标为（〇,〃り,（。,〃），则〃=丄,根エ〇,〃H0

m

m

由ス（2,0）,"（〇,〃?）得直线スM的方程为ヅ=——x+m

一2

X22,

—+V=1

4.

m

y=——x+m

整理得（加2+1）ザ-2my=0或（加ユ+l）x2-4m2x+4m2-4=0

得交点P的纵坐标为井=エ]

2.—

2m

同理交点Q的纵坐标为ヅ0=-=—：~進—=--

〃ー+1（丄ア+]m-+\

m

所以弘＞=ツ0エ0,直线P0与x轴平行

解法二:

设直线AM的方程为x=ル+2。H0）,直线スN的方程为x=$ッ+2（sH0）

第8页

令X=O得ケ”=一2,M坐标为（0,二）,同理N坐标为（0,二ユ）

tS

因为"，N是ヅ轴上不同的两点,两点的纵坐标互为倒数,所以s/=4

げ2I

—+V=1

4-

x-ty+2

整理得。2+4）ザ+4卬=0或（12+4）x2-16x+16-4z2=0

得交点P的纵坐标为ル,=二竺

,-4型

同理得ッ。""百スF

t

所以%>=ッ。。〇,直线尸。与X轴平行•

解法三:

设直线エ用的方程为ヅ=ム。ー2）,ムア〇,直线/N的方程为ヅ=&&一2）,あア。

令x=0得/坐标为（0,-2ム）,同理N坐标为（0,-2左2）

因为“，N是ヅ轴上不同的两点,两点的纵坐标互为倒数,所以4ム&=1

.ピ2_i

代入椭圆方程得14’ノ

y=kx（x-2）

（4婷+l）x2—16婷x+16k；—4=0或（4ム2+リザ+必び=〇

2ケ国二所以“ヤ

4ムユ+14左ユ+1

得交点P的纵坐标为yP=k}-（典二2-2）=二的ー

4ム2+14婷+1

同理得ッ。

4ん2)+14(—)2+1

4ムノ

所以%>=ッ2マ0,直线P0与x轴平行.

第9页

(20)(本小题15分)

解:(I)f\x)=6x2-2ax

由/(0)=0,/(0)=2,得

曲线ヅ=/(x)在点(〇,/(〇))处的切线方程为ヅ=2

(II)定义域为R，/'(x)=6x?-2ax=2x(3xー。)

令/'3=0,解得项=〇,ち=ヨ

若。=0,f'(x)=6x2>0,/(x)在R上单调递增:

若。〉0,在(ー哂。)上,f\x)>0,/(x)单调递增,在(0,会上,/'(x)<0,/(x)单调递减,

在［J,+oo)上，/'(x)>0,/*)单调递增;

若。<0,t〇〇,ミ)上,/'(x)>0,/(x)单调递增,在(三,0)上,.，(x)<0,/(x)单调递减,

在(0,+00)上,/'(x)>0,/(x)单调递增;

(HI)若〇〉〇,函数/'(x)的单调减区间为10,?)单调递增区间为(一00,0),(三,+oo］

当りN1时,即423,由(H)知，/(x)在［—1,0］上单调递增,在［0,1］上单调递减,

则g(x)_=max｛け(-1)|,|/(0)|,|/(I)|｝=max｛。,2,|4ー。|｝>3

当り<1时,即〇<a<3,/(X)在［—1,0］和口,1］上单调递增,在［〇,马上单调递减，

/(X)在x=ヨ处取得极小值型)=2ーグ>0

则g(x)皿=max｛け(-1)|,|/(0)|,|/(I)||=max-,2,4ー研,

若g(x)3xN3，