广州市高三调研测试数学理试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数学（理科）2014．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型(A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后,将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分,满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，则复数的模等于A．B．C．D．2．设集合，，则等于A．B．C．D．3．已知向量，，，若，则实数的值为A．B．C．D．4．定义在上的函数满足则的值为A．B．2C．Oxy1EQ\F(,6)EQ\F(11,12)图15．函数（，,Oxy1EQ\F(,6)EQ\F(11,12)图1A．B．C． D．6．执行如图2的程序框图,如果输入的的值是6，那么输出的的值是A．15B．105C．120D．720是是否开始输出图2输入结束7．若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有A．1条B．2条C．3条D．4条8．对于实数a和b，定义运算“＊”：＊设＊，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一）必做题（9～13题）9．在等比数列中，若，则．Oxy24-2图310．若，满足约束条件Oxy24-2图311．如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点,则该点落在中的概率为．12．已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是．13．有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有种．图4图414．(几何证明选讲选做题)如图4,为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为．15．(坐标系与参数方程选讲选做题）若点在曲线（为参数，）上,则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分）在△中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求的值；(2）若,，求的值．ks5u17．(本小题满分12分）空气质量指数（单位：)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：日均浓度0～3535~7575～115115～150150~250＞250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．320455647697880791809320455647697880791809图5（2）在甲城市这15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）图6ABCDEF在如图6的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，∥,,，．图6ABCDEF（1）求证：平面；（2)求直线与平面所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知数列{an}满足，，．(1）求证：数列为等比数列；（2)是否存在互不相等的正整数，,,使,，成等差数列，且，,成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分）设函数,.(1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值;（2）当时,若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）当，时，求函数在区间上的最小值．21．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为．过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下OxyBAFOxyBAFPl1ll2（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；图7（2）求的最大值．图7广州市2014届高三年级调研测试数学(理科）试题参考答案及评分标准说明:1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题,考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分）解：(1)在△中,．………………1分所以…………2分．………………………3分所以……………5分．………………………7分（2)因为,，，由余弦定理，………………9分得．……………………11分解得．……………12分17．(本小题满分12分）解：（1)由茎叶图可知,甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分（2）的取值为0，1,2，………………3分因为，………………………5分，………………ks5u…………7分．…………9分所以的分布列为：1……10……10分所以数学期望．…………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1:因为,，在△中,由余弦定理可得．……………………2分所以．所以．………………………3分因为，，、平面,所以平面．………………4分证明2：因为，设，则．在△中,由正弦定理，得．…………1分因为，所以．整理得，所以．…………………2分所以．………………………3分因为,，、平面，所以平面．………………4分（2）解法1：由（1）知，平面,平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．……………………6分取的中点，连结，，因为是等腰梯形，且，，所以．所以△是等边三角形,且．…………7分MNABCDEF取的中点，连结,，则．MNABCDEF因为平面，,所以．因为，所以平面．……………9分所以为直线与平面所成角．……………10分因为平面，所以．…11分因为，,…………12分在△中，．……………………13分所以直线与平面所成角的正弦值为．………ks5u…14分解法2：由（1)知，平面，平面，所以．因为平面为正方形,所以．因为，所以平面．……………………6分xABCDEFyxABCDEFyz建立如图的空间直角坐标系．………7分因为是等腰梯形,且，所以．不妨设,则，，，，，所以，，．………9分设平面的法向量为,则有即取，得是平面的一个法向量．………11分设直线与平面所成的角为，则．……………13分所以直线与平面所成角的正弦值为．………………14分19．(本小题满分14分）解：（1)因为,所以．…………………1分所以．……………ks5u……3分因为，则．…………4分所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………5分（2）由（1)知，，所以．……7分假设存在互不相等的正整数，，满足条件,则有……………………9分由与，得．……………………10分即．……………11分因为,所以．……………12分因为,当且仅当时等号成立，这与,,互不相等矛盾．……………………13分所以不存在互不相等的正整数，,满足条件．……………14分20．(本小题满分14分）解：(1）因为,，所以，.…………………1分因为曲线与在它们的交点处有相同切线，所以,且.即，且,………………2分解得.……………ks5u……………3分（2）当时，，所以．…………………4分令，解得．当变化时,的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．………………5分故在区间内单调递增,在区间内单调递减．………………6分从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当………7分即解得．所以实数的取值范围是．……………………8分（3)当，时，．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．由于,，所以．……………9分①当，即时，………………………10分．………ks5u…11分②当时，．……………12分③当时,在区间上单调递增，．……………………13分综上可知，函数在区间上的最小值为……………14分21．（本小题满分14分)解：（1)因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为．……………1分因为两渐近线的夹角为且,所以．所以．……………2分OxyBOxyBAFPl1ll2因为，所以，所以,．所以椭圆的方程为．…………………4分（2）因为，