广雅中学高二下学期4月线上测试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020年广东广雅中学高二年级4月线上统一测试数学命题人：徐飞赖淑明审核：温丽，林才雄本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则()A。 B。C。 D。【答案】C【解析】【分析】由在复平面内对应的点为，可得,然后根据复数模长的概念即可得解.【详解】∵在复平面内对应的点为，∴，，∴，即.故选：C。【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键,属于基础题。2。不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色"互斥而不对立的事件有(）A。2张卡片都不是红色 B.2张卡片不都是红色C。2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片至多有1张红色【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件定义，逐项验证.【详解】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则选项A事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥而不对立，所以正确;选项B事件“2张卡片不都是红色”与事件“2张卡片都为红色”是对立事件,所以不正确；选项C事件“2张卡片至少有一张红色"包含事件“2张卡片都为红色”，所以事件“2张卡片至少有一张红色”与事件“2张卡片都为红色"不是互斥事件,所以错误；选项D事件“2张卡片至多有1张红色”与事件“2张卡片都为红色"是对立事件，所以错误。故选:A。【点睛】本题考查互斥事件和对立事件，考查对定义的理解,属于基础题.3.若实数满足不等式组,则的最大值是（)A。 B。3 C.4 D。6【答案】D【解析】【分析】令，做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】画出满足的可行域，如下图阴影部分，令，当目标函数过点时取得最大值,由，解得，即，所以目标函数的最大值为.故选：D。【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求目标函数的最值，属于基础题.4.设随机变量，且，则的值为（）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，即可求解。【详解】随机变量服从二项分布，，解之得，所以．故选：B。【点睛】本题考查二项分布的期望、方差和独立重复试验的概率，熟记公式即可，属于基础题.5。学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则(）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】随机变量服从超几何分布，根据超几何分布期望公式即可求解.【详解】法一:（公式)由题意得随机变量，则．法二：，分布列如下,012．故选：D。【点睛】本题考查超几何分布的期望,要掌握常用的随机变量的分布列和期望，减少计算量,属于基础题。6。下列说法正确的有（）①在回归分析中，可以借助散点图判断两个变量是否呈线性相关关系．②在回归分析中，可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小,模型的拟合效果越好．③在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量增加0.1个单位．A.1个 B.2个 C.3个 D。4个【答案】C【解析】【分析】根据散点图的应用、利用“残差”的意义、相关系数的作用、回归方程的意义，即可得出正确的判断.【详解】对于①，可以借助散点图直观判断两个变量是否呈线性相关关系，所以正确；对于②，可用残差的平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以正确；对于③，相关系数的绝对值越大,只能说明两个变量具有较强的相关性，不能作为分析模型的拟合效果好坏的依据，应该是相关指数越大，模型的拟合效果越好,所以错误；对于④，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0。1个单位,所以正确．故选：C。【点睛】本题考查回归分析以及线性回归直线方程，要注意区分“相关系数”与“相关指数",属于基础题.7.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有4个白球，2个红球．从袋中不放回地逐个取球,取完红球就停止,记停止时取得的球的数量为随机变量,则（）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】根据排列组合知识，结合古典概型的概率公式，即可求解。【详解】最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球一白球，，故选：A.【点睛】本题考查随机变量的概率，应用排列组合求古典概型的概率，属于基础题。8。广雅中学三大社团“乐研社”、“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计,2019级髙一新生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团“乐研社”“摄影社”和“外联社"的概率依次为,，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为,则（)A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】由独立事件同时发生的概率，和对立事件的概率,建立方程组，求解即可.【详解】根据题意有，解得．故选：D.【点睛】本题考查相互独立事件,对立事件，及其概率公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题.9。《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“"表示一根阴线）．从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（)A。 B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】将八卦按照阴线个数分类，求出两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的方法数，按照古典概型概率公式即可求解。【详解】八卦分成四类，A类是：3个卦含1阴2阳,B类:3卦含2阴1阳，C类1卦含是3阳，D类1卦是3阴．从八卦中任取两卦共有，两卦中含2阳4阴，则可以从B类选2卦，方法数为，或者选D类和A类1的1卦，方法数是3．所求概率为．故选：A.【点睛】本题以生活实际为背景，考查利用组合原理求古典概型的概率，属于基础题.10.某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召,组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下,员工丙第一个检测的概率为（）A. B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据条件概率公式，求出事件“员工甲不是第一个检测,员工乙不是最后一个检测"的概率，可分为两类，甲最后检测或甲不是最后检测,结合排列知识即可求解,再求出“员工丙第一个检测，员工乙不是最后一个检测"的概率，即可求解。【详解】先求，法一（优先考虑特殊元素特殊位置）：设事件为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”；事件为“员工丙第一个检测”．事件分两类：甲最后检测,则剩下的3名员工可以随便排序，方法数为；甲不是最后检测,则中间两个位置选1个位置为甲，然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙，其余的员工随便排,方法数为,故;法二（排除法），．再求，员工甲不是第一个检测,员工乙不是最后一个检测,员工丙是第一个检测，则先排丙在第一个位置，然后除了第一个位置和最后一个位置选1个位置给乙，剩下的两个员工随便排,方法数，故．综上．故选：B。【点睛】本题考查条件概率的求法，应用排列组合求解古典概型的概率是解题的关键，属于中档题.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图"，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内随机取一点，则此点取自小等边三角形内的概率是()A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，求出大小正三角形的面积即可,由已知结合余弦定理求出边长,即可求解。【详解】显然小三角形面积,中,，，所以所求概率为．故选:D。【点睛】本题以数学文化为背景，考查几何概型的面积类型，属于基础题。12.广雅髙一年级和髙二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（)A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】随机变量的可能取值为2,3，求出其对应值的概率，得到期望和方差关于的函数，根据函数特征，利用换元法，将转化为二次函数,求出范围即可。【详解】的可能取值为2，3，解法一：，，令，因为，所以则;所以，,因为，所以,法二：，，，因为以为对称轴，开口向下，所以在时，单调递增，所以，排除A，B．法1：令,法2：，所以在上单调递减，又，所以当时，，所以时单调递增，所以．故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查函数的最值，应用换元法是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知随机变量服从两点分布，且,设，那么________．【答案】【解析】【分析】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质,即可求解.【详解】，故答案为：【点睛】本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题。14.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中,已知，则在内取值的概率为_________．【答案】0.975【解析】【分析】根据正态分布的对称性，，即可求解.【详解】由于，所以．故答案为：0.975【点睛】本题考查正态分布的应用，意在考查正态分布的对称性,属于基础题。15.已知的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小56，则________．【答案】3【解析】【分析】令得出展开式中各项的系数和，结合展开式二项式系数和，建立的方程,求解即可。【详解】的展开式中的各二项式系数的和为．令，则各项系数的和为，依题意,即．故答案为：3【点睛】本题考查二项展开式系数的性质，要注意区分“二项式系数”“该项的系数",考查计算求解能力，属于中档题.16.将三项式展开，当时，得到如下所示的展开式，抽取各项的系数可以排列为广义杨辉三角形：……据此规律可得，_________．【答案】【解析】【分析】根据归纳推理可得，即可求出结论.【详解】法一:因为,所以，故．法二：为的系数，个括号中，有两类选择．选择一：有个括号选择,1个括号选择1,方法数为：；选择二：有个括号选择，2个括号选择，方法数为:，共有种．为的系数，个括号中，有两类选择，选择一：有1个括号选择,个括号选择1,方法数为:;选择二：有2个括号选择,个括号选择1，方法数为：，共有种．故．故答案为：【点睛】本题考查展开式的系数,利用归纳推理是解题的关键，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17。在中，分别是角的对边，若,且（1）求的值;（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理,将已知等式中的角化为边，得到,再由余弦定理和同角间的三角函数关系，即可求解；(2）由（1）中结论可得，进而得出，利用两角和的余弦公式，即可求出结论.【详解】法一：根据正弦定理,由得，即，所以因为，所以．法二：根据正弦定理,由得，故所以，由，得,故，因为，所以，故．所以．（2）因为，，所以,所以．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换求值,考查计算求解能力，属于中档题.18。已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且,分别为数列第二项和第三项.（1)求数列与数列的通项公式；（2）若数列，求数列前项和.【答案】（1）;，（2）【解析】【分析】（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式,得到答案。（2）由（1）可得，利用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和,得到答案.【详解】(1)由题意，数列的前项和为,当时，当时∴，当时也满足上式所以数列的通项公式为.设数列的首项为,公比为,则,∴,，∴，.（2）由（1）可得，所以设前项和为成,前项和为，∴∴,∵∴∴【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解,以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系,熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法",准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。19.如图，已知四边形为直角梯形,为矩形，平面平面，∥，，，．（1）若点为中点,求证：平面；(2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．【答案】（1）见解析（2)．【解析】【分析】（1）在直角梯形中根据长度关系和勾股定理，可证，再由已知条件可得面，从而有,在矩形中，可得，可证出,即证证明结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出坐标，设，，求出平面的法向量，进而求出直线与平面所成角正弦的取值范围,即可求解。【详解】（1）法一：在直角梯形中，，，故由勾股定理知，取中点,则中，，又中，,故．因为平面平面，交线为,所以面．面,故．和，,，故．故，即，即．又，面，故面．法二:因为平面平面，交线为，面且．所以面．建立空间直角坐标系如图，则．，，,故,．，又，面，故面．（2）法一：因为平面平面，交线为，面且．所以面，建立空间直角坐标系如图,则,设，则则设平面的法向量为∴，即，故，取，则，故平面的一个法向量为．设与平面所成角为，∴∴当时取最大值，当时取最小值故与平面所成角的取值范围为．法二：根据（1)知，面．建立空间直角坐标系如图，则，设，则则设平面的法向量为∴，即,故，取，则，故平面的一个法向量为．设与平面所成角为，∴,∴当时取最大值，当时取最小值故与平面所成角的取值范围为．【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直,以及空间向量法求直线与平面所成角的范围，注意空间垂直关系的相互转化，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布,且规定尺寸为次品，其余的为正品．生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元．现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：(1)估计生产线生产的零件的次品率及零件的平均尺寸;（2)从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率．【答案】（1）0.20;98.8（2）【解析】【分析】（1）求出的值，即可得到次品的尺寸范围，根据频率分布图求出次品率,并求出各组的频率，按照平均数公式即可求解；（2）设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，则,将利润表示为的函数，由二项分布的期望公式和期望的性质，求出利润的期望;要使销售不亏损,5件产品中至少要有4件正品，根据独立重复试验的概率公式，即可求解.【详解】（1）次品的尺寸范围，即，即，故生产线生产的产品次品率为：生产线生产的产品平均尺寸为:（2)设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为,正品率为,故,设销售生产线上的一箱零件获利为元，则(元)设事件：销售生产线上的一箱零件不亏损，则,答:生产线生产的零件的次品率为0.2,零件的平均尺寸为98.8，这箱零件销售后的期望利润为100元，不亏损的概率为．【点睛】本题考查正态分布、频率分布直方图、二项分布期望和独立重复试验的概率，考查计算求解能力，属于中档题。21.已知动圆的圆心为点，圆过点且与被直线截得弦长为．不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且．（1）求点的轨迹方程；(2)求三角形面积的最小值．【答案】（1)．(2）16【解析】【分析】（1）设，根据圆的相交弦长公式,即可得出关系；（2)由（1)得,曲线方程为，根据已知可得，设直线方程为,与抛物线方程联立，得，利用根与系数关系，将三角形面积表示为的函数，根据函数特征，即可求出最小值.【详解】（1）设，圆的半径圆到直线的距离由于圆被直线截得弦长为，所以即，化简得，所以点的轨迹方程为．(2）由知（或）解法一：设直线的方程为由消去得即，由即，即由于，所以,所以解得所以直线方程为恒过定点三角形面积当时,所以三角形面积的最小值为16．解法二：设直线的方程为，则直线的方程为由,解得即，所以同理可得三角形面积下面提供两种求最小值的思路：思路1:利用基本不等式，当且仅当即时，所以三角形面积的最小值为16．思路2:用导数不妨设，则，当时,；当时，;所以在上单调递减，在上单调递增所以当时,所以三角形面积的最小值为16．【点睛】本题考查轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的最值，合理应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，注意多总结二级结论作为解题的突破口,如（为坐标原点，为抛物线上的点）为定值，则过定点，反之亦然。22.已知函数，其中，为函数的导函数．(1）讨论的单调性；(2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析(2)【解析】分析】(1）求,令，求出,得出，对分类讨论求出，的解，即可得出结论；（2）分离参数转化为求,设，通过求导及构造函数，得且满足，进而得到时，取得最小值，即可求出结论。【详解】（1)令，则,所以