毕业设计（论文）：三角Bézie曲线过渡到三角B样条方法探讨

三角Bézier曲线过渡到三角B样条方法探讨

一、任务书预期目标2.1、T-B样条基函数的构造，验证端点性质；2.2、分段曲线的设计及其应用；2.3、将曲线设计推广到曲面设计；3.1、定义Bézier曲线，验证端点性质；3.2、验证曲线的拼接条件，给出证明。2/22二、毕业设计（论文）的意义1、选题意义：Bezier方法与B样条方法是计算机辅助几何设计(CAGD)中描述自由曲线曲而的主流方法，它们满足形状数学描述的诸多要求，如唯一性、几何不变性、几何直观等。由于其在船舶，汽车等工业的重要应用，所以研究相关曲线曲面的构造和设计，具有重要学术意义和工业价值。3/223、本论文的基本思路熟悉设计要求，查阅相关文献资料定义需要的基函数进行相关主要性质的验证根据新的基函数设计曲线验证新曲线函数的端点性质及曲线设计是否合理使用MATAB画图工具实现相关曲线曲面设计用mathtypMATLAB等数学工具完成并优化4/22三、毕业设计主要内容5/221、T-B样条基函数的构造2、分段曲线的设计3、曲面设计4、定义Bézier曲线5、验证并证明曲线的拼接条件1.T-B样条基函数的构造

Bezier基函数

B样条基：

6/22转化条件：根据以上条件可以算出样条基的系数，即可得到需要的样条基。

基函数图像：7/22转化后的B样条基：

参数

参数为0

参数为-0.5获取基函数的不同参数图像；利用基函数重新定义曲线，才能进行曲线设计。将基函数用分段函数表达为：对应不同参数图像为：对于三次多项B样条基函数，作为分段函数来看，实际计算比较方便，所以，B样条基使用分段函数可以表示成如下方式：设

为均匀节点向量，

，因为

，即所有节点区间长度都为h，8/22

2、分段曲线的定义

最终可以得到如下公式：

9/22定义控制顶点

，均匀的节点向量

，参数，定义曲线的其中一段：结合上面三式可以有

；其中，参数，

当参数时，

.这就表明当参数时，三次3次样条曲线在分线段连接点处C3连续，当参数

时，C5连续。3、曲面设计若要设计曲线，首先要知道参数

对曲线形状的影响：10/22可以看出，当控制定点固定时，样条曲线段的控制多边形的起点位置主要取决于基函数中参数的值，因此参数值越大，起点越接近点

，终点越接近，所以增加参数值的作用如上图所示

曲线设计效果 从上式还可以得到，如果样条曲线的控制顶点满足条件

，

，则，无论参数值取什么，都有，11/22因此，在需要时只需加两个控制点即可实现以下曲线：

开曲线效果

闭曲线效果 椭圆的表示

12/22若想用它表示成一个整圆，则需要重新定义控制顶点，当定义的控制顶点如下时：其中满足

，取参数为0，这时候等距节点的三次样条曲线

表示一个的是一个椭圆，当

时，椭圆将成为一个完整的整圆，如上。3、曲面设计13/22利用张量积的方法，可以将三次样条曲线由曲线推广到四边域的曲面，从而得到与三次样条曲线结构相同的定义曲面。局部参数表达式如下：

为三次T-B样条曲面片，性质同曲线，但是变异缩减性并不适用于曲面，下图分别给出了有相同控制网格和不同参数定义的三次样条曲面。曲面效果图14/22

图2.9参数为-0.5 图2.10参数为0

图2.11参数为1

4、定义Bézier曲线15/22为了验证曲线的拼接条件并给出证明，现定义如下基函数：其中

，且

为定义曲线和基函数的形状参数。给出如下关键端点性质：编写目标函数的M文件编写目标函数的M文件16/22性质1：可调类三次三角Bézier曲线以p0,p3为起点和终点:性质2：可调类Bézier曲线和控制多边形的首末两边相切,有：性纸3：将上式基函数分别求出一阶二阶导数，代入各参数即可求得。

5、验证并证明曲线的拼接条件编写约束条件的M文件17/22G0连续的验证:定理1：两条定义曲线:

的G0连续的充要条件是

有公共连接点，即

.为曲线

的G0连续的充要条件。G0连续的几何意义为：曲线

的终点和曲线

的起点重合。如下图:18/22G1连续条件:定理2：两曲线

的G1连续的充要条件是(1)(2)存在 ，使:式中当

在点

的某邻域内位于异侧时

，同侧时

。G1连续的几何意义为：3点共线，如下所示同侧和异侧时效果图19/22满足G1连续时，分为同侧和异侧两种情况，效果如下：

异侧连续同侧连续20/22曲线的G2拼接：定理3：两条曲线

的G2连续的充要条件是满足以下两式：上式中：

分别为点

的距离所以两曲线G2连续的充要条件是：除了G1连续外，两曲线还同时需要满足曲率矢量连续，即副法线向量曲率相同，下面只需借助工具计算即可。四、收获与不足21/22收获：

加深了对相关课程（计算机图形学，数学分析，数字图形处理，组合数学，近世代数...）的回顾与理解。

进一步熟悉了各种数学工具