福建省莆田市2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。TOC\o"1-5"\h\z（4分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）C.A.C.（4分）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病.“MV95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003机的非油性颗粒.其中，00000003用科学记数法表示为（ ）A.3X10-6 B.3X107 C.0.3X10-6D.0.3X107（4分）若多边形的边数由3增加到“（〃为大于3的整数）则其外角和的度数（ ）A.增加 B.减少 C.不变 D.不能确定（4分）下列计算正确的是（ ）A./田二/ B.（/）2=/C.（2ab）3=6岛3 d.3a24-4a2=—a2' 4（4分）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm,15tvn,20c/n和25cm四种规格，小朦同学已经取了IOctm和15crn两根木棍，那么第三根木棍不可能取A.lOtvn B.\5cm C.20cm D.25cm（4分）若孙=x-y,则分式（ ）xyA.-1- B.y-x C.-1 D.1xy（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒04,OB组成，两根棒在。点相连并可绕。转动，点C固定，点。，E可在槽中滑动，OC=CO=DE.若NBOE=81°,则NAOB的度数是（ ）（4分）下列关于全等三角形的说法中，不正确的是（A.面积及一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.面积相等的两个等腰直角三角形全等C.面积及底边对应相等的两个等腰三角形全等D.面积及腰对应相等的两个等腰三角形全等

（4分）在△ABC中，线段A。，AE,A尸分别是△ABC的高、中线、角平分线，以下两个结论：①若NB=NC,则点。，E,尸重合；②若NBWNC,则点尸总在点O,E之间，其中（ ）A.①A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②C.①②均是假命题D.①②均是真命题（4分）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式--阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形.利用它们之间的面积关系，可以得到：。仍|+。2历+。3为=（ ）bxA.a\(历-加)+(m+"2bxA.a\(历-加)+(m+"2)(h\-Z?2)+(〃1+。2+〃3)加B.a\(bi-b2)（。1+。2）（bi-历）+（。1+。2+。3）biC.a\(/?i-bz)（41+42）（历一加）+（。1+。2+。3）b3D.a\(历-b3)（m+〃2）（历-加）+（。1+。2+〃3）bi二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（4分）分解因式：x2-2x+l=.（4分）若分式y=_2_有意义，则x的取值范围是X+1（4分）点（1,-3）关于y轴的对称点坐标是.（4分）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中F,A,C,。四点在同一直线上，点B在AE上，则图中NABF的度数是.（4分）如图，在△ABC中，NAC8的平分线交48于点。，于点E.F为BC上一点，若 Smcd-S.cdf=6,则△4EQ的面积为.（4分）今年以来，由于受到大宗商品价格上涨的影响，某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品的价格进行调整，现有3种方案：①第一次提价m％,第二次降价〃％；②第一次提价〃％,第二次降价6％；③第一次提价第二次降价号其中〃?>〃>0.这三种方案中提价最多的是方案.（填上方案序号）三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.（8分）计算:49.8X50.2：Clx1y3-8x3y2z）+87夕.（8分）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”.该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌油纸伞”的制作工艺十分巧妙.如图，伞圈。沿着伞柄滑动时，总有伞骨CD,AB=AC,从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的NBAC.为什么？2（8分）先化简再求值：其中x」'x+2，x+2x2（8分）如图，于点A,射线B0LAB于点B,AB>AC.在4B上找一点P,在射线8。上找一点Q,使得△ACP与△BPQ全等，以下是甲、乙两位同学的作法.甲：作线段A8的垂直平分线交A8于点P,在射线8。上取点Q,使得尸0=PC,则尸,。两点即为所求；乙：在线段AB上截取BP=AC,连接CP,过点P作CP的垂线交射线BD于点Q,则P,。两点即为所求.（1）请在甲、乙两位同学的作法中任选一种，补全图形；（要求：尺规作图，不写作法,保留作图痕迹）（2）甲、乙两位同学的作法中，△ACP与△BPQ全等的判定依据分别是、.（填“SSS”，“SAS”，“ASA”或"HL”）B（8分）列方程解应用题回望建党百年，科技引领发展，科技的发展是实现中国梦的重要支撑.2021年9月，在第十三届中国国际航空航天博览会上，换装国产发动机的歼-20战机首次亮相，展示了中国空军飞速发展的战斗力，该机将担负中国空军未来对空、对海的主权维护任务.2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号尸遥十三运载火箭将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，并顺利与中国天宫空间站实现对接.天宫空间站的运行速度接近第一宇宙速度，第一宇宙速度比歼-20最大飞行速度快7.05千米/秒.如果天宫空间站以第一宇宙速度飞行632千米所用时间比歼-20以最大速度飞行85千米所用时间少20%,求歼-20最大飞行速度.（10分）“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷.例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的''回文等式”：21X24=42X12,31X26=62X13,12X84=48X21.（1）下列选项中能构成“回文等式”的是.（填上所有正确的序号）A.18X31与13X818.46X32与63X24C.46X96与69X64D.22X454与454X22E.31X286与682X13（2）请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明.（10分）在△ABC中，NBAC为钝角，AB=AC,点。在边AC上，点E在射线84上,且CE=BD.【方法探究】（1）如图1,若点E在边AB上，求证：AD=AE；

小红给出的证明思路：过点B作BM1CA的延长线于点M,过点C作CNLBA的延长线于点N, 请你按照小红的思路完成剩下的证明；【拓展延伸】(2)如图2,若N84c=120°,点E在84的延长线上，试探究线段AD,AE之间的数量关系，并说明理由.图I图2图I图2(12分)阅读下面材料，并解答相应的问题欧拉分式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家.以欧拉命名的常数、公式、定(n=0或1)(n=2)(n=3)(n=0或1)(n=2)(n=3)n ,n na bc_I1(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)a+b+c(1)请你对欧拉分式中，当〃=2时的情况进行证明；(2)请你利用欧拉分式解决下列问题：①计算：嘤-2。213拦联；②求(1+a)(1-a)(1+b)(1-b)(1+c)(1-c)的值

(a+b)(a-c)(b+a)(b+c)(c-a)(c+b)(14分)在等边△ABC中，点。，后分别在边AB,3C上运动.以OE为边向右作等边△DEF,设(1)如图1.求证：NCEF=NBDE；(2)如图1,连接CF,请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论,组成一个真命题，并加以证明：①无=2；②C尸平分NACB；③AO,BE,CF三条线段构成以A。为斜边的直角三角形.(3)如图2,Jk=A,连接AF,BF.当AF+8/取得最小值时，求改的值.2 AB图1 图2参考答案与试题解析一、选择题：本大题共1（）小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（4分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）故选：D.故选：D.（4分）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病.“MV95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003，"的非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ）A.3X106 B.3X10'7 C.0.3X10-6D.0.3X10〃故选：B.（4分）若多边形的边数由3增加到〃（〃为大于3的整数）则其外角和的度数（ ）A.增加 B.减少 C.不变 D.不能确定故选：C.（4分）下列计算正确的是（

A.〃2加3=〃5 B.(〃3)2=〃5c.(2aZ>)3=6aV D.3a24-^a2=^-a24故选：A.(4分)袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm,15c/n,2Oc/n和25cm四种规格，小朦同学已经取了和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取()A.iOcm B.15cm C.20cm D.25cm故选：(4分)若盯=x-y,则分式JL」=( )xyA.—=- B.y-x C.-1 D.1xy故选：C(4分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒0408组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D,E可在槽中滑动，OC=CD=DE.若N3OE=81°,则NAO8的度数是( )图①

图①24°27°30°33°24°27°30°33°故选：B.（4分）下列关于全等三角形的说法中，不正确的是（ ）A.面积及一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.面积相等的两个等腰直角三角形全等C.面积及底边对应相等的两个等腰三角形全等D.面积及腰对应相等的两个等腰三角形全等故选：D.（4分）在△ABC中，线段A。，AE,AF分别是△4BC的高、中线、角平分线，以下两个结论：①若NB=NC,则点O,E,尸重合；②若NBWNC,则点尸总在点。，E之间，其中（ ）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①②均是假命题 D.①②均是真命题（4分）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式--阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形.利用它们之间的面积关系，可以得到：aib\+a2b2+aib3=（ ）

a](82-63)+(m+a](82-63)+(m+〃2)a\(加-历)+(m+〃2)a\(加-历)+(。1+。2)a\(历-用)+(m+&2)(bl-历)+(。1+。2+。3)b3(bi-历)+(m+〃2+〃3)b2(/72-ta)+(m+a2+a3)b3(匕2-力3)+(〃|+〃2+〃3)bl选：c.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（4分）分解因式：x1-2x+l=（x-1）2.（4分）若分式y=，_有意义，则x的取值范围是x#-l.x+1（4分）点（1,-3）关于v轴的对称点坐标是（-1,-3） .（4分）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中F,A,C,D四点在同一直线上，点8在AE上，则图中NA8尸的度数是15° .ACDACD（4分）如图，在△ABC中，NACB的平分线交AB于点。，OEJ_AC于点E.F为BC上一点，若。尸=40,S&ACD-S&cdf=6,则△AEQ的面积为3（4分）今年以来，由于受到大宗商品价格上涨的影响，某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品的价格进行调整，现有3种方案：①第一次提价m％,第二次降价〃％:②第一次提价〃％,第二次降价m%；③第一次提价号•％,第二次降价号1%,其中机>〃>0.这三种方案中提价最多的是方案③.（填上方案序号）【解答】解：依题意得：(1+m%)(1+n%)=l+/n%+n%+m%*n%=l+(m+n)%+/»%•„%；(1+ji+n.%)2=]+(山+〃)％+(m+n2；所以只要比较s％•〃％与（皇％）2的大小即可,•.•（空R%）2-机％.〃％=（」％）2+（［%）2+四％》0,2 2 2 2/.（号“）22而％.〃％,即（1+更至％）2>（1+W%） （1+n%）,2因此，③种方案提价最多.故答案为：③.三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.(8分)计算:

49.8X50.2；(7^3-8x3/z)+8吠.【解答】解：(1)49.8X50.2=(50-0.2)X(50+0.2)=2500-0.04=2499.96；(2)原式=Zy-xz.8-（8分）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”.该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌.“油纸伞”的制作工艺十分巧妙.如图，伞圈。沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD=C£>,AB=AC,从而使得伞柄A尸始终平分同一平面内两条伞骨所成的N8AC.为什么？【解答】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的/BAC,理由：在△A8O和中，AB=AC•AD=AD-BD=CDA (SSS),：.ZBAD=ZCADf即AP平分NB4C2(8分)先化简再求值：(1.一其中'x+2， x+2x2【解答】解：原式=(三2-工)_再x+2x+2 (x+1)(x-1)x+2-1, x+2x+2 (x+1)(x-1)_1- ,x-1当x=2时，2原式=彳」=-2.2'1(8分)如图，AC_LAB于点A,射线BO_L4B于点B,AB>AC.在4B上找一点P,在射线8。上找一点。，使得△ACP与ABP。全等，以下是甲、乙两位同学的作法.甲：作线段A8的垂直平分线交48于点P,在射线8。上取点Q,使得尸0=PC,则尸,。两点即为所求；乙：在线段AB上截取BP=AC,连接CP,过点P作CP的垂线交射线BD于点Q,则P,。两点即为所求.(1)请在甲、乙两位同学的作法中任选一种，补全图形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)甲、乙两位同学的作法中，△ACP与ABP。全等的判定依据分别是HL.ASA或AAS.(填“SSS”，“SAS”，“4S4”或"HL”)D【解答】解：（1）图1.图2即为所求:D（2）甲的全等的理由是43乙全等的理由是：AS4或A4S.故答案为：HL,ASA或A4S.（8分）列方程解应用题回望建党百年，科技引领发展，科技的发展是实现中国梦的重要支撑.2021年9月，在第十三届中国国际航空航天博览会上，换装国产发动机的歼-20战机首次亮相，展示了中国空军飞速发展的战斗力，该机将担负中国空军未来对空、对海的主权维护任务.2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号厂遥十三运载火箭将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，并顺利与中国天宫空间站实现对接.天宫空间站的运行速度接近第一宇宙速度，第一宇宙速度比歼-20最大飞行速度快7.05千米/秒.如果天宫空间站以第一宇宙速度飞行632千米所用时间比歼-20以最大速度飞行85千米所用时间少20%,求歼-20最大飞行速度.【解答】解：设歼-20最大飞行速度为x千米/秒，则第一宇宙速度为（x+7.05）千米/秒，由题意得：632^85x（1-20%）,x+7.05x解得：x=0.85,经检验，x=0.85是原方程的解，且符合题意，答：歼-20最大飞行速度为0.85千米/秒.（10分）“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷.例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：21X24=42X12,31X26=62X13,12X84=48X21.（1）下列选项中能构成“回文等式”的是CDE.（填上所有正确的序号）A.18X31与13X818.46X32与63X24C.46X96与69X64D.22X454与454X22E.31X286与682X13（2）请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明.【解答】解：（1）A选项，18X31=558,13X81=1053,558W1053,故该选项不符合题意；8选项，46X32和63X24不是回文等式，故该选项不符合题意;C选项，46X96=4416,69X64=4416,故该选项符合题意；。选项，22X454=454X22,故该选项符合题意；E选项，31X286=8866,682X13=8866,故该选项符合题意；故答案为：CDE；(2)回文等式左右两边的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，理由如下：设回文等式左边的两个两位数为\Oa+h,lOc+J,其中a,b,c,d为小于10的正整数，依题意得：(10a+ft)(10c+J)=(10J+c)(\Ob+a),100ac+1Oad+1Obc+bd=100bd+1Oad+lObc+ac,：.99ac=99bd,ac=hd.(10分)在△ABC中，NBAC为钝角，A8=4C,点。在边AC上，点E在射线BA上,且CE=BD.【方法探究】(1)如图1,若点£在边AB上，求证：AD=AE；小红给出的证明思路：过点B作BMA.CA的延长线于点M,过点C作CNLBA的延长线于点N,……请你按照小红的思路完成剩下的证明；【拓展延伸】(2)如图2,若/BAC=120°,点E在BA的延长线上，试探究线段AB,AD,AE之间的数量关系，并说明理由.点、N•；/M=/N=90°,NCAN=/BAM,CA=BA,:./\CANqMAM(A45),:.CN=BM,AN^AM,,:NM=NN=90°,CE=BD,CN=BM,：.RtARtABMD(HL),:.EN=DM,：AM=AM：.AD=AE.(2)解：AE-AD=43AC,理由如下：如图，在A8上取一点E',使得8D=CE',则AD=4E'.过点C作CT_LAE于T.图2'：CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE'"：CT±EE',：.ET=TE',"：AT=AC*cos(180°-120°)=2：.AE-AD=AE-AE'=2A7=V^4C.(12分)阅读下面材料，并解答相应的问题欧拉分式(n=0或1)(n=2)

(n=3)欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家(n=0或1)(n=2)

(n=3)(0n 1n na 斗b +c _J](a-b)(a~c)(b~c)(b~a)(c-a)(c-b)\a+b+(1)请你对欧拉分式中，当n=2时的情况进行证明；(2)请你利用欧拉分式解决下列问题：①计算：20221-20213+^°3；②求(1+a)(1-a)Jl+b)(1-b)4(1+(:)(1-c)的值

(a+b)(a-c)(b+a)(b+c)(c-a)(c+b)【解答】(1)证明：当〃=2时，2 ,2 2a 斗b .c (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)= a2(b-c) b'Q-c). c2(a-b)(a-b)(b-c)(a-c)(b-c)(a-b)(a-c)(a-c)(b-c)(a-b)2, 2 .2,,2 2,2=ab-ac-ab+bc+ac-be(a-b)(b-c)(a-c)2, 2 ,2,,2. 2,2=ab-ac-ab+bc+ac-be2, 2 ,2,,2,~2,2ab-ac-ab+bc+ac-be=1；(2)解：①当”=3时，令a=2022,6=2021,c=2020,原式=2022+2021+2020=6063；②原式=—上2一+]®2)+__上T_(a+b)(a-c)(-b-a)(-b-c)(c-a)(c+b)= 1上 1上1 .a?. (-b/(a+b)(a-c)(-b-a)(-b-c)(c-a)(c+b) (a+b)(a-c) (-b-a)(-b-c)2c (c-a)(c+b)=0-1=-1.25.（14分）在等边△A