高二数学必修五导学案：课程整合《数列求和》（第2课时）

第二章数列

课程整合1数列求和18

**学习目标**

1.掌握数列求和的方法；

2.能根据和式的特征选用相应的方法求和.

**要点精讲**

1.公式法：等差、等比数列求和公式；

/1

公式：2-=仔+22+32+・・・+〃2=++

M6

L

n1

Z公=「+23+…+〃3=_〃(〃+1)等.

k=\_2_

2.错位相减法：若｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列，则求数列｛4/“｝的前〃项和S,,

常用错位相减法。

3.裂.项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，

只剩有限项。

4,分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。

5.并项求和法：特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式

6.倒序相加法：类似于等差数列前〃项和公式的推导方法.

**范例分析**

例1.求和：S“=l+(l+g)+(l+q+q2)+…+(1+[+夕2+…+/).

]_________

例2.(1)已知数列｛q｝满足a.求s,,0

VMVM+1(VM+1+Vn)

(2)已知数列｛4｝的通项公式a“=/—，求S,,。

〃+2〃

4〃2

(3)己知数列｛%｝的通项公式an=--------------,求S”。

(2/7-1)(2M+1)

(4)求和：5=1+---H--------+•••+--------------

1+21+2+31+2+3+…+〃

例3.(L)求和：Sn=1X2+2X3+3X4+---+M(M+1)

(2)求和：S,=—1+3—5+7—9+…+(—1)"(2〃—1)

(3)已知函数对一切xeH,/(x)+/(l-x)=l»

12n—277—1

求和：S=/(0)+/(-)+/(-)+-••+/(-)+/(-)+/(1)«

nnnn

例4.在等差数列｛为｝中，首项4=1,数列｛a｝满足〃=(3"''，且6回4=」-。

264

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求证：+a2b2+…+。也<2。

**规律总结**

1.在例1中，把和式看成是某个数列｛6,｝的前〃项和S,,,把每一项按通项形式分开，然

后分组求和。

2.常用结论：,————j=-/,lg(lH—)—lg(M+1)—1grt,

+l7n+ln

11111/1、

---------=-----------，.-----------=-(------------)，

+nn+1〃(〃+2)2n及+2

1111111l、

----------7~~—(z-------------------(z-------)x(/p<q)，

%(/+")danan+dpqq-ppq

-------------=一(---------------------)O

/2(»+1)(»+2)2M(M+1)("+1)(”+2)

2.用错位相减法求和时最好列出前3项和末3项；

3.对和式中通项作结构分析，确定选用哪个方法.

**基础训练**

一、选择题

1.已知数列也｝的前n项和S,=1-5+9-13+17-21+…+(-1广(4”一3),

则$+S22-S3I等于()

A.13B.-76c.46D.76

2.数列1x4,2x5,3x6,—,〃(〃+3),…则它的前〃项和=()

A.；〃(〃+1)(〃+2)B.；〃(〃+1)(〃+3)

C.g〃(〃+l)(〃+4)D・g"(〃+l)(〃+5)

3.和式l+(l+2)+(l+2+22)+…+(l+2+22+...+2"T)=0

A.2,,+'-M-2B.2H+1-M-1C.2),-M-2D.T-n-\

4X1299100

4.已知/(x)=^—,贝iJ/X-i-l+ZX三)+…+/(工)+/(以)=()

4x+2101101101101

A.100B.51.C.50.5D.50

5.和式lx—F4x—F7x—+(3/2—2)x—=()

2482〃

.3〃+4)〃+4.3w+4...[

A.4---------B.3--------C.4----------D.2〃一九一1

2"2"2"

二、填空题

11

6.求和:--------1-----------J-…H-----------------------------

1x44x7(3〃-2)x(3〃+l)

7.设S“=—『+2?-32+42+--(2〃-1)2+(2〃)2,则S“=

8.已知a“=f+2?+3?+…+〃2,2=*+1贝+8+4+…+〃=____。

a”

三、解答题

9.已知点列£(%,“,)在直线/:歹=2x+l上，片为直线/与y轴的交点，等差数列｛%｝

的公差为1(〃wN*)

(I)球｛4｝、也J的通项公式：

(2)设6=;^[(〃22)，求G+G+…+c,i+G。

10.已知函数/(X)满足对于任意的实数XJ,都有/(x+y)=/(x)/G),且/(1)=；。

(1)求/(2),/(3)的值；

(2)求证数列｛/(〃)｝为等比数列：

(3)设a〃=(〃+1)・/(〃)，〃EN",求证：6+生+…+%<3.

**能力提高**

q+s*+…+s

11.有限数列〃=｛%,%「••,%｝,S,,为其前〃项和，定义乌一^----乙为/的，，凯森

n

和“；如有99项的数列｛6,/，…，纵｝的“凯森和”为1000，则有100项的数列

｛1吗,。2,…的“凯森和'’为（）

A.1001B.999C.991D.990

2"-1（〃为奇数）

12.（1）已知数列｛为｝的通项公式4=4,求数列｛4｝