反比例函数综合题

反比例函数综合题

(1)本题给出了一次函数$y=-\frac{1}{3}x+1$的图像与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图像的交点和一些条件，要求求出这两个函数的解析式。根据题意，可以求出一次函数图像与坐标轴的交点$A(3,0)$和$B(0,1)$，进而求出反比例函数图像与一次函数图像的交点$P(3,2)$。因为点$C$在反比例函数图像上，且$ABC$是等边三角形，所以$C$的坐标为$(3,2)$，反比例函数的解析式为$y=\frac{1}{x}$。(2)本题给出了一次函数$y=kx+3$的图像与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图像的交点$P$，以及点$A$和$\triangleCAP$的面积，要求求出这两个函数的解析式和一次函数图像上满足一定条件的点$Q$的坐标。根据题意，可以求出一次函数图像与坐标轴的交点$B(0,3)$和$C(3,0)$，进而求出反比例函数图像与一次函数图像的交点$P(4,-\frac{1}{4})$。因为$PA\perpy$轴，所以点$A(0,-6)$，进而求出$AP=4$。根据$\triangleCAP$的面积可以求出$AC=9$。因为点$P$在一次函数图像上，所以$-\frac{1}{4}=4k+3$，解得$k=-\frac{7}{16}$，一次函数的解析式为$y=-\frac{7}{16}x+3$。设点$Q(x,kx+3)$，则根据$\triangleOCB$和$\triangleOCQ$的面积比可以列出方程$\frac{1}{2}\cdot3\cdotx=2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot(kx+3)$，解得$x=12$，进而求出$Q$的坐标为$(12,\frac{33}{4})$。的图象上，所以1=-2k+b，解得b=3-2k。又因为点B(1,n)在一次函数y=kx+b的图象上，所以n=k+b，代入上式得n=3-k。综上所述，一次函数的解析式为y=kx+3-2k，反比例函数的解析式为y=x/。(2)将不等式化简得(k-1)x+b<0，当k-1>0时，不等式两边同乘以负数，不等号方向翻转，得x>(-b)/(k-1)；当k-1<0时，不等式两边同乘以正数，不等号方向不变，得x<(-b)/(k-1)。综上所述，当k≠1时，满足不等式的解集为x<(-b)/(k-1)或x>(-b)/(k-1)；当k=1时，满足不等式的解集为x≠-b。(3)当y=x(x<0)与正方形EFDG的边有交点时，交点记为P，且P在反比例函数y=x的图象上。设P的坐标为(-a,a')，则有a-a'=-1，且P到原点的距离为1。因为正方形EFDG的边长为1，所以P到正方形EFDG的距离也为1。因此，P到正方形EFDG四条边的距离都为1。由此可得，a'的取值范围为-2≤a'≤0。又因为a-a'=-1，所以a的取值范围为-1≤a≤1。正方形ABCD的边长为2，∠B＝90°，点B在点C的正下方，∴C(a，2a－1)，1－2m∵点C(a，2a－1)在双曲线y＝x(x<0)上，1－2m∴2a－1＝，解得m＝a2a－1，∴双曲线的解析式为y＝x(x<0)．又∵AB∥x轴，∴A(－2－a，1)，当双曲线经过点A时，有1＝－(－2－a)，2解得a＝0或a＝－4，舍去a＝0的情况，∴a＝－4；②设交点为点F，由题意可知，点F在双曲线y＝x(x<0)上且在线段AE上，∴2a－1＝－a，解得a＝13或a＜0，又因为直线y＝2x＋2与线段AB有交点，∴2a＋1＞2，解得a＞\frac{1}{2}，综上所述，a的取值范围为\frac{1}{2}<a<0.(1)将直线y=2x+4代入反比例函数y=k/x中，得k=-6，∴反比例函数为y=-6/x，将A(-3,a)代入反比例函数中，得a=2，∴A(-3,2)，B未知；(2)将直线y=m代入反比例函数y=-6/x中，得x=-6/m，将x=-6/m代入直线y=2x+4中，得y=-12/m+4，设点M(x,-12/m+4)，则M在直线AB上，即M的坐标满足y=-6/x，∴-12/m+4=-6/x，解得x=3/m，又因为M在反比例函数y=-6/x上，所以-12/m+4=-6/(3/m)，解得m=6/5，∴直线y=6/5与直线AB相交于点M(3/2,8/5)，与反比例函数y=-6/x的图象相交于点N(3/2,-4/5)，且MN=4，∴4=8/5-(-4/5)=12/5，解得m=15/2.解：（1）由直线y=2x+2与反比例函数y=x的图象相交于点M(1,4)，可得k=x*y=4。因此，反比例函数的表达式为y=4/x。（2）要使四边形PAHM为平行四边形，需要满足PA=MH=4，即点P在直线y=2x+6上。因此，点P的坐标为(0,6)。（3）设点Q(x,0)，则QN的长度为|1-4/x|，QM的长度为√[(x-1)²+16]。要使QM+QN最小，需要使|1-4/x|+√[(x-1)²+16]最小。由于√[(x-1)²+16]≥4，因此|1-4/x|+√[(x-1)²+16]≥|1-4/x|+4。当|1-4/x|取到最小值0时，即1-4/x=0，解得x=4。因此，点Q的坐标为(4,0)。如图所示，一次函数$y=kx+b$的图像和反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图像交于点$P(n,2)$，与$x$轴交于点$A(-4,0)$，与$y$轴交于点$C$，$PB\perpx$轴于点$B$，点$A$与点$B$关于$y$轴对称。(1)求一次函数、反比例函数的解析式。因为点$A$和点$B$关于$y$轴对称，所以$OA=OB$，又因为$A(-4,0)$，所以$B(4,0)$。因为$PB\perpx$轴于点$B$，所以$P(4,2)$。将$P(4,2)$代入反比例函数的解析式$y=\frac{1}{x}$中可得$k=8$。将$A$和$P$的坐标分别代入一次函数的解析式$y=kx+b$中可得$k=4$，$b=1$。因此，一次函数的解析式为$y=4x+1$，反比例函数的解析式为$y=\frac{1}{x}$。(2)求证：点$C$为线段$AP$的中点。因为点$A$和点$B$关于$y$轴对称，所以$OA=OB$。又因为$PB\perpx$轴于点$B$，所以$\anglePBA=\angleCOA=90^\circ$。因此，$PB\parallelCO$，$AC=PC$，即点$C$为线段$AP$的中点。(3)在反比例函数图像上是否存在点$D$，使四边形$BCPD$为菱形？如果存在，求出点$D$的坐标；如果不存在，请说明理由。存在点$D$，使四边形$BCPD$为菱形。因为点$C$为线段$AP$的中点，所以$BC=\frac{1}{2}AP=PC$，即$BC$和$PC$是菱形的两条边。过点$C$作$CD\parallelx$轴，交$PB$于点$E$，交反比例函数图像于点$D$，分别连接$PD$和$BD$。因为$PB\perpCD$，所以$PE=BE=1$，$CE=DE=4$。因此，$PB$与$CD$互相垂直平分，即四边形$BCPD$为菱形。因此，存在满足条件的点$D$，其坐标为$(8,1)$。为平行四边形，故S△AOC＝S△BOC，设点P(x，0)，则S△AOP＝12S△AOB即3x＝12×3×OC×AB＝32∴x＝12，∴点P的坐标为(12，0)；(3)将△BOA绕点B逆时针旋转60°得到△BDE，如图所示：第11题图备用图设点E(x，y)，则∠BDE＝∠BOA＋60°＝120°，∴cos120°＝－12＝BDBE，∴BD＝－12BE，又∵AB⊥x轴，∴BC＝AC＝1，∴BE＝BC＋CE＝1＋y，∴BD＝－12(1＋y)，∴－12(1＋y)＝－12，∴y＝－3，∴点E的坐标为(12，－3)，不在该反比例函数的图象上．(1)证明：根据坐标计算可得OA=4，OB=3，OC=2，所以AB=5，BC=2，AC=√(4²+2²)=2√5，由勾股定理可得AB²+BC²=AC²，因此四边形ABCD是菱形。(2)解：由于AD=BC，所以D点的横坐标为2+5=7，纵坐标为4，因此D的坐标为(7,4)。又因为反比例函数y=x/k的图像经过点D，所以4=7/k，解得k=7/4，因此反比例函数的解析式