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文档简介

矩阵的行列式计算矩阵的行列式是矩阵的一种特殊性质，在线性代数的学习中有着重要的作用。矩阵的行列式可以用来判断矩阵的可逆性、求解方程组的解以及计算矩阵的逆等问题。本文将介绍矩阵的行列式计算相关的内容。

1.定义

矩阵的行列式是一个数值，它是一个方阵中各行各列元素的代数和。对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其定义是：

当n=1时，det(A)=a11。

当n>1时，det(A)=Σ(-1)i+jaijdet(Aij)，其中aij是矩阵A的元素，Aij是A删去第i行和第j列所得到的n-1阶子矩阵。

2.行列式的性质

行列式有以下基本性质：

①det(kA)=kndet(A)（k为常数，A为n阶方阵）

②det(AB)=det(A)det(B)（A,B均为n阶方阵）

③若A是可逆方阵，则det(A)≠0

④若A的某一行或某一列的所有元素都为0，则det(A)=0

⑤若A的两行或两列成比例，则det(A)=0

⑥A与A'（A'为A的伴随矩阵，下文会详细介绍）的乘积等于A的行列式det(A)的单位矩阵E：det(A)A'=A'A=det(A)E

3.行列式的计算方法

3.1拉普拉斯展开法

该方法是用行列式计算一个n阶方阵A时最常用的方法。具体步骤如下：

以第一行为例，代数余子式Mij=Aij即A的第i行第j列元素的代数余子式

示例：计算3阶方阵A=（123；456；789）的行列式

3.2三角形法

该方法是通过消元得到上三角矩阵或下三角矩阵，从而得到矩阵的行列式。其步骤如下：

以上三角矩阵为例，其行列式等于其中对角线上的元素相乘：

示例：计算3阶方阵A=（123；456；789）的行列式

3.3逆序数法

该方法需要先通过比较元素的大小获得矩阵中逆序对的个数，再将其代入公式中计算矩阵的行列式。其步骤如下：

（1）将矩阵写成一个一维数组

（2）从左到右扫描数组，比较每对元素的大小，若前者大于后者，则将逆序对的个数加一，否则不加

（3）根据逆序对奇偶性计算矩阵的行列式，奇数个逆序对则行列式为逆数，偶数个逆序对则行列式为正数

示例：计算3阶方阵A=（123；456；789）的行列式

4.伴随矩阵

伴随矩阵是通过代数余子式构造得到的矩阵，它在线性代数中有着重要的作用。伴随矩阵A'的使用可以实现矩阵的求逆和计算行列式等功能。伴随矩阵的定义为：

其中Aij'为代数余子式。

因为A'中的元素均为代数余子式，因此A'的第i行第j列元素是A的第j列第i行

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