复变函数的积分

复变函数的积分第1页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则称C为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.§1复变函数积分的概念2第2页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三2.积分的定义:(D3第3页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三关于定义的说明:4第4页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三二、积分存在的条件及其计算法1.存在条件：若f(z)为连续函数且C是光滑曲线，则积分一定存在。（证明略）2.积分计算：5第5页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三计算方法1的推导：计算方法2的推导：6第6页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三连续曲线

两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲线的数学表达

过定点，倾斜角为

的直线参数方程为：

7第7页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三其参数方程为复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：以(a,b)为圆心，半径为r的圆：8第8页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1直线段C3:的方程为解：计算其中积分路径C分别为如下两种：直线段，和折线段写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：9第9页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1续直线段方程为这两个积分都与路线C无关（格林定理）10第10页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三y=x例211第11页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3解积分路径的参数方程为12第12页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例4解积分路径的参数方程为13第13页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.14第14页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例5解(1)积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为15第15页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为16第16页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式17第17页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三性质(4)的证明两端取极限得[证毕]18第18页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例6解根据估值不等式知19第19页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三§2柯西－古萨基本定理f(z)不满足C-R方程,在复平面内处处不解析.此时积分与路线有关.由以上讨论可知,积分是否与路线无关,或沿闭曲线的积分值为0的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：例1此时积分与路线无关.

例2

例4f(z)在以z0为中心的圆周内不是处处解析的，此时虽然在除z0外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域20第20页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三积分

定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分积分域

区间平面区域空间区域曲线曲面曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：21第21页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三二重积分22第22页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三第一型曲线积分如果L是闭曲线,则记为设L

是空间可求长曲线段,f(x,y)为定义在L上的函数，则可定义f(x,y)在空间曲线L

上的第一型曲线积分，并记作23第23页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三第二型曲线积分

变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用沿曲线

L

从点A

移动到点B

，则力F(x,y)所作的功由如下曲线积分给出：或也记为或简记为P、Q是连续函数24第24页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三格林(Green)公式定理(格林公式)若函数在闭区域D上具有连续一阶偏导数，则有：其中L

为区域D

的边界曲线，并取正方向.25第25页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三曲线积分与路线的无关性定理在D内具有一阶连续偏导数,(iii)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线

L,曲线积分(i)在D内处处成立与路径无关,只与L

的起点及终点有关.

设D是单连通域，函数则以下三个条件等价:26第26页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三根据格林公式：27第27页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三柯西－古萨基本定理（柯西积分定理）定理中的C可以不是简单曲线.28第28页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,

(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.例根据柯西－古萨定理,有29第29页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三§3复合闭路定理30第30页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三︵︵设函数f(z)在多连通域D内解析31第31页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三︵︵︵︵︵︵︵︵32第32页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三得解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.︵︵︵︵33第33页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1闭路变形原理：34第34页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三35第35页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三复合闭路定理36第36页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例2解依题意知,37第37页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三根据复合闭路定理,38第38页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,39第39页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例4解由复合闭路定理有

此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.40第40页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例5解由上例可知41第41页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三定理一由定理一可知:

解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)§4原函数与不定积分42第42页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三43第43页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三定理二

此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.其证明也完全类似。44第44页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三原函数:原函数之间的关系:证[证毕]推论：45第45页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)说明:

有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.46第46页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,47第47页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)48第48页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3解此方法使用了微积分中“分部积分法”49第49页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例4解50第50页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,§5柯西积分公式51第51页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三二、柯西积分公式定理-----

柯西积分公式或者：52第52页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证明：（不作要求，仅供参考）53第53页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三上不等式表明,只要足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]54第54页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.55第55页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1解由柯西积分公式可得56第56页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例2解57第57页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3解由柯西积分公式58第58页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三定理§6高阶导数高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.59第59页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1解60第60页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例2解61第61页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三根据复合闭路定理62第62页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3解63第63页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例4解64第64页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三一、调和函数的定义§7解析函数与调和函数的关系65第65页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理：任何在区域

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D

内的调和函数.证：根据高阶导数定理,[证毕]66第66页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三2.共轭调和函数的定义

区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.67第67页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三3.偏积分法

如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.解例1故u(x,