复合材料力学

复合材料力学第1页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三一复合材料的基本概念1复合材料定义复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料。从应用性质分为功能复合材料和结构复合材料。

2复合材料的基本构造形式（1）单层复合材料(又称单层板)纤维方向称为纵向，用“1”表示垂直于纤维方向称为横向，用“2”表示单层材料厚度方向用“3”表示1，2，3轴称为材料主轴单层材料一般是各向异性的。

第2页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三单层板中纤维起增强和主要承载作用，基体起支撑纤维、保护纤维，并在纤维间起分配和传递载荷作用，通常把单层材料的应力一应变关系看作是线弹性的。

第3页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（2）叠层复合材料(又称层合板)

层合板由多层单层板构成，各层单层板的纤维方向一般不同。每层的纤维方向与叠层材料总坐标轴x-y方向不一定相同，我们用θ角(1轴与x轴夹角，由x轴逆时针方向到1轴的夹角为正)表示，如图2所示。如四层单层材料组成的层合板：第4页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三

其他层合板铺层表不举例如下：,可表示为，这里s表示对称，“±”号表示两层正负角交错。还可表示为，s表示铺层上下对称。第5页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三3复合材料的力学分析方法（1）细观力学它以纤维和基体作为基本单元，把纤维和基体分别看成是各向同性的均匀材料(有的纤维属横观各向同性材料)，根据材料纤维的几何形状和布置形式、纤维和基体的力学性能、纤维和基体之间的相互作用(有时应考虑纤维和基体之间界面的作用)等条件来分析复合材料的宏观物理力学性能。第6页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（2）宏观力学它把单层复合材料看成均匀的各向异性材料，不考虑纤维和基体的具体区别，用其平均力学性能表示单层材料的刚度、强度特性，可以较容易地分析单层和叠层材料的各种力学性质，所得结果较符合实际。宏观力学的基础是预知单层材料的宏观力学性能，如弹性常数、强度等，这些数据来自实验测定或细观力学分析。由于实验测定方法较简便可靠，工程应用往往采用它。第7页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（3）复合材料结构力学它借助现有均匀各向同性材料结构力学的分析方法，对各种形状的结构元件如板、壳等进行力学分析，其中有层合板和壳结构的弯曲、屈曲与振动问题以及疲劳、断裂、损伤、开孔强度等问题。

第8页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三4复合材料的优点和缺点复合材料的优点(1)比强度高。(2)比模量高。(3)材料具有可设计性。(4)制造工艺简单，成本较低。(5)某些复合材料热稳定好。(6)高温性能好。此外，各种复合材料还具有各种不同的优良性能，例如抗疲劳性、抗冲击性、透电磁波性、减振阻尼性和耐腐蚀性等。复合材料的缺点(1)材料各向异性严重。(2)材料性能分散度较大，质量控制和检测比较困难。(3)材料成本较高。(4)有些复合材料韧性较差，机械连接较困难。以上缺点除各向异性是固有的外，有些可以设法改进，提高性能，降低成本。总之，复合材料的优点远多于缺点，因此具有广泛的使用领域和巨大的发展前景。

第9页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三二、各向异性弹性力学基础1应力-应变关系各向异性弹性体的物理方程—应力-应变关系

(2.1)式中，称为刚度系数。

第10页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三现采用1，2，3轴代替x，y，z轴，并把应力应变分量符号用简写符号表示应力应变其中，表示工程剪应变，表示张量剪应变，这样（2.1）变为

第11页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三

(2.2)总起来可写成

或

第12页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三矩阵表达形式：(2.1)定义

第13页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三并注意，即刚度系数矩阵C有对称性，只有21个刚度系数是独立的，C可表示成第14页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三同样，用应力分量来表示应变分量，应力-应变关系为，用矩阵表示

(2.2)其中，为柔度系数，S为柔度矩阵。是刚度矩阵的逆阵，也是对称矩阵，可表示为

满足（2.1）和（2.2）的应力-应变关系的材料为各向异性材料，应变势能密度表达式为第15页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三2具有一个弹性对称平面的材料如果材料有一个性能对称面（z=0，xoy面），刚度系数只剩下13个，刚度系数矩阵C为

第16页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三3正交各向异性材料如果材料有三个正交的材料性能对称平面，称为正交各向异性材料。刚度系数只剩下9个，刚度系数矩阵C为若坐标方向为弹性主方向时，正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变，两者不耦合。第17页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三4横观各向同性材料若经过材料一轴线，在垂直该轴线的平面内，各点的弹性性能在各方向上都相同，则此材料称为横观各向同性材料，此平面是各向同性面。刚度系数只剩下5个，刚度系数矩阵C为第18页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三5各向同性材料各向同性材料中每一点在任意方向上的弹性特性都相同，独立的刚度系数只剩下2个，刚度系数矩阵C为第19页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三6正交各向异性材料工程弹性常数除了前面表示材料弹性特性的刚度系数和柔度系数外，工程上常采用工程弹性常数来表示材料弹性特性。这些工程弹性常数是广义的弹性模量，泊松比和剪切模量，这些常数可以用简单的拉伸及纯剪实验来测定。通常实验是在已知载荷下测量试件的位移或应变，这样可直接确定柔度矩阵（）。对于正交各向异性材料，用工程弹性常数表示的柔度矩阵为

=第20页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三其中，

―分别为材料在1，2，3方向上的弹性模量，其定义为只有一个主方向上有正应力作用时，正应力与该方向线应变的比值： ―为单独在j方向作用正应力，而无其它应力分量时，i方向应变与j方向应变之比的负值，称为泊松比，即

―分别为2-3，3-1，1-2平面内的剪切模量。对于正交各向异性材料，只有9个独立的弹性常数，工程弹性常数间有以下三个关系

，但该式常用来检验实验结果的可靠性或材料是否正交各向异性。

第21页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三四单层复合材料的宏观力学分析1平面应力下单层复合材料的应力一应变关系可近似认为，，这就定义了平面应力状态，对正交各向异性材料，平面应力状态下应力应变关系为

其中， (3.1)第22页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三将式(3.1)写成用应变表示应力的关系式：

其中是二维刚度系数矩阵,由二维柔度矩阵S求逆得出，，这里用而不用作为刚度系数矩阵，是因为在平面应力下两者实际有差别，即，一般有所减少，因此也称为折减刚度矩阵。

第23页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三2单层材料任意方向的应力一应变关系（1）应力转轴公式用主方向坐标中应力分量表示x-y坐标中应力分量的转换方程为

图3-1所示为两种坐标之间的关系，θ表示从x轴转向1轴的角度，以逆时针转为正。

(3.2)第24页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三将（3.2）写成

用x-y坐标中应力分量来表示主方向坐标中应力分量如下：

T称为坐标转换矩阵，T-1是此矩阵的逆阵，它们的展开式分别为

(3.3)第25页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（2）应变转轴公式平面应力状态下单层板在x-y坐标中应变分量与主方向应变分量间关系为

反过来有第26页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（3）任意方向上的应力一应变关系在正交各向异性材料巾，平面应力状态主方向有下列应力应变关系式现应用式(3.3)和式(3.4)可得出偏轴向应力-应变关系：现用表示，则在x-y坐标中应力应变关系可表示为

(3.4)第27页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三其中，矩阵表示代表主方向的二维刚度矩阵Q的转换矩阵，它有9个系数，一般都不为零，并有对称性，有6个不同系数。它与Q大不相同，但是由于是正交各向异性单层材料，仍只有4个独立的材料弹性常数。在x-y坐标中即使正交各向异性单层材料显示出一般各向异性性质，剪应变和正应力之间以及剪应力和线应变之间存在耦合影响，但是它在材料主方向上具有正交各向异性特性，故称为广义正交各向异性单层材料，以与一般各向异性材料区别。

第28页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三现再用应力表示应变，在材料主方向单层材料有下列关系式：

转换到x-y坐标方向有

其中，第29页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三3正交各向异性单层材料的强度概念单向纤维增强复合材料是正交各向异性材料。当外载荷沿材料主方向作用时称为主方向载荷，其对应的应力称为主方向应力。如果载荷作用方向与材料主方向不一致，则可通过坐标变换，将载荷作用方向的应力转换为材料主方向的应力。与各向同性材料相比，正交各向异性材料的强度在概念上有下列特点。(1)对于各向同性材料，各强度理论中所指的最大应力和线应变是材料的主应力和主应变；但对于各向异性材料，由于最大作用应力并不一定对应材料的危险状态，所以与材料方向无关的最大值主应力已无意义，而材料主方向的应力是重要的，由于各主方向强度不同，因此最大作用应力不一定是控制设计的应力。

第30页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三(2)若材料在拉伸和压缩时具有相同的强度，则正交各向异性单层材料的基本强度有三个：

X—轴向或纵向强度(沿材料主方向1)；

Y—横向强度(沿材料主方向2)；

S—剪切强度(沿1—2平面，见图3-1)。在确定单层材料强度时可不考虑主应力。如果材料的拉伸和压缩性能不相同(对于大多数纤维增强复合材料)，则基本强度有五个：

Xt—纵向拉伸强度；

Xc—纵向压缩强度；

Yt—横向拉伸强度；

Yc—横向压缩强度；S—剪切强度。它们分别由材料单向受力实验测定。图3-1单层复合材料的基本强度第31页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三(3)正交各向异性材料在材料主方向上的拉伸和压缩强度一般是不同的，但在主方向上的剪切强度(不管剪应力是正还是负)都具有相同的最大值。图3-3表明，在材料主方向上的正剪应力和负剪应力的应力场是没有区别的，两者彼此镜面对称。但是在非材料主方向上剪应力最大值依赖于剪应力的方向(正负)，如图3-4所示。

图3-3在材料主方向上的剪应力图3-4与材料主方向成450角的剪应力

第32页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三4正交各向异性单层材料的强度理论大多数试验测定的材料强度是建立在单向应力状态基础上的，但实际结构问题常涉及平面应力状态或空间应力状态。假设材料宏观上是均匀的，不考虑某些细观破坏机理(1)最大应力理论在这个理论中，各材料主方向应力必须小于各自方向的强度，否则即发生破坏。对于拉伸应力有对于压缩应力有注意这里指材料第1，2主方向的应力，而不是各向同性材料中的主应力。另外与的符号无关。如上述5个不等式中任一个不满足，则材料分别以与或相联系的破坏机理而破坏。该理论中，各种破坏模式之间没有相互影响，即实际上是5个分别的不等式。第33页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三在应用最大应力理论时，所考虑材料中的应力必须转换为材料主方向的应力。例如，考虑一个单层复合材料承受与纤维方向成θ角的单向载倚，如图所示，最大单向应力是下述三个不等式中的最小值：

图中画出了单层复合材料单向强度与偏轴角度θ的关系。拉伸实验数据用·表示，压缩用■表示，各条曲线分别上表示式，其中最低一条控制强度曲线，强度曲线中的理论尖点在实验中不存在，该理论与实验结果不很一致。

第34页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（2）最大应变理论最大应变理论与最大应力理论很相似，这里受限制的是应变，对于拉伸和压缩强度不同的材料，如下不等式

中有任一个不满足，即认为材料破坏。式中，分别是1方向最大拉伸、最大压缩线应变；分别是2方向最大拉伸、最大压缩线应变；是12平面内最大剪应变。像剪切强度一样，最大剪应变不受剪应力方向的影响，在应用此理论前必须将总坐标系中的应变转换为材料主方向的应变。对于承受轴向单向拉伸的单层复合材料，最大应变理论得到的结果和实验结果之间的差别比最大应力理论更加明显，因此该理论也不大适用

第35页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三（3）Hill-蔡(S．W．Tsai)强度理论Hill于1948年对各向异性材料提出了一个屈服准则：式中，为各向异性材料的破坏强度参如以以及代人上式则得其中，为各向同性材料的屈服极限。

(3.5)由此可见，Hill提出的是VonMises理出的各向同性材料屈服准则(Mises准则)，即歪形能理论的推广，但在正交各向异性材料中，形状变化和体积变化不能分开，所以式(3.5)不是歪形能。

第36页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三

蔡用单层复合材料通常用的破坏强度来表示。如只有作用，其最大值为，则有若只有作用，则有得如只有作用则得如用Z表示3方向的强度，且只有作用，则得联立上述三式，可解得如下：第37页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三对于纤维在1方向的单层材料，在1-2平面内，平面应力情况为。根据几何特性，纤维在2方向和3方向的分布情况相同，可知，则。由此式(3.5)化为这是由单层复合材料强度表示的基本破坏准则，称为Hill-蔡强度理论。对于偏轴向受单向载荷的单层复合材料，把应力转轴公式（只有）代入式(3.6)得这是一个统一的强度理论公式，不同于最大应力和最大应变理论(由5个分公式表示)。

(3.6)第38页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三将此理论结果和玻璃／环氧复合材料实验结果画在图中，两者吻合较好，该理论可应用于玻璃／环氧等复合材料。第39页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三Hill蔡强度理论有以下优点：(1)θ随方向角目的变化是光滑的，没有尖点。(2)一般随θ角增加而连续减小。(3)该理论与实验之间吻合较好。(4)Hill-蔡理论中破坏强度之间存在重要的相互联系，而其他理论假定三种破坏是单独发生的。(5)此理论可进行简化而得到各向同性材料的结果。

Hill-蔡理论未考虑拉、压性能不同的复合材料，这方面Hoffman提出如下新的理论：第40页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三五单层板基本力学性能的实验测定对于拉伸和压缩性能相同的正交各向异性单层板，其刚度特性有： —l方向弹性模量；—2方向弹性模量；—主泊松比，当，其余；—次泊松比，当，其余； —在1-2平面内的剪切模量。上述工程模量中只有4个是独立的。强度特性有：X—轴向(1方向)强度；Y—横向(2方向)强度；S—剪切强度(1—2平面内)。对于拉压性能不同的单层板弹性常数分别有两个和，强度有。脚标t代表拉伸，c代表压缩。上述基本刚度和强度特性可以通过实验测定。现在都采用单向薄板试件测量其各项性能，这里分别介绍各种试验。

第41页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三1、拉伸试验试件形状如图所示。拉伸试件形状示意图

要求试件两端用金属铝片或玻璃钢片作加强片加固，加强片厚度l～2mm，采用粘结剂粘结，要求在试验过程中加强片不脱落。第42页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三不同纤维方向的试件尺寸是不同的，试件尺寸规定见表。

试件类别尺寸

L／mmb／mmt／mml／mmd／mm

θ

00

230

12.5±0.5

l～3

100

50

≥150

900

170

25±0.5

2～4

50

50

≥150

00／900

23025±O．5

2～4

80

50

≥150第43页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三(1)00试件，用引伸计或电阻应变计测量，测定，，的计算公式式中，为试件宽度，为厚度，为1方向载荷，为1方向极限载荷，分别为1，2方向的应变。

00(纵向)拉伸试验

900(横向)拉伸试验

第44页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三(2)900试件，测定，及的公式如下：式中，为2方向载荷，为2方向极限载荷。

第45页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三2、压缩试验压缩试验可测量和等。由于载荷易偏心、试件易失稳及端部易破坏，技术上不易圆满解决，试件尺寸采取短标距，如图所示。第46页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三3、偏轴拉伸法用单层板切割成θ=450偏轴拉伸试件，在作用下，试件处于平面应力状态，则有其中用工程弹性常数和θ的三角函数表示如下：第47页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三现θ=450，作用力为，应力，，则有将(4.1)中两式相加得另外，如已由O0，900方向拉伸实验测得和，则由式(4.1)中第一式可求得

其中，只需测求得。

(4.1)第48页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三在作用下450试件剪切破坏，剪切强度S可由下式求得：

由于偏轴拉伸有藕合剪应变，影响测量结果，故采取±450对称层合板试件(450/-450/-450/450)。作为拉伸实验测定和S，由于存在层间应力影响，所测也不很准确，其试件尺寸如图。

对称拉伸试件尺寸第49页，讲稿共56页，2023年5月2日，星期三六单层复合材料的细观力学分析1单层复合材料的细观力学分析目的：第一，用组分材料的弹性常数来预测复合材料的弹性常数或刚度、柔度。例如纤维增强复合材料的刚度系数用纤维和基体的弹性常数以及