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文档简介

第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法(一)1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫做一元二次不等式表达式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数解集ax2+bx+c>0(a≠0)解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2+bx+c<0(a≠0)解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2+bx+c≥0(a≠0)解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2+bx+c≤0(a≠0)解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合解析①②是,符合定义;③不是,因为未知数的最高次数是3,不符合定义;④不是,当a=0时,它是一元一次不等式,当a≠0时,它含有两个变量x,y;⑤不是,当a=0时,不符合一元二次不等式的定义.思考下列不等式是一元二次不等式的有________.①x2>0;②-3x2-x≤5;③x3+5x-6>0;④ax2-5y<0(a为常数);⑤ax2+bx+c>0.解析答案①②知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式.解一元二次不等式的一般步骤:(1)将不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0;(2)计算相应的判别式;(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)

的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实根x1,x2,且x1<x2有两个相等的实数根x1,x2没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅思考二次不等式ax2+2x-1<0的解集为R,则a的取值范围是____________.返回(-∞,-1)答案题型探究重点突破题型一一元二次不等式的解法例1

解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;解析答案

解析答案(3)-2x2+3x-2<0;解原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.

解析答案反思与感悟解原不等式可化为x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实根,又二次函数y=x2-6x+10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.反思与感悟跟踪训练1

解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;解析答案解方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.(2)(2-x)(x+3)<0;解析答案解原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).解析答案

题型二解含参数的一元二次不等式例2

解关于x的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).解析答案反思与感悟解原不等式可化为:(ax+1)(x-1)<0,当a=0时,x<1;当a=-1时,x≠1;解析答案反思与感悟综上,当a=0时,原不等式的解集是{x|x<1};反思与感悟当a=-1时,原不等式的解集是{x|x≠1};含参数不等式的解题步骤(1)将二次项系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根,为了写出解集还要比较两个根的大小).另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0,这决定不等式是否为二次不等式.反思与感悟解析答案跟踪训练2

解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.解原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0讨论a与a2的大小(1)当a2>a即a>1或a<0时,x>a2或x<a.(2)当a2=a即a=0或a=1时,x≠a.解析答案(3)当a2<a即0<a<1时,x>a或x<a2.综上,当a<0或a>1时,解集为{x|x>a2或x<a},当a=0或1时,解集为{x|x≠a},当0<a<1时,解集为{x|x>a或x<a2}.题型三“三个二次”关系的应用例3

已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.解析答案反思与感悟解方法一由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,解析答案反思与感悟方法二由题意知a<0,解析答案反思与感悟将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集,先求出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.当两个“有关联”的不等式同时出现时,应注意根与系数的关系的应用.反思与感悟解析答案跟踪训练3

已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},∴1,2是方程x2+ax+b=0的两根.代入所求不等式,得2x2-3x+1>0.解析答案不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误易错点例4

若一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-3或x>5},则ax2-bx+c<0的解集为____________.误区警示返回错解由根与系数的关系得:代入得ax2+2ax-15a<0,

①∴x2+2x-15<0,

②∴(x-3)(x+5)<0,∴-5<x<3.答案{x|-5<x<3}错因分析

①式化为②式,忽略了二次项系数a的符号,并非同解变形.解析答案误区警示正解由根与系数的关系得:误区警示∴ax2+2ax-15a<0,又由解集的形式知a<0,∴上式化为x2+2x-15>0,∴(x-3)(x+5)>0,∴x>3或x<-5.答案(-∞,-5)∪(3,+∞)误区警示1.注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的,适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破,如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a<0”这一关键信息,从而避免不必要的讨论.2.注意“三个二次”的关系二次函数的零点,就是相应一元二次方程的根,也是相应一元二次不等式解集的分界点.返回当堂检测123451.下面所给关于x的几个不等式:①3x+4<0;②x2+mx-1>0;③ax2+4x-7>0;④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(

)A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析②④一定是一元二次不等式.B解析答案A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-612345B解析答案123453.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,则k的取值范围是____________.k≤2或k≥4解析x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2.解析答案12345解析答案4.不等式x2+3x-4<0的解集为________.解析易得方程x2+3x-4=0的两根为-4,1,所以不等式x2+3x-4<0的解集为(-4,1).(-4,1)12345解析答案5.已知关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1≥0的解集为空集,求实数m的取值范围.解(1)当m=0时,原不等式化为-x-1≥0,∴x≤

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